錢(qián)麗麗，劉思峰，鄧桂豐

(1.南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 210016；2.上海立信會(huì)計(jì)金融學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，上海 201209)

1 引言

灰靶決策模型是灰色系統(tǒng)理論中的重要內(nèi)容，自鄧聚龍教授[1]最早提出灰靶概念以來(lái)，灰靶決策[2]不僅在經(jīng)濟(jì)管理、軍事決策、石油開(kāi)發(fā)等眾多領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，而且其理論本身也得到了很大的發(fā)展。目前關(guān)于灰靶決策的研究主要集中在以下四方面的工作：①優(yōu)化研究方法。文獻(xiàn)[3]構(gòu)造了4種新型一致效果測(cè)度函數(shù)，充分考慮目標(biāo)效果值中靶和脫靶兩種不同情形，建立了一種新的多目標(biāo)加權(quán)灰靶決策模型；文獻(xiàn)[4]考慮到?jīng)Q策指標(biāo)間的相關(guān)性、重要性差異以及不同量綱對(duì)決策結(jié)果產(chǎn)生的影響，引進(jìn)加權(quán)馬氏距離對(duì)傳統(tǒng)灰靶決策方法進(jìn)行了改進(jìn)；文獻(xiàn)[5]構(gòu)造了基于非線性函數(shù)的強(qiáng)“獎(jiǎng)優(yōu)罰劣”算子，進(jìn)一步擴(kuò)大了指標(biāo)間的區(qū)分度，從而提高了決策質(zhì)量。②拓展研究范圍。由于環(huán)境的復(fù)雜性以及人類(lèi)認(rèn)識(shí)的局限性，決策信息往往表現(xiàn)出不確定性或灰性，人們對(duì)灰靶決策信息的研究也從實(shí)數(shù)不斷延伸拓展到區(qū)間數(shù)、區(qū)間灰數(shù)、三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)以及直覺(jué)模糊數(shù)等，且不少研究者在拓展建模對(duì)象的同時(shí)也不斷優(yōu)化了灰靶決策的建模方法。文獻(xiàn)[6]首次將灰靶決策模型由實(shí)數(shù)序列拓展到區(qū)間數(shù)序列，建立了區(qū)間數(shù)多指標(biāo)灰靶模型；文獻(xiàn)[7]則專(zhuān)門(mén)針對(duì)決策對(duì)象眾多的多屬性決策問(wèn)題建立了基于樣本集的區(qū)間數(shù)灰靶分類(lèi)決策模型；文獻(xiàn)[8]針對(duì)屬性值為區(qū)間灰數(shù)的情形建立了正、負(fù)靶心灰靶決策模型，使決策更加全面合理，提供了灰靶模型發(fā)展的新視角；文獻(xiàn)[9]在研究區(qū)間灰數(shù)距離計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，通過(guò)比較指標(biāo)集中各指標(biāo)值與靶心連線所圍成圖形(蛛網(wǎng))面積大小對(duì)方案進(jìn)行判斷，在一定程度上弱化了指標(biāo)異常值對(duì)灰靶決策的影響；文獻(xiàn)[10]從備選方案當(dāng)前狀態(tài)和未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)兩方面考慮，提出了基于區(qū)間灰數(shù)的動(dòng)態(tài)灰靶決策方法；文獻(xiàn)[11-13]則分別針對(duì)區(qū)間灰數(shù)型面板數(shù)據(jù)、三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)以及直覺(jué)模糊數(shù)構(gòu)建了相應(yīng)的灰靶決策模型。③融合行為科學(xué)。在研究方法不斷優(yōu)化以及研究范圍不斷拓展的基礎(chǔ)上，眾多學(xué)者在決策過(guò)程中進(jìn)一步考慮融入決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度和心理行為。文獻(xiàn)[14]將前景理論與灰靶決策方法相結(jié)合，定義正負(fù)理想靶心以及前景價(jià)值函數(shù)，構(gòu)建基于區(qū)間數(shù)的方案綜合前景值最大化的優(yōu)化模型；文獻(xiàn)[15]定義了區(qū)間灰數(shù)的距離測(cè)度和排序方法，針對(duì)區(qū)間灰數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)型動(dòng)態(tài)決策問(wèn)題，建立了基于累積前景理論的正負(fù)橢球灰靶模型；文獻(xiàn)[16]則將決策者的后悔心理融入決策過(guò)程中，建立了基于后悔理論的多目標(biāo)灰靶決策方法。④集結(jié)群體意見(jiàn)。文獻(xiàn)[17-18]分別針對(duì)信息值為區(qū)間灰數(shù)、三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的情形，在確定決策者權(quán)重后，按照方案的綜合前景值對(duì)方案進(jìn)行排序；文獻(xiàn)[19]考慮群體決策中決策者評(píng)價(jià)信息的差異程度，提出相應(yīng)的類(lèi)別加權(quán)算子，建立了具有多個(gè)靶心的環(huán)形灰靶決策方法；文獻(xiàn)[20]在權(quán)重信息不完全的情境下基于多粒度語(yǔ)言信息提出了多階段灰靶決策方法并將其推廣至群決策模型中；文獻(xiàn)[21]則提出了灰色多屬性的偏離靶心度群體決策模型。

