劉遠(yuǎn)貴， 徐樂， 賴芨宇， 駱勇鵬,2

(1. 福建農(nóng)林大學(xué) 交通與土木工程學(xué)院， 福建 福州 350002; 2. 華僑大學(xué) 福建省結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 福建 廈門 361021)

模態(tài)參數(shù)是結(jié)構(gòu)的基本動(dòng)力參數(shù)之一，可用于荷載識(shí)別、損傷診斷、模型修正及既有結(jié)構(gòu)狀態(tài)評(píng)估等方面[1].常用的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法有頻域法、時(shí)域法和時(shí)頻分析3類.基于隨機(jī)子空間的模態(tài)參數(shù)識(shí)別是時(shí)域模態(tài)參數(shù)識(shí)別中較為常用的方法.該方法可直接作用于時(shí)域數(shù)據(jù)，無需轉(zhuǎn)化為頻域數(shù)據(jù)，避免頻率分辨率誤差的問題[2].由于結(jié)構(gòu)動(dòng)力測(cè)試受儀器精度、測(cè)量誤差、噪聲干擾等因素的影響，模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果具有一定的不確定性[3]，從而影響結(jié)構(gòu)荷載識(shí)別、損傷診斷及狀態(tài)評(píng)估結(jié)果的精度.因此，如何有效地評(píng)估模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果的可信程度引起學(xué)者的關(guān)注.蒲黔輝等[4]采用特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法，對(duì)整個(gè)模態(tài)識(shí)別算法進(jìn)行攝動(dòng)分析，從而確定模態(tài)參數(shù)對(duì)測(cè)量誤差的靈敏度.秦世強(qiáng)等[5]通過構(gòu)建模態(tài)參數(shù)置信區(qū)間的方法衡量模態(tài)參數(shù)的不確定度.易偉建等[6]采用貝葉斯方法研究模態(tài)參數(shù)的不確定性.D?hler等[7]提出一種有效估計(jì)模態(tài)參數(shù)協(xié)方差的算法，通過一階攝動(dòng)分析對(duì)識(shí)別結(jié)果的不確定性進(jìn)行評(píng)估.Herrera等[8]研究模態(tài)參數(shù)在1年內(nèi)的數(shù)據(jù)監(jiān)測(cè)變化，并對(duì)識(shí)別結(jié)果進(jìn)行量化.上述方法是在假設(shè)模態(tài)參數(shù)服從的概率分布函數(shù)及分布參數(shù)已知的情況下進(jìn)行的評(píng)估.然而，在實(shí)際振動(dòng)測(cè)試中，由于觀測(cè)數(shù)據(jù)有限及激勵(lì)荷載的不確定性，觀測(cè)數(shù)據(jù)樣本服從的概率分布往往未知，當(dāng)人為假設(shè)的概率分布與實(shí)際不符時(shí)，模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果的準(zhǔn)確性將受到影響.

Bootstrap是一種有返還的再抽樣統(tǒng)計(jì)方法，可用于總體分布未知或統(tǒng)計(jì)量分布未知時(shí)的參數(shù)推斷，在一定程度上可解決上述問題，但該方法在模態(tài)參數(shù)識(shí)別不確定性量化方面的研究還較為少見.Farrar等[9]采用蒙特卡羅(Monte Carlo)和Bootstrap抽樣對(duì)模態(tài)參數(shù)置信區(qū)間的算法進(jìn)行比較，通過模態(tài)參數(shù)估計(jì)算法，得到模態(tài)參數(shù)集合，從而得到其統(tǒng)計(jì)分布.Chauhan等[10-11]將Bootstrap抽樣引入模態(tài)參數(shù)估計(jì)過程中，闡述Bootstrap抽樣的特點(diǎn)及其在模態(tài)參數(shù)識(shí)別不確定性量化中的應(yīng)用可行性.Yaghoubi等[12]聯(lián)合相關(guān)分析和Bootstrap抽樣，實(shí)現(xiàn)模態(tài)參數(shù)自動(dòng)估計(jì)，提高參數(shù)識(shí)別的精度和自動(dòng)化程度.本文采用協(xié)方差驅(qū)動(dòng)隨機(jī)子空間(SSI-COV)法對(duì)靖遠(yuǎn)黃河大橋的模態(tài)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，并引入Bootstrap抽樣，分別從整體和局部對(duì)靖遠(yuǎn)黃河大橋的模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果的可靠性進(jìn)行評(píng)價(jià).

1 基本理論

1.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動(dòng)方程可描述為

(1)

在環(huán)境激勵(lì)下，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)總是離散的，應(yīng)將連續(xù)的狀態(tài)空間方程離散化,即

xk+1=Axk+Wk,yk+1=Ccxk+Vk.

