福建省龍巖市教育科學研究院 (364000) 盧燕霞

不等式選講為全國卷高考選考內容之一,題型較穩(wěn)定，屬中檔題.主要考查絕對值不等式的求解、不等式證明的基本方法(比較法、綜合法、分析法等)及根據(jù)給定條件求參數(shù)的取值范圍、用基本不等式研究代數(shù)式的最值及證明不等式等問題，交匯考查集合的概念、絕對值的概念、函數(shù)的概念、函數(shù)的圖像與性質、二次不等式、基本不等式等內容.試題分兩問，第一問多為考查解絕對值不等式或利用基本不等式求最值；第二問多為考查不等式恒成立問題或根據(jù)給定條件求參數(shù)的取值范圍或利用基本不等式證明不等式.考查運算求解能力、推理論證能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學運算.下面我將對學生在此專題學習過程中存在的主要問題進行剖析，并提出相應的解決問題對策.

一、存在的問題及原因分析

1．絕對值不等式求解技能掌握不到位

解絕對值不等式的關鍵是去絕對值符號，等價轉化為不含絕對值符號的不等式，然后用已有方法求解.但面對具體問題的多樣形式有不同的求解方法與技巧，如平方法、零點分段討論法、利用絕對值的幾何意義等，不少同學對此掌握不到位.

例1 (2017全國Ⅰ卷23(1))已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x-1|．當a=1時，求不等式f(x)≥g(x)的解集.

解析:當a=1時，f(x)≥g(x)等價于-x2+x+4≥|x+1|+|x-1|①.

2．不能對條件進行正確的等價轉化

等價轉化思想是一種重要的數(shù)學思想，在解題中的作用往往體現(xiàn)為化復雜為簡單、化陌生為熟悉，但在考試中不少同學對不等式的有關條件不能進行正確轉化而導致失誤.

例2 (2017全國Ⅲ卷23(2))已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范圍.

解析:原式等價于存在x∈R，使f(x)-x2+x≥m成立，即[f(x)-x2+x]max≥m.

設g(x)=f(x)-x2+x，由已知得

當x≤-1時，g(x)=-x2+x-3

評析:本題主要考查不等式解集的概念、絕對值的意義、二次函數(shù)區(qū)間上最值等基礎知識.解答中的主要問題還是在題意的理解與問題的等價轉化.錯點一，將“不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空”等價轉化為f(x)max≥x2-x+m解集非空，忽略了右邊的代數(shù)式也是隨著x的變化而變化，左右兩邊的x表示的是同一個數(shù)；錯點二，將“不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空”等價轉化為“m≤g(x)min”，錯在對“解集非空”的理解上.所謂“解集非空”即存在x使得不等式f(x)≥x2-x+m成立，等價于存在x使得不等式|x+1|-|x-2|-x2+x≥m成立，等價于(|x+1|-|x-2|-x2+x)max≥m即可.

3.不等式證明思路不清，無法迅速找到切合題意的證明方法

不等式的證明首先需要把握思路，沒有明確的證題思路就會陷于混亂之中，導致簡單問題復雜化，或者證明過程不完善.

例3 (2019全國Ⅰ卷23)已知a,b,c為正數(shù)，且滿足abc=1，證明：

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

(2)由基本不等式且a,b都是正數(shù)得a+b≥

評析:本題主要考查基本不等式、不等式的證明方法等基礎知識，難點在于尋找突破口，不懂利用已知條件abc=1，合理轉化為待證不等式，導致無從下手；另外，解題思路不清晰，盲目解答，目標導向意識與解題策略選擇意識不強，不能依據(jù)題意合理選擇不等式的證明方法.

4.知識掌握不到位，無法優(yōu)選算法化簡求解過程

不少不等式問題的求解與求證可有不同的角度，即不同的方法，這時不同方法的選擇就會對求解(證)過程的繁簡產(chǎn)生影響，而是否能優(yōu)選算法依賴于對知識與方法的到位與熟練的把握，依賴于平時對相關問題的反思與感悟.

解析:(法一)因為a>0，所以

綜上,得f(x)≥2成立.

評析:法二根據(jù)絕對值不等式的性質直接證得結論，相比法一快捷明了.本題的主要問題在于對絕對值不等式的性質掌握不到位，導致無法快速求解.

二、解決問題的對策

1．強化絕對值不等式的求解訓練

絕對值不等式的求解問題是高考全國卷?？贾R點，可以歸納為寫成分段函數(shù)求解、利用函數(shù)圖象求解、利用絕對值不等式性質求解等方法.應全面加強基本概念、基本方法、基本技能的學習，熟練掌握解絕對值不等式問題的常規(guī)題型，重視不等式證明的通性通法，做到既能正確分類，又能合理整合，準確快捷解答，同時注意對求解過程等價性的關注.

2．加強對不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”等幾種模型的識別及求解能力

不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”是高考的常見模型，解決問題的關鍵是對其進行恰當?shù)牡葍r轉換，并借助函數(shù)與方程思想，數(shù)形結合思想，利用函數(shù)圖象、函數(shù)最值等來解決問題.復習過程中可通過一題多變強化對上述各種模型的識別，掌握其解決方案.

3．關注基本不等式、絕對值不等式性質的應用

基本不等式、絕對值不等式性質在求最值、證明不等式等方面都有很重要的作用.應用基本不等式或絕對值不等式性質求最值時，均應注意等號成立的條件是否具備，當且僅當?shù)忍柍闪⒌臈l件具備時方可應用其求最值，這也是用基本不等式或絕對值不等式性質求最值的一個易錯點，應引起關注.

4．加強審題能力的訓練，培養(yǎng)審題意識

應加強審題能力的訓練，培養(yǎng)審題意識，鍛煉審題耐心.備考中可適當總結一些典型題型，歸納解題的思想方法，學會具體問題具體分析的解題意識，對于有多種解法的情形，應學會選擇最有效的方法.