目前，灰靶決策在方法優(yōu)化、對(duì)象拓展以及科學(xué)行為融合方面都比較成熟，而關(guān)于群體灰靶決策的研究尚處于起步階段。在實(shí)際中，由于決策問(wèn)題的復(fù)雜性以及單個(gè)決策者自身的限制，如何有效集結(jié)群體專(zhuān)家的評(píng)價(jià)信息顯得尤為重要，因此群體灰靶決策值得深入研究，研究的視角也可多樣化。文獻(xiàn)[21]就是首次引入了群體正負(fù)靶心的概念，建立了群體偏離靶心度矩陣，利用各群體偏離靶心度的大小對(duì)各方案的優(yōu)劣進(jìn)行判斷，其基本思想是“群決策的結(jié)論應(yīng)盡量接近所有成員最理想方案，越接近群體正靶心而同時(shí)又遠(yuǎn)離群體負(fù)靶心的方案越優(yōu)”[21]。本文認(rèn)為，群體正負(fù)靶心的構(gòu)造能夠體現(xiàn)群體意見(jiàn)的集結(jié)，群體偏離靶心度對(duì)于群體灰靶決策是一個(gè)有益的嘗試。然而，文獻(xiàn)[21]也有不足之處：(1)決策者的權(quán)重向量是已知的、確定的。群決策中專(zhuān)家權(quán)重的確定是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，權(quán)重值會(huì)影響決策結(jié)果的科學(xué)性。文獻(xiàn)[21]直接給定了專(zhuān)家權(quán)重，這種處理方式?jīng)]有考慮決策問(wèn)題本身含有的信息對(duì)權(quán)重賦值的影響，不夠客觀；(2)對(duì)區(qū)間灰數(shù)的運(yùn)算處理在很大程度上都是借鑒了區(qū)間數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，未能體現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)的特征和本質(zhì)；(3)沒(méi)有考慮未來(lái)自然狀態(tài)的不確定性，同時(shí)也沒(méi)有考慮決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度和心理行為，而決策者們對(duì)方案主觀上的風(fēng)險(xiǎn)偏好及心理因素對(duì)決策結(jié)果有直接影響。另外，縱觀關(guān)于群體灰靶決策的文獻(xiàn)，盡管文獻(xiàn)[17-18]已考慮了決策者的心理行為，將前景理論引入決策過(guò)程中，但由于計(jì)算中有不少未知參數(shù)，且一般需要決策者事先確定參照點(diǎn)信息，使得應(yīng)用有些不方便。在此背景下，由文獻(xiàn)[22-23]提出的后悔理論引起廣泛關(guān)注，其在各類(lèi)決策問(wèn)題中得到了充分應(yīng)用[24-31]。文獻(xiàn)[24-31]一致認(rèn)為，融入后悔理論的計(jì)算過(guò)程涉及的參數(shù)相對(duì)較少，且決策者不需要事先給定參考點(diǎn)，在應(yīng)用上比前景理論有優(yōu)勢(shì)。但目前還沒(méi)有文獻(xiàn)將后悔理論融進(jìn)風(fēng)險(xiǎn)型群體灰靶決策模型中。