(2)

式(2)中：xk+1，yk+1分別為k+1時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)向量和輸出向量；A為狀態(tài)矩陣；Cc為輸出矩陣；xk為k時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)向量；Wk，Vk分別為零均值的過程噪聲和測(cè)量噪聲，且互不相關(guān).

1.2 隨機(jī)子空間識(shí)別理論

隨機(jī)子空間(SSI)法是一種時(shí)域內(nèi)線性系統(tǒng)識(shí)別算法[13]，無需進(jìn)行傅里葉變換，直接對(duì)時(shí)程響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，可以有效地從環(huán)境激勵(lì)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)中提取結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù).SSI法主要分為數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)隨機(jī)子空間(SSI-DATA)法與協(xié)方差驅(qū)動(dòng)隨機(jī)子空間(SSI-COV)法兩類.首先，協(xié)方差驅(qū)動(dòng)隨機(jī)子空間法將輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差組成Toeplitz矩陣；然后，對(duì)該矩陣進(jìn)行奇異值分解(SVD)，得到擴(kuò)展的可觀測(cè)矩陣和可控矩陣；最后，利用其性質(zhì)計(jì)算系統(tǒng)的A和Cc，進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù).該算法有以下6個(gè)流程.

1) 構(gòu)建Hankel矩陣，即

(3)

2) 根據(jù)白噪聲均值為零且互不相關(guān)的性質(zhì)，計(jì)算輸出協(xié)方差矩陣Ri，有

Ri=E[yk+iyk].

(4)

式(4)中：E為數(shù)學(xué)期望.

3) 將協(xié)方差序列組成Toeplitz矩陣并進(jìn)行分解，有

(5)

式(5)中：G為下一時(shí)刻的狀態(tài)向量與輸出向量的協(xié)方差矩陣.

4) 對(duì)Toeplitz矩陣進(jìn)行奇異值分解，可得

(6)

式(6)中：Oi為系統(tǒng)可觀矩陣；U,V均為對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行奇異值分解后形成的正交矩陣；S為奇異值分解中正奇異矩陣組成的對(duì)角陣；U1，U2均為對(duì)應(yīng)于非零奇異值的左奇異向量構(gòu)成的正交矩陣；V1，V2均為對(duì)應(yīng)于非零奇異值的右奇異向量構(gòu)成的正交矩陣；S1為降序的奇異值構(gòu)成的對(duì)角陣.

5) 計(jì)算得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A和輸出矩陣Cc，并對(duì)A進(jìn)行特征值分解，可得

A=ΦΛΦ-1.

(7)

6) 將離散系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為原連續(xù)系統(tǒng)，系統(tǒng)特征值也相應(yīng)變化，則由

(8)

可計(jì)算出結(jié)構(gòu)第m階模態(tài)參數(shù)，即

(9)

式(8)，(9)中：Δt為采樣時(shí)間間隔；i為虛數(shù)單位；am，bm分別為系統(tǒng)特征值的實(shí)部和虛部；fm，ξm分別為第m階的固有頻率和第m階的阻尼比.

結(jié)構(gòu)第m階模態(tài)的觀測(cè)振型φm是系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的特征向量Φm的可觀部分，即

φm=CcΦm.

(10)

1.3 模態(tài)參數(shù)不確定性量化

在傳感器數(shù)量有限的情況下，需要采用多個(gè)測(cè)試組分批次進(jìn)行振動(dòng)測(cè)試，才能獲得結(jié)構(gòu)的整體振動(dòng)特性.受外界因素、儀器誤差影響，基于多組模態(tài)測(cè)試識(shí)別得到的模態(tài)參數(shù)不盡相同.因此，需有效地評(píng)價(jià)每個(gè)測(cè)試組識(shí)別的模態(tài)參數(shù)的可信度，特別是在測(cè)試組有限的情況下，基于有限的數(shù)據(jù)評(píng)價(jià)識(shí)別得到的模態(tài)參數(shù)的可信度，并進(jìn)一步確定結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的最終結(jié)果[14-15].

Bootstrap 抽樣運(yùn)用模擬再抽樣技術(shù)代替理論分析，基于有限的試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)，模擬再抽樣出大量符合原數(shù)據(jù)特征的模擬樣本，從而提供足夠的樣本進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)分析[16]，避免統(tǒng)計(jì)分析對(duì)概率分布函數(shù)假定的依賴.因此，提出一種基于Bootstrap抽樣的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果不確定性量化分析方法.該方法有以下4個(gè)計(jì)算步驟.

