（西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611756）

1982 年，Wille 提出了形式概念分析(FCA)理論[1]實(shí)現(xiàn)了哲學(xué)意義上概念的形式化描述。FCA的研究對象為形式背景，通過概念生成算子產(chǎn)生形式背景中的形式概念。形式背景中的所有形式概念按照特定的序關(guān)系構(gòu)成完備格（概念格），這種序關(guān)系描述了概念之間的層次結(jié)構(gòu)。作為數(shù)據(jù)分析與知識獲取的一種有效工具，F(xiàn)CA 已廣泛應(yīng)用于知識工程、決策分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域。目前，形式概念分析的主要研究方向包括概念格擴(kuò)展模型[2－6]、屬性約簡與規(guī)則獲取理論[7－15]、三支概念分析[16－19]等。在概念格擴(kuò)展模型研究方面，Düntsch 等[2]基于模態(tài)算子提出了面向?qū)傩缘男问礁拍畈⒔⒘嗣嫦驅(qū)傩愿拍罡?。Yao[3－4]進(jìn)一步對基于粗糙集理論及基于形式概念分析理論的決策規(guī)則進(jìn)行了對比分析，并提出了面向?qū)ο蟮男问礁拍?。Burusco 等[5]與Belohlavek 等[6]等將模糊集理論與FCA 相結(jié)合，提出了模糊形式概念分析理論。

多源數(shù)據(jù)是針對特定的研究對象從若干信息源獲取的數(shù)據(jù)。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展及計算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，科學(xué)研究與社會實(shí)際中的數(shù)據(jù)不斷增長且呈現(xiàn)出多源化趨勢?；诙嘣磾?shù)據(jù)的知識發(fā)現(xiàn)理論與方法研究成為近年來相關(guān)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。Xu 等[20]借助信息熵刻畫信息源重要度，給出了一種多源信息系統(tǒng)融合方法，進(jìn)而將多源信息系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單源信息系統(tǒng)，討論了相應(yīng)的程度粗糙集模型及多粒度粗糙集模型。Wu 等[21]提出了多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)的概念。多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)由多個具有相同對象集和屬性集的信息系統(tǒng)構(gòu)成，這些信息系統(tǒng)中屬性具有特定的細(xì)化關(guān)系。人們對多粒度標(biāo)記決策信息系統(tǒng)的最優(yōu)粒度選擇方法、基于多粒度粗糙近似算子的知識獲取等進(jìn)行了大量研究[22－24]。最近，Wei 等[25]對基于粗糙集理論的多源信息系統(tǒng)信息融合方法進(jìn)行了系統(tǒng)分析。

在多源形式概念分析方面，Huang 等[26]從信息融合角度提出了三支概念認(rèn)知算子，給出了一種三支概念認(rèn)知學(xué)習(xí)方法。李金海等[27]提出了多粒度標(biāo)記形式背景的概念，通過正向尺度化和反向尺度化方法刻畫了多粒度標(biāo)記信息系統(tǒng)與多粒度標(biāo)記形式背景之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，并討論了多粒度標(biāo)記下的蘊(yùn)涵規(guī)則。曾望林等[28]通過屬性樹將面向?qū)ο蟾拍顝膯瘟６韧卣怪炼嗔６?，刻畫了不同粗?xì)粒度下面向?qū)ο蟮男问礁拍钪g的內(nèi)在聯(lián)系。楊涵等[29]對不同粒度標(biāo)記下形成的面向?qū)傩缘母拍罡裰g的關(guān)系進(jìn)行了研究，提出了相應(yīng)的概念格生成的方法。魏玲等[30]研究了多源決策形式背景基于粒概念的屬性約簡問題，刻畫了多源與單源決策形式背景屬性約簡的關(guān)系，提出了多源決策形式背景的規(guī)則獲取方法。

總體上講，由于形式背景數(shù)據(jù)的特殊性及概念格構(gòu)造的復(fù)雜性，從形式概念分析角度探索多源數(shù)據(jù)情形下的知識發(fā)現(xiàn)研究還比較少見。另外，現(xiàn)有研究大多采用“融合知識”的手段，即首先研究多源形式背景中各單源形式背景的概念格結(jié)構(gòu)及屬性約簡，然后通過適當(dāng)?shù)木酆纤阕尤诤线@些概念格結(jié)構(gòu)及屬性約簡得到多源形式背景的結(jié)構(gòu)。本文針對多源形式背景提出一種“融合數(shù)據(jù)”的研究方法，首先借助完備剩余格將多源形式背景融合為模糊形式背景，進(jìn)而研究該模糊形式背景的模糊概念格與相應(yīng)的單源形式背景的概念格之間的關(guān)系，并給出相關(guān)概念格之間的相互誘導(dǎo)方法。本文的工作將為多源形式概念分析提供一種新思路。

