方有亮， 李宗嬈，張穎，婁佳琪

(河北大學(xué) 建筑工程學(xué)院，河北 保定 071002)

近年來，國內(nèi)外學(xué)術(shù)界和工程界對于結(jié)構(gòu)損傷識別的研究十分廣泛和深入，并提出和發(fā)展了許多結(jié)構(gòu)損傷識別方法.其中，功率譜密度是進行損傷識別與分析的有效用具.李曰兵等[1]采用廢止鐵路線鋼橋為試件，利用正弦掃頻波激振鋼橋,分析其損傷前后加速度響應(yīng)功率譜密度的變化來進行損傷識別. Gilbert-Rainer[2]針對相關(guān)信號段和相應(yīng)諧波的整數(shù)周期計算每個信號分量的功率譜，提出了一種基于固有頻率變化的梁式結(jié)構(gòu)損傷檢測及損傷位置和損傷程度評估的新方法.鄭澤棟等[3]采用虛擬激勵法計算功率譜密度對結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)的靈敏度，并結(jié)合有限元模型修正，對平面框架結(jié)構(gòu)和剪力墻結(jié)構(gòu)進行損傷識別.然而，在求功率譜靈敏度時，直接求取響應(yīng)功率譜關(guān)于結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)的偏微分比較困難.

另外，大部分方法在對大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的損傷診斷時需要較多自由度信息以及測點，因此實際工程中存在模態(tài)參數(shù)測量不完整的問題.為了提高計算效率，很多子結(jié)構(gòu)識別方法應(yīng)運而生.鄭鴻飛[4]通過Guyan靜力凝聚法對無砟軌道模型進行自由度縮減來降低結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目，并計算討論了靜力、動力學(xué)分析在無砟軌道分析中的適用性.侯吉林等[5]利用子結(jié)構(gòu)響應(yīng)的線性組合，采用子結(jié)構(gòu)隔離法構(gòu)造虛擬支撐，提出了一種改進的基于局部自由響應(yīng)的子結(jié)構(gòu)損傷識別方法.翁順等[6]通過對子結(jié)構(gòu)的模態(tài)解進行組集從而得到整體結(jié)構(gòu)的模態(tài)解，從而應(yīng)用于結(jié)構(gòu)模型的修正與損傷識別.張青霞等[7]提出子結(jié)構(gòu)的虛擬變形方法，利用子結(jié)構(gòu)主要的虛擬變形來模擬損傷，在不重建結(jié)構(gòu)有限元模型情況下，快速計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)，提高了計算效率.

本文進行結(jié)構(gòu)損傷識別時引入子結(jié)構(gòu)的概念，采用Guyan縮聚法[8]先將整體結(jié)構(gòu)劃分為若干子結(jié)構(gòu)，再組成凝聚后的整體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，在此基礎(chǔ)上進行結(jié)構(gòu)的局部損傷識別；另外，在用功率譜靈敏度進行損傷識別的過程中，采用差分法進行靈敏度分析，解決了參數(shù)的偏微分較困難的問題；并采用多個頻率下的功率譜來增加方程個數(shù).通過以上方法，達到較少測點即可進行損傷識別的目的，提高了計算效率，并通過數(shù)值算例驗證了方法的有效性.

1 差分法用于功率譜靈敏度分析

1.1 有限元方程與響應(yīng)功率譜

多自由度結(jié)構(gòu)受迫振動有限元方程為

(1)

其中，M為質(zhì)量矩陣,C為阻尼矩陣,K為剛度矩陣.阻尼矩陣采用Raleigh阻尼模型

C=α1M+α2K.

(2)

結(jié)構(gòu)在受地震隨機激勵、風(fēng)譜激勵等多點完全相干平穩(wěn)激勵的情形下，在頻域范圍內(nèi)求解結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機響應(yīng)的公式如下[9]：

S=H*SffHT,

(3)

其中，Sff為激勵譜矩陣，H*、HT分別為頻響函數(shù)矩陣的共軛和轉(zhuǎn)置，S為待求的響應(yīng)譜矩陣.

1.2 靈敏度矩陣的求取

基于靈敏度的結(jié)構(gòu)損傷識別法，首先要得到結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)或結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)對結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的靈敏度矩陣，再根據(jù)結(jié)構(gòu)損傷前后的模態(tài)參數(shù)變化或動力響應(yīng)的變化來求取結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的變化[10].

靈敏度在理論上是一個導(dǎo)數(shù)，如結(jié)構(gòu)的響應(yīng)功率譜(動力響應(yīng))對結(jié)構(gòu)單元面積(結(jié)構(gòu)參數(shù))的靈敏度為?S/?A，對于自變量較少，矩陣維數(shù)較少的情況下，比較容易獲得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；但是對于單元數(shù)量較多的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，直接采用導(dǎo)數(shù)方法求取靈敏度是比較困難的,有時甚至是不可微的[11].