步驟1基于不同測(cè)試組的加速時(shí)程響應(yīng)，采用SSI方法，可識(shí)別到多組模態(tài)參數(shù)X=(x1,x2,…,xN)，假設(shè)其為總體分布F的一個(gè)隨機(jī)獨(dú)立樣本，樣本容量為N.根據(jù)該樣本，可構(gòu)造原始樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)，即

(11)

式(11)中:x(1)

(12)

(13)

(14)

(15)

在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，平均值數(shù)量等同于描述總體的樣本的大小.因此，平均值數(shù)量越多，越接近準(zhǔn)確的估計(jì)值，即樣本規(guī)模的增大可以減小方差.以B個(gè)自助樣本均值的均值作為頻率識(shí)別值減少了隨機(jī)誤差，均值的方差可以反映各測(cè)點(diǎn)識(shí)別的頻率值的整體變異程度和穩(wěn)定性，方差越大，表明多個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)識(shí)別的模態(tài)參數(shù)的不確定性越大；反之，方差越小，則不確定性越小.

為了評(píng)估基于單個(gè)測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)識(shí)別得到的模態(tài)參數(shù)的不確定性，首先，將單個(gè)測(cè)試組數(shù)據(jù)按采樣時(shí)間分為m個(gè)時(shí)間段，可以得到m組識(shí)別結(jié)果；然后，采用上述方法對(duì)m組識(shí)別結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，進(jìn)一步評(píng)估基于單個(gè)測(cè)點(diǎn)識(shí)別得到的模態(tài)參數(shù)的可靠性；最后，將單個(gè)測(cè)點(diǎn)的識(shí)別值與多測(cè)點(diǎn)的識(shí)別值進(jìn)行比較，通過均值可以得出結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別值的差異程度，通過方差可以分析結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)整體和局部的離散程度，進(jìn)而為模態(tài)參數(shù)識(shí)別的準(zhǔn)確度和穩(wěn)定性提供可靠性指標(biāo).

2 工程實(shí)例

2.1 工程概況

以靖遠(yuǎn)黃河大橋[17]環(huán)境振動(dòng)測(cè)試為例，驗(yàn)證文中方法的可行性和可靠性.靖遠(yuǎn)黃河大橋(圖1)為五跨剛構(gòu)-連續(xù)組合梁橋，主跨部分為374 m.

振動(dòng)測(cè)試的測(cè)點(diǎn)布置，如圖2所示.靖遠(yuǎn)黃河大橋上、下游兩側(cè)共設(shè)置42個(gè)豎向測(cè)點(diǎn)(V1～V42)，豎向測(cè)試采用垂直向加速度傳感器，分7組進(jìn)行量測(cè)，每組有6個(gè)可移動(dòng)測(cè)點(diǎn)；縱向和橫向的量測(cè)采用單側(cè)量測(cè)的方法，單側(cè)均布置20個(gè)測(cè)點(diǎn)(縱向測(cè)點(diǎn)L1～L20,橫向測(cè)點(diǎn)T1～T20)，水平向加速度傳感器分別沿縱橋向和橫橋向布置，縱向測(cè)試和橫向測(cè)試均分為4組進(jìn)行量測(cè)，每組有5個(gè)可移動(dòng)測(cè)點(diǎn).測(cè)點(diǎn)10為豎向、橫向和縱向三向量測(cè)時(shí)各組公用的參考點(diǎn).振動(dòng)測(cè)試的采樣頻率為102.405 Hz，采樣時(shí)間為20 min.

圖1 靖遠(yuǎn)黃河大橋 圖2 振動(dòng)測(cè)試的測(cè)點(diǎn)布置(單位：m)Fig.1 Jingyuan Yellow River Bridge Fig.2 Arrangement of measure points for vibration test (unit: m)

2.2 模態(tài)識(shí)別結(jié)果的局部不確定性量化

為了衡量單個(gè)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)識(shí)別的模態(tài)參數(shù)不確定性，以豎向測(cè)點(diǎn)16為例，采樣時(shí)間為20 min，該測(cè)點(diǎn)的加速度時(shí)程曲線及傅里葉頻譜圖(0～5 Hz)，如圖3所示.圖3中：av為豎向加速度；Av為振幅;f為固有頻率.

以60 s為一個(gè)時(shí)間段，將豎向測(cè)點(diǎn)16的豎向加速度時(shí)程分成20組數(shù)據(jù)，可以識(shí)別20組模態(tài)參數(shù).利用自助抽樣法，假設(shè)重復(fù)抽樣1 000次，計(jì)算1 000個(gè)自助樣本的統(tǒng)計(jì)特征值，以樣本均值的均值作為該測(cè)點(diǎn)的固有頻率識(shí)別值，以自助樣本均值的方差評(píng)估參數(shù)識(shí)別的不確定性.將文中方法與特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法(ERA)、有限元模型修正后的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，豎向測(cè)點(diǎn)16前3階固有頻率對(duì)比(局部)，如表1所示.

