呂振華

為參加觀摩課比賽，我與同事選取了北師版《義務(wù)教育教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級上冊“確定位置”一課進行磨課，最后確定通過從“激發(fā)沖突，引發(fā)數(shù)對必要性——抽象寫法”“明確數(shù)對簡潔性——鞏固練習(xí)”“了解數(shù)對生活化”三個環(huán)節(jié)授課。比賽時，贏得了不少掌聲。

近一年來，隨著對數(shù)學(xué)深度教學(xué)、數(shù)學(xué)思想方法、核心素養(yǎng)等理念的深度理解，我回顧一年前教學(xué)的“確定位置”一課時發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖然可以從生活中抽象出方格圖，達到了該教學(xué)預(yù)設(shè)的目標;但是從數(shù)學(xué)的角度來講，學(xué)生學(xué)得不夠深、不夠透。所以，我對“確定位置”一課的教學(xué)產(chǎn)生了新的思考并進行了新的實踐。

一、對“確定位置”教學(xué)的再思考

在思考的過程中，我通過反思，梳理出以下三個問題，并通過實踐摸索，逐漸理清了思路。

（一）課中是否可以滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)深度教學(xué)理念指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越具體知識和技能，深入到思維的層面，由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過渡到一般性的思維策略與思維品質(zhì)的提升?！笨梢灶A(yù)見，數(shù)學(xué)深度教學(xué)的開展，可以增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性和自覺性，豐富學(xué)生對于數(shù)學(xué)意義的理解，對于培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和創(chuàng)新能力也有很大的幫助。要做到深度教學(xué)，需要教師以數(shù)學(xué)思想方法為抓手，幫助學(xué)生借助知識點的學(xué)習(xí)，在理解、抽象數(shù)對的過程中了解數(shù)形結(jié)合、一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，從而使學(xué)生站在數(shù)學(xué)的角度（而不是生活的角度）去讀懂方格圖。

本課涉及兩個主要的數(shù)學(xué)思想方法，即數(shù)形結(jié)合思想和一一對應(yīng)思想。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，直角坐標系的出現(xiàn)給幾何的研究帶來了新的工具。直角坐標系與幾何圖形相結(jié)合，也就是把幾何圖形放在坐標平面上，使得幾何圖形上的每個點都可以用直角坐標系中的坐標（有序?qū)崝?shù)對）來表示，這樣就可以用代數(shù)的量化運算方法來研究圖形的性質(zhì)，堪稱數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)。因此，學(xué)生雖然在以往的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸到數(shù)形結(jié)合思想，但數(shù)形結(jié)合思想在“確定位置”一課中卻是體現(xiàn)得最為完美的。

一一對應(yīng)思想自小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)第一課起已在滲透，學(xué)生都知道一個數(shù)字對應(yīng)一定的數(shù)量，數(shù)軸、點子圖、計數(shù)器等都能讓學(xué)生理解一一對應(yīng)思想;但本課與學(xué)生先前學(xué)習(xí)的情況不同，本課是用一組有序的數(shù)對（不是以前的一個數(shù)）表示方格圖上一個點的位置。此時的方格是有結(jié)構(gòu)的、有序的，一個點對應(yīng)唯一的一組數(shù)，這也是用數(shù)對確定位置的關(guān)鍵所在。

事實上，用有序數(shù)對表示幾何學(xué)上的點，目的是數(shù)形結(jié)合，用數(shù)來表示幾何對象，包括直線和曲線。當小學(xué)生看到根據(jù)數(shù)對的某種特性，在幾何上就可以表示出許多不同的直線時，我們可以想象到其內(nèi)心的震動是非常強烈的，這也正是高質(zhì)量數(shù)學(xué)教學(xué)要實現(xiàn)的過程性目標。

一一對應(yīng)思想則體現(xiàn)了用數(shù)對確定位置的有序性，數(shù)形結(jié)合思想化數(shù)字為圖形，讓人們借助圖形看得見數(shù)字。所以，本課中不能割裂只講一種，而是應(yīng)將這兩種思想相互融合，共同促進學(xué)生思維的成長。

我認為，通過本課的教學(xué)，應(yīng)當使學(xué)生明白一一對應(yīng)思想不僅指一個數(shù)對應(yīng)一個物體或一部分物體，同時一組數(shù)也可以對應(yīng)一個點;數(shù)形結(jié)合思想不僅僅是利用數(shù)字與數(shù)軸、線段圖等幫助學(xué)生理解數(shù)與幾何圖形之間的互為表示，也是數(shù)字與幾何圖形的完美結(jié)合。