設(shè)結(jié)構(gòu)的單元損傷參數(shù)為A，假定結(jié)構(gòu)有m個單元，n個自由度，假定第i個單元發(fā)生損傷，則取一個極小的損傷量ΔA，發(fā)生損傷后的單元參數(shù)矩陣為

A(I)=[A01…A0i+ΔA…A0m]T.

(4)

在損傷量為ΔA的情況下，功率譜變化矩陣

(5)

響應(yīng)功率譜ΔS對損傷參數(shù)A的靈敏度矩陣如式(6)所示.

(6)

其中ω代表功率譜函數(shù)的頻率，Sdij為損傷后的功率譜函數(shù).上式為第i個單元損傷時的靈敏度矩陣，由于不能確定結(jié)構(gòu)損傷的具體情況，即單元發(fā)生損傷的位置與數(shù)量，因此應(yīng)當將功率譜矩陣中的所有元素分別對所有的單元損傷參數(shù)進行差分計算，為了使矩陣能夠表達成一個方程組的形式，將n行n列的靈敏度矩陣寫成一個n*n行一列的矩陣，即

(7)

(8)

(9)

1.3 超靜定方程組的改進

在實際工程中，通過測量結(jié)構(gòu)自由度功率譜響應(yīng)來進行結(jié)構(gòu)損傷檢測時，通常是選擇結(jié)構(gòu)的部分測點測量，而不是將所有自由度一一測量，在這種情況下，式(9)所表示的超靜定方程組的方程個數(shù)將會減少，當方程個數(shù)少于未知數(shù)時，將會難以求解或者誤差很大.為了解決上述問題，本文采用功率譜的多個頻點來增加方程的個數(shù)(但并不增加實驗的次數(shù))，可以通過測量幾個自由度的響應(yīng)，選取不同頻率下的功率譜值，組成功率譜矩陣和功率譜變化矩陣，并求靈敏度矩陣,組成新的方程組，通過對其求解可得到損傷前后的結(jié)構(gòu)損傷參數(shù).

在本文的框架模型的數(shù)值模擬中，選取了4個自由度的響應(yīng)，比如選擇S11、S12、S13和S144個響應(yīng)時，然后選擇10個不同頻率下的功率譜對損傷參數(shù)求取靈敏度矩陣，組成的方程組如式(10).

(10)

通過由式(3)計算的結(jié)構(gòu)損傷前后響應(yīng)功率譜，組成功率譜矩陣，并計算得到式(8)的靈敏度矩陣，代入并求解方程組(10)，即可將結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)識別出來.

1.4 損傷參數(shù)識別的迭代過程

當激勵譜以及結(jié)構(gòu)模型損傷前后測量的響應(yīng)功率譜已知時，可以通過迭代的方法來識別結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)，用一條曲線來近似模擬迭代的過程(圖1).

圖1 功率譜函數(shù)迭代示意Fig.1 Iterative schematic diagram of power spectral function

3)S(A3)與S2并不相等，重復(fù)以上步驟反復(fù)迭代直至得到A(i+1)和S2-S(A(i+1))，當S2-S(A(i+1))的值到達設(shè)定的允許值，即A無限接近結(jié)構(gòu)實際損傷后的面積時，迭代結(jié)束.最后采用最小二乘法求解超靜定方程組.

2 子結(jié)構(gòu)的Guyan縮聚法

在實際的結(jié)構(gòu)損傷識別問題中, 通過實驗測量的振型通常是不完整的,當發(fā)生實測自由度數(shù)少于結(jié)構(gòu)有限元模型自由度數(shù)的問題時,可以采用模型縮聚方法[12].

首先將整體結(jié)構(gòu)劃分為若干個子結(jié)構(gòu)，對子結(jié)構(gòu)進行模態(tài)特性分析，通過實施坐標凝聚，保留部分低階模態(tài)，最后達到減少整體結(jié)構(gòu)動力分析自由度的目的.

子結(jié)構(gòu)的Guyan縮聚方法如下：

選擇對接界面自由度為主坐標，用B表示；需要縮減的內(nèi)部自由度為副坐標，用I表示,則子結(jié)構(gòu)的運動方程為

(11)

忽略對接界面的慣性力，得到子結(jié)構(gòu)的Guyan縮聚變換

(12)

其中，轉(zhuǎn)換矩陣

(13)

縮聚后的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣為

(14)

(15)

因此，子結(jié)構(gòu)經(jīng)Guyan縮聚后的運動方程為

(16)

在縮聚前結(jié)構(gòu)的分析自由度為(nI+nB)，通過劃分子結(jié)構(gòu)并進行以上的縮聚，自由度縮減為nB，將縮聚后的子結(jié)構(gòu)和未縮聚的子結(jié)構(gòu)通過“對號入座”的方式組裝，即可得到結(jié)構(gòu)整體的動力學(xué)方程.

3 數(shù)值算例

3.1 整體結(jié)構(gòu)的縮聚

圖2為三層兩跨的剛架，材料參數(shù)彈性模量E=2.06×1011Pa，密度ρ=7 800 kg/m3，截面長寬分別為0.031 m、0.008 m，每個單元長度均為0.28 m.該模型有15個單元，12個節(jié)點，36個自由度.