1 預(yù)備知識

本節(jié)給出形式概念分析中的一些基本概念及基本性質(zhì)。

定義1[1]稱三元組(G,M,I)是一個形式背景，其中G是非空有限對象集，M是非空有限屬性集，I是G和M上的二元關(guān)系，即I?G×M。對于任意g∈G和m∈M，若(g,m)∈I，則稱對象g具有屬性m；若(g,m)?I，則稱對象g不具有屬性m。

在形式背景(G,M,I)上，Wille[1]提出了一對概念生成算子↑:2G→2M和↓:2M→2G，對于任意X?G,A?M：

概念生成算子具有如下基本性質(zhì)。

性質(zhì)1[1]設(shè)(G,M,I)是一個形式背景，對于任意X,X1,X2?G,B,B1,B2?M，有：

1)X1?X2?X2↑?X1↑，B1?B2?B2↓?B1↓；

2)X?X↑↓,B?B↓↑；

3)X↑=X↑↓↑,B↓=B↓↑↓；

4)X?B↓?B?X↑；

5)(X1∪X2)↑=X1↑∩X2↑,(B1∪B2)↓=B1↓∩B2↓。

定義2[1]設(shè)(G,M,I)是一個形式背景，對任意X?G,B?M，若X↑=B且X=B↓，則稱二元序?qū)?X,B)為該形式背景的一個形式概念，其中X稱為(X,B)的外延，B稱為(X,B)的內(nèi)涵。

設(shè)(G,M,I)的所有形式概念構(gòu)成的集合為L(G,M,I)，定義形式概念之間的大小關(guān)系為：對任意的(X1,B1),(X2,B2)∈L(G,M,I)，

則(L(G,M,I)≤)構(gòu)成完備格，稱為（G,M,I）的概念格。對應(yīng)的上、下確界分別為：

由形式概念的定義及概念生成算子的性質(zhì)可知，對于任意x∈G,(x↑↓,x↑)為一個形式概念，稱為由對象x導(dǎo)出的概念，簡稱為對象概念，其中x↑為{x}↑的簡寫。結(jié)合粒計算的基本思想，將對象概念稱為粒概念。

定義3[31]設(shè)L=(L,∧,∨,?,→,0,1)，若L滿足：

1）(L,∧,∨,0,1)是一個有最大元1 和最小元0 的格；

2）(L,?,1)是一個交換幺半群，即運(yùn)算 ?滿足：

3）?和→構(gòu)成一個伴隨對，即對任意x,y,z∈L,x≤y→z?x?y≤z成立。

則稱L=(L,∧,∨,?,→,0,1)為一個剩余格。

若(L,∧,∨,0,1)是一個完備格，則稱剩余格L=(L,∧,∨,?,→,0,1)為一個完備剩余格。

性質(zhì)2[31]設(shè)L=(L,∧,∨,?,→,0,1)為一個完備剩余格，則下列性質(zhì)成立：

1）運(yùn)算 ?關(guān)于每個變元都是單調(diào)的，即對任意x1,x2,y1,y2∈L，若x1≤x2,y1≤y2，則x1?y1≤x2?y2；

2）蘊(yùn)涵→關(guān)于第1 個變元是反單調(diào)的，關(guān)于第2 個變元是單調(diào)的，即對于任意x1,x2,y∈L，若x1≤x2，則x2→y≤x1→y，y→x1≤y→x2；

3）x→y=1當(dāng)且僅當(dāng)x≤y；

4）x?y≤x,x?y≤y；

5）對于任意x∈L,{yi;i∈τ}?L，有；

6）對于任意x∈L,{yi;i∈τ}?L，有。

基于剩余格理論，可以將FCA 理論模糊化。

定義4[6]稱三元組是一個L模糊形式背景，其中G是非空有限對象集，M是非空有限屬性集，是G和M之間的L模糊關(guān)系，即:G×M→L，L是一個完全剩余格。

在L模糊形式背景中，對于任意x∈G,a∈M，表示對象x具有屬性a的程度。以下用LG和LM分別表示G和M上的所有L模糊集構(gòu)成的集合，即。

定義5[6]設(shè)三元組是一個L模糊形式背景。定義算子↑:LG→LM和↓:LM→LG如下：對于任意，

性質(zhì)3[6]設(shè)是一個L模糊形式背景。對于任意，下列性質(zhì)成立：

式（5）和（6）是式（1）和（2）中概念生成算子的推廣。若滿足，則稱二元組是一個L模糊形式概念。其中稱為該L模糊形式概念的外延，稱為該L模糊形式概念的內(nèi)涵。L模糊形式背景中所有L模糊形式概念構(gòu)成的集合記為。