（二）“原點”這一知識點應(yīng)在第幾課時出現(xiàn)

如圖1、圖2所示，圖1是教材第一課時從座位圖抽象出的格子圖，圖2是教材第二課時直接出示的格子圖。通過對比，我們發(fā)現(xiàn)圖1沒有原點（0，0），圖2有原點（0，0）。

平面直角坐標系有三個關(guān)鍵要素：原點、方向、單位。第一課時教學(xué)中對方向和單位都有滲透，唯獨缺了原點。我認為，這樣不便于使學(xué)生更清楚地理解方格圖。通過多方查找資料，我發(fā)現(xiàn)有一些教師在第一課時教授原點，這也給了我完善教材的勇氣。于是，我將對原點教學(xué)的理解融入了教學(xué)設(shè)計，并希望通過實踐來檢驗。

（三）學(xué)生學(xué)完本課后應(yīng)有哪些新的收獲

我一年前將本課的授課目標確定為：第一，結(jié)合座位圖，理解用數(shù)對表示位置的必要性，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系;第二，經(jīng)歷數(shù)對的抽象過程，探索用數(shù)對確定位置的方法，體會數(shù)對與方格紙上的點的對應(yīng)關(guān)系，能在方格紙上用數(shù)對確定位置，發(fā)展空間觀念和推理能力;第三，在經(jīng)歷探索用數(shù)對確定位置的過程中，體會知識的價值，激發(fā)學(xué)生的興趣。

通過對《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標2011版”）的深度解讀，我發(fā)現(xiàn)“課標2011版”對“位置”教學(xué)的要求是“在具體情境中，能在方格紙上用數(shù)對（限于正整數(shù)）表示位置，知道數(shù)對與方格紙上點的對應(yīng)?！薄靶枰仍诜礁窦埳蠘嗣髡麛?shù)刻度，希望學(xué)生能夠把握數(shù)對與方格紙上點（行列或者列行）的對應(yīng)關(guān)系，并且知道不同的數(shù)對之間可以進行比較。這個過程有利于學(xué)生將來直觀理解直角坐標系?！?/p>

我的解讀是，從生活中抽象出數(shù)對來確定位置是本課的一個教學(xué)目標，但更要為日后的方格直角坐標系提供認識的基礎(chǔ)。經(jīng)過思考，我將教學(xué)目標重新設(shè)定為：結(jié)合座位圖，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)對的抽象過程，理解用數(shù)對表示位置的必要性，探索用數(shù)對確定位置的方法。同時，在這個過程中理解用數(shù)對表示位置的簡潔性和統(tǒng)一性。結(jié)合方格圖，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)其與數(shù)軸之間的關(guān)系，進而確定原點，使學(xué)生掌握直角坐標系雛形。結(jié)合方格圖，使學(xué)生進一步掌握一一對應(yīng)和數(shù)形結(jié)合的思想方法，并能借助這兩種方法進行推理，進而解決問題。

與前一教學(xué)目標相比，重新設(shè)定的教學(xué)目標更具有數(shù)學(xué)味，更有深度。

二、對“確定位置”一課教學(xué)的再實踐

基于對教材的再度分析，我將原來的教學(xué)設(shè)計進行了修改，并應(yīng)用于實踐。針對教學(xué)目標的達成和前文三個問題的實踐，我選擇其中的幾個片段加以說明。

（一）體驗經(jīng)歷，在感悟中滲透數(shù)學(xué)思想

教材中共提了四個問題，其中第二個問題（如圖3）是把座位圖抽象成方格紙，把座位抽象為格點，把座位的位置抽象為數(shù)對，這是本課的重點。在解決第二個問題的過程中，我和學(xué)生共同經(jīng)歷了方格圖和數(shù)對的抽象過程，體驗了一一對應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，從數(shù)學(xué)思想的角度體會了用數(shù)對表示位置的必要性、簡潔性、統(tǒng)一性。我依次出示了圖3至圖5，并進行了如下教學(xué)。