基于此，本文嘗試將后悔理論引入到信息值和狀態(tài)概率均為區(qū)間灰數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)型多指標(biāo)群體決策過(guò)程中，通過(guò)建立決策者的綜合灰色感知效用矩陣引入灰色偏離靶心度的概念，由此構(gòu)建群體正負(fù)靶心灰靶決策模型；在專(zhuān)家權(quán)重未知的背景下以灰色群體偏離靶心度綜合值最大化為目標(biāo)、并依據(jù)極大熵原理構(gòu)建優(yōu)化模型，求解最優(yōu)權(quán)重向量，得出各方案的灰色群體偏離靶心度并進(jìn)行排序；最后運(yùn)用本文所提方法分析解決了一個(gè)新產(chǎn)品投資方案選擇的案例，說(shuō)明該模型的實(shí)用性。

2 考慮后悔規(guī)避的群體灰靶決策方法

2.1 問(wèn)題描述

(1)

現(xiàn)欲對(duì)上述群體決策問(wèn)題確定最佳方案。

決策過(guò)程中會(huì)涉及區(qū)間灰數(shù)的運(yùn)算和排序，關(guān)于具體運(yùn)算規(guī)則和排序方法可參見(jiàn)文獻(xiàn)[27]，這里不再重復(fù)列述。

由于各指標(biāo)具有不同的量綱，為便于直接比較，需要將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)范化處理。

對(duì)于效益型指標(biāo)值和成本型指標(biāo)值，可分別采用上限效果測(cè)度和下限效果測(cè)度

(2)

(3)

由此可得決策者M(jìn)k在狀態(tài)St下的規(guī)范化灰色決策矩陣

(4)

以及加權(quán)規(guī)范化灰色決策矩陣

(5)

其中

(6)

2.2 后悔理論在群體灰靶決策中的應(yīng)用

后悔理論最早由Bell[22], Loomes 和Sudgen[23]分別獨(dú)立提出，它們的表現(xiàn)形式不同，但思想相同，都認(rèn)為在決策過(guò)程中決策者會(huì)將其選擇方案獲得的結(jié)果與其他方案可能獲得的結(jié)果進(jìn)行比較，因而產(chǎn)生后悔和欣喜兩種心理，且試圖避免選擇會(huì)使其后悔的方案，即決策者是后悔規(guī)避的[25]。本文依據(jù)經(jīng)典的后悔理論，研究如何將決策者的后悔規(guī)避心理融入到群體灰靶決策過(guò)程中。

文獻(xiàn)[27]已針對(duì)區(qū)間灰數(shù)情形給出了灰色效用函數(shù)、灰色后悔-欣喜函數(shù)以及灰色感知效用函數(shù)的定義，并分別采用冪函數(shù)v(x)=xα(0<α<1)、R(Δv)=1-exp(-δΔv)(δ>0)表示效用函數(shù)和后悔-欣喜函數(shù)。這里α和δ分別表示決策者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)和后悔規(guī)避系數(shù)；α越小，表示決策者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越大；δ越大，表示其后悔規(guī)避程度越大。Δv則是關(guān)于兩個(gè)方案結(jié)果效用值之差的變量，可證若Δv0>0，則有|R(-Δv0)|>R(Δv0)，這表明決策者對(duì)-Δv0的心理感知比對(duì)Δv0更加敏感[24-25]。與欣喜這種正面情緒相比較，后悔作為一種負(fù)面情緒對(duì)效用的影響更強(qiáng)。

由此，在狀態(tài)St下，決策者M(jìn)k對(duì)方案Ai關(guān)于指標(biāo)Bj的灰色感知效用函數(shù)可表示為

(7)

這里

(8)

從而可建立決策者M(jìn)k的綜合灰色感知效用矩陣為

(9)

(10)

為決策者M(jìn)k的灰靶決策的最優(yōu)效果向量，稱(chēng)為Mk的灰色正靶心。

(11)

為決策者M(jìn)k的灰靶決策的最劣效果向量，稱(chēng)為Mk的灰色負(fù)靶心。

定義3 決策者M(jìn)k對(duì)方案Ai的灰色正靶心距為

(12)

定義4 決策者M(jìn)k對(duì)方案Ai的灰色負(fù)靶心距為

(13)