2 多源形式背景的融合

為了將形式概念分析方法應(yīng)用于多源數(shù)據(jù)處理，魏玲等[30]提出了多源形式背景的概念。

定義6[30]多源形式背景可表示為MK={Ki|Ki=(U,M,Ii),i∈τ}，其中：

1）U是非空有限對象集，M是非空有限屬性集；

2）τ={1,2,···,n}為指標(biāo)集，對于任意的i∈τ，Ii是U與M之間的二元關(guān)系；

3）對于任意i∈τ，稱Ki為多源形式背景的第i源單源形式背景，在不引起混淆的情況下，簡稱為單源形式背景。

由此定義，多源形式背景是由若干單源形式背景構(gòu)成，這些單源形式背景具有相同的對象集與屬性集。

例1考慮研究生學(xué)位論文評價問題。假設(shè)G={x1,x2,x3,x4}為4 份研究生學(xué)位論文的集合，M={a1,a2,a3,a4}為論文評價指標(biāo)的集合，a1、a2、a3、a4分別表示論文選題、寫作、內(nèi)容、研究成果。一般情況下，學(xué)位論文評價結(jié)果是多位評審專家評審意見的綜合。令τ={1,2,3}為3 位評審專家的集合，對于任意i∈τ，第i個評審專家對學(xué)位論文的評價可以表示為一個形式背景（G,M,Ii），如表1所示。其中1表示合格，0 表示不合格。3 位評審專家的評審意見構(gòu)成一個多源形式背景MK={Ki|Ki=(G,M,Ii),i∈τ}。

表1 多源形式背景MK={Ki|Ki=(U,A,Ii),i ∈τ}

針對多源形式背景，魏玲等[30]從單源形式背景的角度研究了它的屬性約簡及規(guī)則獲取問題。下面將從數(shù)據(jù)融合的角度討論多源形式背景的結(jié)構(gòu)。

命題1[32]L={0,1}n={(x1,x2,···,xn)|xi∈{0,1},i∈{1,2,···,n}}，則(L,∧,∨,?,→)構(gòu)成一個完備剩余格，其中對于任意(x1,x2,···,xn),(y1,y2,···,yn)∈L，有：

在完備剩余格L={0,1}n中，(x1,x2,···,xn)≤(y1,y2,···,yn)當(dāng)且僅當(dāng)：對任意i∈{1,2,···,n}有xi≤yi。

定義7[32]設(shè)MK={Ki|Ki=(G,M,Ii),i∈τ}是一個多源形式背景。稱KMK=(G,M,)為MK 的融合形式背景，其中對于任意x∈G,m∈M，

Ii(x,m)為Ii的特征函數(shù)。

由此定義，多源形式背景的融合形式背景是L模糊形式背景，其中真值域L為完備剩余格L={0,1}n。

例2表2 給出了例1 中的多源形式背景的融合形式背景。

表2 融合形式背景(U,A,)

表2 融合形式背景(U,A,)

3 融合形式背景中的形式概念

設(shè)KMK=是多源形式背景MK=Ki|Ki={(G,M,Ii),i∈τ}的融合形式背景。第i源單源形式背景Ki中的概念生成算子記為↑i和↓i，KMK中的概念生成算子記為↑和↓。對于任意g∈G，g在KMK中生成的模糊粒概念為(g↑↓,g↑)，在Ki中生成的粒概念為。以下用表示外延的特征函數(shù)，x∈G。下面的定理刻畫了KMK中的模糊粒概念與Ki中的粒概念之間的關(guān)系。

定理1設(shè)KMK=是多源形式背景MK={Ki|Ki=(G,M,Ii),i∈τ}的融合形式背景，τ={1,2,···,n}。對于任意x,g∈G，有

證明對于任意x,g∈G,m∈M，

從而有

為敘述方便，設(shè)fi為上式的第i個分量，即。由定義可知fi=0或fi=1，又

故有fi=，即g↑↓(x)=成立。

例3考慮例1 中的多源形式背景及其融合形式背景。對x1,x2∈G，有，從而。另一方面，有

定理2設(shè)MK={Ki|Ki=(G,M,Ii),i∈τ}是一個多源形式背景，τ={1,2,···,n}，KMK=為其融合形式背景。對于任意∈LG，x∈G，令,，則