1.確定組和排的順序

師：這是淘氣班的座位圖（圖4），請找一找淘氣坐在哪個位置上。

（學(xué)生有不同說法）

師：淘氣的位置為什么會有不同的說法？

生：因為沒有給淘氣班的座位分幾組，分幾排，所以會有不一樣的說法。

師：同意他的說法嗎？請你給淘氣班分一分小組，第一組在哪里？

生：從左邊第一列為第一組……（依次分完6組）

師：我們在數(shù)學(xué)課上規(guī)定按照從左到右的順序來分組（圖5）。

（按照分組的方法繼續(xù)分排，形成圖3左邊圖的樣子）

2.確定淘氣的位置

師：淘氣班不僅從左到右分好了組，而且從前到后分了排。規(guī)定好了組和排，我們就形成了帶有組和排的座位圖，看看座位圖你能重新說說淘氣坐在第幾組第幾排嗎？

生：第2組第4排。

師：還有不一樣的想法嗎？

生：沒有。

師：為什么這張座位圖，淘氣和笑笑的位置都只有一種說法？

生：因為座位圖里，規(guī)定了組和排的順序。

師：（小結(jié)）用序數(shù)規(guī)定了組和排的順序，同學(xué)們的位置只能有一種說法。

3.直觀感受方格圖形成過程（見圖6）

師：請看大屏幕，（課件動態(tài)顯示，見圖6）每個座位都有一個縱向和一個橫向的位置，把他們用線連接起來就形成了這樣的方格圖（6-1）。橫線和縱線會形成交叉點，而這些交叉點就是同學(xué)們的位置（6-2）。這張由橫線和縱線組成的座位圖，每一條縱線和每條橫線都對應(yīng)一個數(shù)字（6-3）。

師：方格圖從左到右橫著寫的數(shù)表示什么？（第幾組）

師：序號1在最左邊，表示第一組，也就是按組分的起始組。

師：從前往后豎著寫的6個數(shù)字，表示什么？（表示6排）

師：因為第1排在最前面，所以在最下面，我們以后畫這樣的圖的時候，數(shù)字的位置也是從下向上寫。

師：看完這個動畫，你發(fā)現(xiàn)同學(xué)們的座位與方格圖之間的關(guān)系了嗎？

生：每個同學(xué)的座位是方格圖上橫線和縱線的交叉點。

師：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們可以把每位同學(xué)看做一個點，你發(fā)現(xiàn)數(shù)對與方格圖之間的關(guān)系了嗎？

生：每位同學(xué)代表一個點，用一組數(shù)對表示，數(shù)對在方格圖中的位置就是同學(xué)在教室座位圖中的位置。

師：對，一組數(shù)對對應(yīng)方格圖中的一個點，同樣對應(yīng)座位圖中的一位同學(xué)，同學(xué)的位置、數(shù)對、方格圖中的點是一一對應(yīng)的。

生：一組數(shù)對代表一個同學(xué)的位置，同學(xué)的位置可以用2個數(shù)字表示，也可以用方格圖中的點表示，說明數(shù)對和圖形是有聯(lián)系的。

師：對，數(shù)字可以化成圖形的形式來讓同學(xué)們看得更清楚，圖形也可以化成數(shù)字的形式來讓我們更便于統(tǒng)計。

學(xué)生通過上面三個環(huán)節(jié)自然地由淺入深，由生活抽象到數(shù)學(xué)的層面，由單一的數(shù)學(xué)知識引申到深層次的數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟，真正成為了學(xué)習(xí)的主人。

（二）以疑促解，在對比中滲透數(shù)學(xué)思想

學(xué)生在認識方格圖之前對數(shù)軸有著豐富的體驗，數(shù)軸和方格圖相比，是一維和二維的關(guān)系。經(jīng)過思考，我充分發(fā)揮學(xué)生的主動性，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)方格圖與數(shù)軸之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)確定原點的必要性，從而在學(xué)生腦海中形成了直角坐標系的雛形。

首先，我出示圖1和圖7（數(shù)軸），請學(xué)生觀察方格圖和數(shù)軸，“你能想到什么問題？”學(xué)生回答：“二者有什么關(guān)系？有什么相同點？不同點？”我把問題一一記錄，要求學(xué)生自己認真觀察，然后進行組內(nèi)交流，最終形成統(tǒng)一的思路：數(shù)軸只有一行，可以用一個數(shù)表示一個點，將兩根數(shù)軸互相垂直，畫出格子線，就會形成格子圖。之后，我引導(dǎo)學(xué)生：兩根數(shù)軸相交的點是0，這個0既是橫軸的起點，也是縱軸的起點，所以也是方格圖的起點。依據(jù)數(shù)對的表示方法，我們把方格圖的起點定為（0，0），這個點也叫原點。

