許秉

[摘要]數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該理性思維與人文素養(yǎng)并重，讓課堂教學(xué)走向深入.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)課堂;理性思維;人文素養(yǎng)

[中圖分類號(hào)]G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1674-6058（2020）14-0012-02

數(shù)學(xué)課堂理應(yīng)理性思維與人文素養(yǎng)并重.下面以《角平分線》教學(xué)為例，談?wù)劰P者的一些看法，

一、教學(xué)流程概述

環(huán)節(jié)一：回顧定義，動(dòng)手感知

問(wèn)題1 前面我們學(xué)習(xí)了角平分線的定義，請(qǐng)回答：（1）角平分線的定義是如何表述的？（2）如何使用量角器畫已知∠AOB的角平分線呢？（3）你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述角平分線的定義嗎？

問(wèn)題2 用折疊的方法看一下角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等嗎？

環(huán)節(jié)二：自主求知，收獲新知

按照證明命題的步驟，讓學(xué)生自己寫出角平分線性質(zhì)定理的已知、求證與證明過(guò)程，并畫出符合題意的圖形，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)已知、求證與證明.

環(huán)節(jié)三：合作交流，質(zhì)疑問(wèn)難

問(wèn)題3 試寫出角平分線性質(zhì)定理的逆命題，這個(gè)逆命題是真命題嗎？是真命題就證明它，若不是真命題，請(qǐng)說(shuō)明理由.

環(huán)節(jié)四：反饋訓(xùn)練，形威技能

請(qǐng)說(shuō)出課本例題證明過(guò)程中，每一步證明的理論依據(jù)，試做課堂訓(xùn)練.

環(huán)節(jié)五：拓展延伸，提高興趣

1.請(qǐng)學(xué)生用尺規(guī)作圖的方法作已知角∠AOB的平分線，并證明這個(gè)尺規(guī)作圖的正確性.

2.其實(shí)這里的角平分線性質(zhì)定理是角平分線的第一個(gè)性質(zhì)，角平分線還有另外一個(gè)性質(zhì)，與角平分線有關(guān)的著名定理還有雞爪定理，同學(xué)們想知道嗎？

環(huán)節(jié)六：反思學(xué)習(xí)，分層作業(yè)

通過(guò)本堂課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們?cè)谥R(shí)與情感方面有什么收獲呢？

教材練習(xí)第2、3題作為必做試題，第5題作為選做試題.

二、教學(xué)片段賞析

片段一：動(dòng)手體驗(yàn)，概括求證，培養(yǎng)理性思維

師：請(qǐng)同學(xué)們把準(zhǔn)備好的紙片拿出來(lái)，沿角的平分線對(duì)折，認(rèn)真觀察垂線段PM與PN的大小關(guān)系（如圖l和圖2）.

生1：兩條垂線段相等.

師：這是我們通過(guò)動(dòng)手操作得到的結(jié)論，是直觀的結(jié)果，這樣的結(jié)論能作為定理嗎？

生2：不能.需要進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C才可以，

師：是的，觀察與實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果是合情推理，任何數(shù)學(xué)定理必須經(jīng)過(guò)邏輯推理才能讓人信服.那么，如何證明這個(gè)命題呢？

生3：需要根據(jù)題意畫㈩符合題意的圖形，分出命題的條件與結(jié)論，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為已知與求證.

師：請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成證明過(guò)程，請(qǐng)李明同學(xué)來(lái)演示.

……

師：李明同學(xué)的證明有缺陷嗎？不足的地方在哪里？

生4：李明同學(xué)在已知中沒有注明點(diǎn)P是角平分線上任意一點(diǎn)，

師：說(shuō)得很好，因?yàn)槊}的內(nèi)容為“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”，這一點(diǎn)是任意一點(diǎn)，而我們?cè)趯?shí)際解答時(shí)，只是選取了其中一點(diǎn)進(jìn)行證明，屬于特殊情況，而角平分線上的點(diǎn)是無(wú)限多個(gè)的，所以必須說(shuō)明所選取的點(diǎn)P是角平分線上任意一點(diǎn).