圖2 整體結(jié)構(gòu)Fig.2 monolithic construction

建模時，采用一致質(zhì)量矩陣，比例阻尼系數(shù)α1、α2分別為0.000 5、0.000 1(對于數(shù)值模擬，阻尼比的取值對損傷識別結(jié)果影響較小), 用ANSYS(有限元建模軟件)和MATLAB(有限元編程軟件)對結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析得到整體結(jié)構(gòu)的前5階頻率.在劃分子結(jié)構(gòu)時，子結(jié)構(gòu)劃分不但要有利于各子結(jié)構(gòu)的動態(tài)分析和整體的動力綜合，更要盡量兼顧到實際結(jié)構(gòu)加工裝配過程中各部件的“天然”組合狀態(tài)，如按實際結(jié)構(gòu)的裝配關(guān)系和幾個形狀的相對獨立性劃分；盡可能使各子結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)相近，避免剛度矩陣或質(zhì)量矩陣的階數(shù)相差懸殊；盡可能按同樣的幾何關(guān)系和邊界條件劃分，以減少各子結(jié)構(gòu)特征值的計算次數(shù)等[13].因此將模型劃分子結(jié)構(gòu)如下圖3、4所示.其中子結(jié)構(gòu)1中節(jié)點5、6、7的自由度為界面自由度，節(jié)點2、3、4的自由度為內(nèi)部自由度.

圖3 子結(jié)構(gòu)1Fig.3 Substructure 1

利用上文介紹的Guyan縮聚法將整體結(jié)構(gòu)進行縮聚，將子結(jié)構(gòu)1的內(nèi)部自由度縮聚掉，經(jīng)過縮減后的子結(jié)構(gòu)1(只剩余界面自由度)凝聚到子結(jié)構(gòu)2上，形成圖5所示的結(jié)構(gòu).

圖4 子結(jié)構(gòu)2Fig.4 Substructure 2

圖5 縮聚后的結(jié)構(gòu)Fig.5 Polycondensed structure

采用MATLAB軟件對縮聚后的模型進行求解運算，得到前5階頻率，并與縮聚前的整體結(jié)構(gòu)的頻率進行比較，結(jié)果見表1.

表1 前5階頻率比較

1)觀察表1可知，ANSYS軟件分析結(jié)果與MATLAB數(shù)值分析計算所得整體結(jié)構(gòu)的前5階固有頻率基本一致.

2)對于Guyan縮聚法得到的結(jié)構(gòu)，前3階頻率與原結(jié)構(gòu)基本一致，由于被縮聚的內(nèi)部自由度質(zhì)量較大，隨著頻率升高，精度逐漸降低.

3.2 運用功率譜靈敏度分析法對縮聚結(jié)構(gòu)的損傷識別

基于Guyan縮聚后的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣來求取結(jié)構(gòu)的功率譜函數(shù)，進而采用差分法得到對損傷參數(shù)的靈敏度矩陣，并代入方程組(10)求解.假定子結(jié)構(gòu)2各節(jié)點處作用一水平向左的平穩(wěn)激勵，采用功率譜曲線峰值點的左右兩邊等差取值選取頻率.

3.2.1 單一損傷檢測

采用減少單元面積的方法模擬損傷，首先進行單一損傷研究，假設(shè)縮聚結(jié)構(gòu)的③號單元(即整體結(jié)構(gòu)的?號單元)損傷29.43%，經(jīng)過25次迭代，結(jié)果如圖6所示.

圖6表明能夠成功檢測出結(jié)構(gòu)的單一局部損傷，其檢測誤差為0.008%，其他未損傷單元檢測的最大誤差為3.58%.

圖6 單一損傷檢測Fig.6 Identification of a single damage

3.2.2 多損傷檢測

假設(shè)縮聚后模型的單元③、⑤、⑥(即整體結(jié)構(gòu)的?、?、?號單元)分別損傷29.43%、22.40%、17.26%，經(jīng)過35次迭代，損傷檢測結(jié)果如圖7所示.

圖7 多損傷檢測Fig.7 Identification of multiple damages

圖7表明能夠檢測出結(jié)構(gòu)多個位置的損傷，最大誤差為1.04%，其他未發(fā)生損傷單元檢測的最大誤差為0.39%.

4 結(jié)論

本文提出利用差分法進行靈敏度分析，避免了偏微分計算，并采用選取功率譜函數(shù)和頻率的方法達到了使用少量傳感器測量響應(yīng)功率譜，就能較準確檢測出結(jié)構(gòu)單一、多個位置局部損傷的目的.同時，通過子結(jié)構(gòu)的Guyan縮聚大幅度縮減結(jié)構(gòu)自由度，提高了計算效率.研究表明該方法具有良好的應(yīng)用前景，但是,在實際的工程運用中，對噪聲的影響以及系統(tǒng)進入非線性狀態(tài)的損傷識別等問題有待深入研究.