定義5

(14)

稱(chēng)為決策者M(jìn)k對(duì)方案Ai的灰色偏離靶心度。

2.3 群體正負(fù)靶心灰靶決策

現(xiàn)有l(wèi)個(gè)決策者，依據(jù)定義5建立灰色偏離靶心度矩陣如下：

(15)

+S(?)={+s(1)(?),+s(2)(?),…,+s(l)(?)}

(16)為群體灰色正靶心。

-S(?)={-s(1)(?),-s(2)(?),…,-s(l)(?)}

(17)

為群體灰色負(fù)靶心。

設(shè)決策者的權(quán)重向量為L(zhǎng)={λ1,λ2,…λl}

定義8 方案Ai關(guān)于群體灰色正靶心的灰色正靶心距為

(18)

定義9 方案Ai關(guān)于群體灰色負(fù)靶心的灰色負(fù)靶心距為

(19)

定義10 稱(chēng)

(20)

為方案Ai的灰色群體偏離靶心度。

εi(?)越大，說(shuō)明方案Ai離群體正靶心越近，同時(shí)離群體負(fù)靶心越遠(yuǎn)，從而Ai越優(yōu)。

2.4 決策者權(quán)重的確定

(21)

2.5 方法步驟總結(jié)

步驟1 依據(jù)文獻(xiàn)[27]將原始數(shù)據(jù)信息轉(zhuǎn)化為“核”和灰度的區(qū)間灰數(shù)形式，并由式(2) (3) (4)得到每個(gè)狀態(tài)下的各決策者的規(guī)范化灰色決策矩陣。

步驟2 確定決策者關(guān)于指標(biāo)值權(quán)重向量的標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間灰數(shù)形式，由式(5) (6)得出各狀態(tài)下各決策者的加權(quán)規(guī)范化灰色決策矩陣。

步驟3 根據(jù)式(7) (8) (9)，建立各決策者的綜合灰色感知效用矩陣。

步驟4 根據(jù)式(10) - (14)，計(jì)算各決策者對(duì)各方案的灰色偏離靶心度，并由式(15)建立灰色偏離靶心度矩陣。

步驟5 根據(jù)式(16) - (19)，計(jì)算各方案關(guān)于群體灰色正負(fù)靶心的靶心距，再由式(20)得出各方案的灰色群體偏離靶心度的表達(dá)式。

步驟6 據(jù)式(21)建立目標(biāo)優(yōu)化模型，計(jì)算出最優(yōu)權(quán)重向量并代入式(18)-(20)，求出各方案的灰色群體偏離靶心度的具體值并進(jìn)行排序。

3 算例分析

某公司欲投資開(kāi)發(fā)一種新產(chǎn)品，根據(jù)考察的情況擬定了3種開(kāi)發(fā)方案，考慮的指標(biāo)主要包括銷(xiāo)售量B1、市場(chǎng)占有率B2、開(kāi)發(fā)成本B3等三方面。而未來(lái)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)、市場(chǎng)環(huán)境不確定，“好”“中”“差”的概率分別為區(qū)間灰數(shù)[0.4,0.6]、[0.4.0.5]、[0.1,0.3]?，F(xiàn)公司邀請(qǐng)了三位專(zhuān)家Mk(k=1,2,3)對(duì)這三個(gè)方案Ai(i=1,2,3)進(jìn)行評(píng)估決策。根據(jù)公司提供的數(shù)據(jù)資料，專(zhuān)家們的評(píng)估值具體可見(jiàn)表1。三位專(zhuān)家對(duì)三個(gè)指標(biāo)的區(qū)間灰數(shù)權(quán)重向量分別為：[0.5,0.7]、[0.3,0.4]、[0.5,0.6]；[0.6,0.8]、[0.3,0.5]、[0.4,0.5]；[0.5,0.7]、[0.4.0.5]、[0.4,0.6]?，F(xiàn)欲選出最佳投資開(kāi)發(fā)方案。