證明由L模糊形式概念的定義知

從而有

形式概念的外延與內(nèi)涵可以互相確定。L(G,M,)中所有模糊形式概念的外延構(gòu)成的集合記為，顯然有。注意到在定理2 中有∈ExtL(G,M,Ii)，故有推論1。

推論1設(shè)MK={Ki|Ki=(G,M,Ii),i∈τ}是一個多源形式背景，τ={1,2,···,n}，KMK=為其融合形式背景。則

定理3設(shè)MK={Ki|Ki=(G,M,Ii),i∈τ}是一個多源形式背景，τ={1,2,···,n}，KMK=(G,M,)為其融合形式背景。則

證明對于任意(X1,X2,···,Xn)∈ExtL(G,M,I1)×ExtL(G,M,I2)×···×ExtL(G,M,In)，令為：對于任意x∈G，有

其中Xi(x)表示Xi的特征函數(shù)。由定理2 可得：對于任意x∈G，有

對于任意i∈τ，由Xi∈ExtL(G,M,Ii)可得=Xi，從而有

由推論1 和定理3 可得推論2。

推論2設(shè)MK={Ki|Ki=(G,M,Ii),i∈τ}是一個多源形式背景，τ={1,2,···,n}，KMK=為其融合形式背景。則

此推論表明融合形式背景的模糊概念格與其單源形式背景的Wille 概念格可以互相確定。

形式背景的融合方法可推廣至多源模糊形式背景。

定義8多源模糊形式背景可表示為，MFK={Ki|Ki=(G,M,Li,),i∈τ}，其中：

1）G是非空有限對象集，M是非空有限屬性集；

2）τ={1,2,···,n}為指標(biāo)集且對于任意i∈τ，Li為完備剩余格，:G×M→Li是G與M之間的模糊關(guān)系；

3）對于任意i∈τ，稱Ki為第i源單源模糊形式背景。

若L1,L2,···,Ln為完備剩余格，L=L1×L2×···×Ln為L1,L2,···,Ln的笛卡兒積，則L也構(gòu)成完備剩余格，其中運(yùn)算按照逐點(diǎn)定義。利用完備剩余格的笛卡兒積，可以考慮多源模糊形式背景的融合問題。

定義9設(shè)MFK={Ki|Ki=,i∈τ}為多源模糊形式背景，τ={1,2,···,n}為指標(biāo)集。稱KMFK=為MFK 的融合模糊形式背景，其中L=L1×L2×···×Ln且對于任意x∈G,m∈M，有

由此定義，多源模糊形式背景的融合形式背景仍為模糊形式背景。以下將單源模糊形式背景Ki中的概念生成算子記為↑i和↓i，KMFK中的概念生成算子記為↑和↓。

定理4設(shè)MFK={Ki|Ki=,i∈τ}是一個多源模糊形式背景，τ={1,2,···,n}，KMFK=為其融合模糊形式背景。對于任意∈LG，x∈G，令

則有

證明對于任意m∈M，由L模糊形式概念的定義知

于是，有

定理5設(shè)MFK={Ki|Ki=,i∈τ}是一個多源模糊形式背景，τ={1,2,···,n}，KMFK=(G,M,L,)為其融合模糊形式背景。則

證明由定理4 可得

對于任意(X1,X2,···,Xn)∈ExtL(G,M,L1,I1)×ExtL(G,M,L2,I2)×···×ExtL(G,M,Ln,In)，存在∈LG滿足：對于任意x∈G，有=(X1(x),X2(x),···,Xn(x))。由定理4 可得

對于任意i∈τ，由Xi∈ExtL(G,M,Li,Ii)可得=Xi，從而有

4 結(jié)論

本文研究形式概念分析中的多源形式背景融合方法。針對多源同域形式背景，現(xiàn)有的研究工作大多是對相應(yīng)的單源形式背景分別進(jìn)行處理，然后融合處理結(jié)果。一般情況下，其具有較高的時間復(fù)雜度。本文借助剩余格理論提出了一種將多源形式背景融合為一個L模糊形式背景的方法，然后討論融合后的形式背景，其中真值域L具有形式L={0,1}n，刻畫了融合形式背景中的L模糊概念與單源形式背景中的經(jīng)典形式概念之間的相互誘導(dǎo)方法。另外，相關(guān)研究結(jié)果被推廣至多源模糊形式背景?；诒疚牡难芯拷Y(jié)果，可以進(jìn)一步討論多源形式背景的屬性約簡與單源形式背景屬性約簡的關(guān)系，提出多源形式背景的屬性約簡、規(guī)則獲取方法。