由表1及式(13)，(15)可知：單測(cè)點(diǎn)識(shí)別的前3階固有頻率與特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法(ERA)及有限元模型修正后的計(jì)算結(jié)果基本一致；前3階固有頻率的方差分別為0.015 3,0.049 6,0.018 2，自助樣本均值的方差分別為0.003 3,0.018 5,0.003 9，測(cè)點(diǎn)16的識(shí)別結(jié)果整體穩(wěn)定性較好，離散程度較低，第2階固有頻率的方差大于第1階和第3階，其不確定性相對(duì)較高.由于隨機(jī)子空間法識(shí)別阻尼的精度不高，故阻尼比的識(shí)別算法還需進(jìn)一步研究，此處不考慮阻尼比的不確定性.

(a) 加速度時(shí)程曲線 (b) 傅里葉頻譜圖(0～5 Hz)圖3 豎向測(cè)點(diǎn)16的加速度時(shí)程曲線和傅里葉頻譜圖(0～5 Hz)Fig.3 Acceleration time history curve and Fourier spectrum (0-5 Hz) of vertical measure point 16

表1 豎向測(cè)點(diǎn)16前3階固有頻率對(duì)比(局部)Tab.1 Comparison among first three natural frequencies of vertical measure point 16 (local) Hz

豎向測(cè)點(diǎn)16基于60～120 s，780～840 s及20 min的加速度識(shí)別數(shù)據(jù)得到的穩(wěn)定圖，如圖4～6所示.由圖4，5可知：基于60～120 s的加速度識(shí)別數(shù)據(jù)僅識(shí)別出第1階和第3階的固有頻率，第2階固有頻率未被識(shí)別；基于780～840 s的加速度識(shí)別數(shù)據(jù)可以識(shí)別出前3階固有頻率，但第2階的識(shí)別結(jié)果的穩(wěn)定性較差，與方差分析結(jié)果一致.

由圖4～6可知：采用不同時(shí)間段的數(shù)據(jù)，得到的模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果不同；方差可作為識(shí)別準(zhǔn)確度的評(píng)價(jià)指標(biāo)，從而進(jìn)一步提高模態(tài)參數(shù)的識(shí)別結(jié)果.

圖4 豎向測(cè)點(diǎn)16的穩(wěn)定圖(60～120 s) 圖5 豎向測(cè)點(diǎn)16的穩(wěn)定圖(780～840 s) Fig.4 Stabilization diagram of vertical Fig.5 Stabilization diagram of vertical measure point 16 (60-120 s) measure point 16 (780-840 s)

圖6 豎向測(cè)點(diǎn)16穩(wěn)定圖(20 min)Fig.6 Stabilization diagram of vertical measure point 16 (20 min)

2.3 模態(tài)識(shí)別結(jié)果的整體不確定性量化

對(duì)于每個(gè)測(cè)試組的加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)，通過SSI-COV算法識(shí)別其模態(tài)參數(shù)，以豎向42個(gè)測(cè)點(diǎn)的加速度時(shí)程數(shù)據(jù)為例.以7個(gè)測(cè)試組識(shí)別的固有頻率值為樣本觀察值，采用文中方法對(duì)多組模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果進(jìn)行不確定性量化，并與ERA、有限元模型修正后的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.豎向測(cè)點(diǎn)16前3階固有頻率對(duì)比(整體)，如表2所示.

由表2及式(13)，(15)可知：前3階固有頻率的方差較小，分別為0.076 1,0.042 9,0.096 5，識(shí)別的固有頻率值總體上較為穩(wěn)定，自助樣本均值的方差分別為0.021 0,0.009 7,0.020 7；采用自助樣本均值的均值作為固有頻率識(shí)別值，減少了隨機(jī)誤差，與ERA及有限元模型修正后的分析結(jié)果對(duì)比，三者的識(shí)別結(jié)果基本一致.

表2 豎向測(cè)點(diǎn)16前3階固有頻率對(duì)比(整體)Tab.2 Comparison among first three natural frequencies of vertical measure point 16 (whole) Hz

3 結(jié)論

提出一種基于Bootstrap抽樣的模態(tài)參數(shù)識(shí)別不確定性量化方法，從整體和局部的角度量化靖遠(yuǎn)黃河大橋模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果的不確定性，得到以下2點(diǎn)結(jié)論.

1) 單個(gè)測(cè)試組識(shí)別的前3階固有頻率均值分別為1.526 5，1.788 0，2.306 0；方差分別為0.015 3，0.049 6，0.018 2；不同測(cè)試組識(shí)別的前3階固有頻率的均值分別為1.553 9，1.720 6，2.165 2；方差分別為0.076 1，0.042 9，0.096 5.這說明識(shí)別的固有頻率值總體上較為穩(wěn)定.

2) 樣本均值的均值、均值的方差都可以用于評(píng)價(jià)模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果局部，以及整體的大小與變異程度，即均值的方差越小，不確定性越小，識(shí)別結(jié)果的可信度越高；反之，則說明不確定性越大，波動(dòng)越大，離散程度越高.