表1 風(fēng)險(xiǎn)決策矩陣

步驟1設(shè)銷(xiāo)售量B1、市場(chǎng)占有率B2、開(kāi)發(fā)成本B3的論域[27]分別為[0,30]、[0,20]、[80,130]，由此將原始區(qū)間灰數(shù)轉(zhuǎn)化為“核和灰度”的簡(jiǎn)化形式，并對(duì)效益型指標(biāo)B1、B2和成本型指標(biāo)B3，分別采用上限效果測(cè)度和下限效果測(cè)度規(guī)范化處理后，得三種狀態(tài)下三位專(zhuān)家的規(guī)范化灰色決策矩陣

步驟2將三位專(zhuān)家對(duì)三個(gè)指標(biāo)的區(qū)間灰數(shù)權(quán)重向量轉(zhuǎn)化為“核和灰度”的簡(jiǎn)化形式：

ω(1)(?)=(0.40.2,0.230.2,0.370.2)

ω(2)(?)=(0.450.2,0.260.2,0.290.2)

ω(3)(?)=(0.390.2,0.290.2,0.320.2)

由式(5)，得三種狀態(tài)下三位專(zhuān)家的加權(quán)規(guī)范化灰色決策矩陣

步驟3依據(jù)文獻(xiàn)[33][25]，分別構(gòu)造效用函數(shù)v(x)=x0.88、后悔-欣喜函數(shù)R(Δv)=1-e-0.3Δv，并將市場(chǎng)“好”“中”“差”的概率轉(zhuǎn)化為“核和灰度”的形式0.440.2、0.390.2、0.170.2。由式(7) (8) (9)，得三位專(zhuān)家的綜合灰色感知效用矩陣如下：

U(1)(?)=

U(2)(?)=

U(3)(?)=

步驟4由式(10) - (13)計(jì)算出三位專(zhuān)家的灰色正靶心和灰色負(fù)靶心，以及對(duì)方案的正靶心距和負(fù)靶心距，由此依據(jù)定義5建立灰色偏離靶心度矩陣如下：

步驟5由式(16)(17)分別得出群體灰色正靶心和群體灰色負(fù)靶心

+S(?)={0.560.5,0.610.5,0.590.5}

-S(?)={0.440.5,0.320.5,0.460.5}

再由式(18)(19)計(jì)算出三個(gè)方案關(guān)于群體正靶心的正靶心距和關(guān)于群體負(fù)靶心的負(fù)靶心距，由此根據(jù)定義10得三個(gè)方案的灰色群體偏離靶心度如下：

ε1(?)=

ε2(?)=

ε3(?)=

步驟6建立目標(biāo)優(yōu)化模型

這里取μ=0.5，利用matlab軟件求解上述模型，可得專(zhuān)家權(quán)重最優(yōu)解

0.3660)

代入式(20)，可得三種方案的灰色群體偏離靶心度，具體值見(jiàn)表2。

表2 各方案結(jié)果表

按照區(qū)間灰數(shù)大小排序規(guī)則[27]可知，方案A1最優(yōu)，且大幅度優(yōu)于A2,A3，應(yīng)選擇方案A1。

本文的方法能夠反映決策者的后悔規(guī)避的心理行為和風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，構(gòu)建了融入科學(xué)行為情境下的群體灰靶決策模型，較好地解決了風(fēng)險(xiǎn)型多指標(biāo)群決策問(wèn)題。同時(shí)采用定量化的、客觀的方式求解專(zhuān)家權(quán)重，實(shí)現(xiàn)了主觀與客觀的結(jié)合和統(tǒng)一。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)信息值和狀態(tài)概率均為區(qū)間灰數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)型多指標(biāo)群決策問(wèn)題，提出了一種基于后悔理論和區(qū)間灰數(shù)信息的群體偏離靶心度決策方法。在考慮區(qū)間灰數(shù)本身信息特征的基礎(chǔ)上，將決策者的后悔規(guī)避的心理行為融入到?jīng)Q策過(guò)程中，建立了灰色偏離靶心度矩陣；結(jié)合極大熵原理，以灰色群體偏離靶心度綜合值最大化為目標(biāo)構(gòu)建模型求解最優(yōu)專(zhuān)家權(quán)重，并對(duì)方案進(jìn)行排序。本文所提方法引入了群體灰色正負(fù)靶心、灰色群體偏離靶心度的概念，同時(shí)也融入了決策者的科學(xué)行為心理，為群體灰靶決策模型提供了新的途徑和視角。