這一教學(xué)片段中，學(xué)生自己提出問題，自己解決問題，最終形成了圖8，即平面直角坐標系的雛形。這一圖看似只是增加了一個原點，但前后方格圖在學(xué)生心中的意義是不一樣的，沒有0的方格圖只是座位圖的抽象圖，有原點的方格圖具備了平面直角坐標系所有的特征，它是高于生活的。

（三）直觀聯(lián)想，在習(xí)題中滲透數(shù)學(xué)思想

在變式習(xí)題的設(shè)計中，我結(jié)合數(shù)學(xué)思想設(shè)計了一道習(xí)題：

有五個點，分別是A（2，2）、B（2，6），C（3，7）、D（5，7）、E（5，5），現(xiàn)將這些數(shù)對所表示的點描出來，再把對應(yīng)的字母的數(shù)對標注在旁邊，依次連線。然后，將數(shù)對中的兩個數(shù)交換位置，形成新的數(shù)對，分別是A（2，2）、B'（6，2），C'（7，3）、D'（7，5）、E（5，5）。最后，畫圖，回答問題：

（1）所有點連線后形成了（）形？

（2）這是個（）圖形？

（3）對稱軸在哪里？

（4）對稱軸的兩邊的點有什么特點？

（5）兩組數(shù)對有什么特點？

學(xué)生將所有點連線后會發(fā)現(xiàn)，圖形是一個心形。這是學(xué)生可以直觀看得見的圖形，因此學(xué)生理解起數(shù)學(xué)思想來會更方便。同時，這還是一個軸對稱圖形，對稱軸是經(jīng)過AE兩點的直線，對稱軸兩邊的點互為對稱，相對稱的點的數(shù)對的兩個數(shù)字前后顛倒。此題融合了一一對應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生明白，一組數(shù)對對應(yīng)一個點，數(shù)對中的兩個數(shù)前后位置發(fā)生變化，點的位置也會發(fā)生變化，變化后的點是對稱的，這樣能夠拓展學(xué)生的思維。

與此同時，在拓展環(huán)節(jié)，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生展開了合理聯(lián)想，使學(xué)生明白：數(shù)對來源于生活，但不僅僅應(yīng)用于生活，它是人類智慧的結(jié)晶，是人類對生活現(xiàn)象的高度總結(jié)。

師：同學(xué)們，再來看這張方格圖（圖5），其實，方格圖不僅可以表示班級的座位圖。同學(xué)們可以想象一下，如果全校同學(xué)整齊劃一地坐在操場上，是否可以用方格圖表示。（可以）

師：因為自然數(shù)是無窮盡的，看來，這張方格圖想畫多大就可以畫多大，操場上的同學(xué)都可以用方格圖上任意一個點來表示。請同學(xué)們把你們腦中的方格圖無限擴大，用它把屏幕上的地球儀包上（課件出示地球儀），你們發(fā)現(xiàn)了什么？

（方格圖變成了地球儀上的經(jīng)緯線，地球上任何一個點的位置都能用數(shù)對表示出來。）

師：是的，數(shù)對知識的背后是一一對應(yīng)和數(shù)形結(jié)合思想的支撐。確定一個小小的教室里的座位需要一一對應(yīng)和數(shù)形結(jié)合的思想，確定60億分之一的你在地球某一處的位置同樣需要一一對應(yīng)和數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)學(xué)思想是打開數(shù)學(xué)大門的鑰匙，同學(xué)們要善于發(fā)現(xiàn)和運用它。

至此，一幅更大的方格圖讓學(xué)生對數(shù)對甚至是數(shù)學(xué)思想有了更深的認知，他們的數(shù)學(xué)抽象能力逐漸提高，課堂中的數(shù)學(xué)味道也越來越濃。通過這兩道題，我感受到了學(xué)生的感覺是震撼的，內(nèi)心深處是有觸動的。

實踐證明，融入數(shù)學(xué)思想的課堂更利于學(xué)生思維的生長，更利于教師今后的數(shù)學(xué)教學(xué)。在教學(xué)實踐中，數(shù)學(xué)教師以此為抓手，可以和學(xué)生一起打造出精彩的課堂。

（責任編輯：楊強）