師：我們借助幾何畫板看一下，這個(gè)命題的正確性.當(dāng)點(diǎn)尸在角平分線上移動(dòng)時(shí)，注意觀察點(diǎn)尸到角兩邊的距離是否均保持相等.

片段二：拓展延伸，培養(yǎng)人文素養(yǎng)

師：角平分線還有第二個(gè)性質(zhì)，那就是“三角形一個(gè)角平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊成比例”，同學(xué)們能否利用本節(jié)課的定理證明這個(gè)定理呢？欲證明這個(gè)定理，第一步應(yīng)該如何做呢？

生5：根據(jù)題意，畫出圖形，并寫㈩已知與求證.

已知：如圖3，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，求證：AB：AC=BD：CD.

學(xué)生陷入深思，一時(shí)無(wú)所適從，

師：△ABC被AD分成兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形的面積該如何表示？它們的面積比與什么有關(guān)呢？

生6：過(guò)點(diǎn)A作△ABD的垂線AC，線段AC既是△ABD的高，也是△ADC的高，所以這兩個(gè)三角形的面積比等于底邊之比.

師：對(duì)同高的兩個(gè)三角形面積比等于底邊之比，即S_△ABD：S_△ACD=BD：CD.

生7：難道這兩個(gè)三角形的面積比也等于AB：AC嗎？

師：根據(jù)求證的結(jié)論與已得結(jié)論，這個(gè)猜想是正確的，同學(xué)們可以試一試.

生8：角平分線這個(gè)條件還沒有利用，應(yīng)過(guò)點(diǎn)D作這兩個(gè)三角形的兩條高，則這兩個(gè)高相等，這兩個(gè)三角形的面積比等于底邊之比，即S_△ABD：S_△ACD=AB：AC.

師：這位同學(xué)分析得很好！與角平分線有關(guān)的定理還有著名的雞爪定理.定理的內(nèi)容是：三角形一內(nèi)角的平分線與其外接圓的交點(diǎn)到其他兩頂點(diǎn)的距離和到內(nèi)心與旁心的距離相等.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述為：如圖5所示，設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，∠A內(nèi)的旁心為J，AI的延長(zhǎng)線交三角形外接圓于K，則KI=KJ=KB=KC.

生9：這個(gè)定理能證明嗎？

師：完全可以證明，不過(guò)要用到圓的有關(guān)知識(shí)，請(qǐng)同學(xué)們學(xué)習(xí)了圓的定理后再進(jìn)行證明.

三、幾點(diǎn)反思

1.在情境中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

在導(dǎo)入新課時(shí)，筆者根據(jù)教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，從最簡(jiǎn)單的知識(shí)展開，遵循認(rèn)知規(guī)律，再現(xiàn)結(jié)論.通過(guò)連續(xù)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)、觀察、猜想，通過(guò)歸納、整理、抽象、轉(zhuǎn)化，學(xué)生自然得到了有用的結(jié)論，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣比較濃，學(xué)習(xí)效率比較高.

2.在說(shuō)理中培養(yǎng)學(xué)生的理性思維

在課堂教學(xué)中，問(wèn)題解決的過(guò)程必須讓學(xué)生經(jīng)歷，只有在運(yùn)用知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)生才能自己積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成理性思維.在此過(guò)程中，教師要提供幫助.一方面要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，有條理地去思考問(wèn)題，自我完善解題思路;另一方面在合作交流中，既要堅(jiān)持自己的意見，也要虛心聽取別人的意見，形成正確的競(jìng)爭(zhēng)與合作的意識(shí).

3.在拓展中培養(yǎng)學(xué)生的人文素養(yǎng)

在教學(xué)中，對(duì)教材知識(shí)的適當(dāng)拓展是必不可少的，數(shù)學(xué)知識(shí)的拓展可以開闊學(xué)生的視野，調(diào)節(jié)課堂氣氛，培育學(xué)生的人文素養(yǎng).當(dāng)前教材有“閱讀材料”這樣的欄目，有介紹數(shù)學(xué)歷史的，有拓展閱讀的，其目的在于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培育學(xué)生的人文素養(yǎng).

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）