李 紅 倉萬林

問題1：為什么導數(shù)還可以繼續(xù)求導數(shù)？

問題2：什么情況下要構(gòu)造輔助函數(shù)后再求導？

同學們，在導數(shù)學習時，你是不是有以上的疑問？

那么，在你的理解中，導數(shù)究竟是什么呢？再來看一下導數(shù)的概念（蘇教版選修2-2第14頁）：

若f(x)對于區(qū)間內(nèi)任一點都可導，則f(x)在各點的導數(shù)也隨自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱為f(x)的導函數(shù)，記做f'(x).

在不引起混淆時，導函數(shù)f'(x)也簡稱為f(x)的導數(shù)．

導數(shù)本身也是一種函數(shù)．既然導數(shù)可以分析函數(shù)的性質(zhì)，當然可以對導數(shù)繼續(xù)求導分析導數(shù)的性質(zhì)了，問題1 是很自然的．

如何有針對性地構(gòu)造輔助函數(shù)分析其性質(zhì)呢？舉例來看．

例1已知函數(shù)y=f(x)，x∈[0,2π]的導函數(shù)f'(x)的圖象，如圖所示，則y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間為________.

圖1

解析：由圖1 得到，x∈[0,π]時，f'(x)≥0，故y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[0,π].

敲黑板

利用導數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)時，常用方法是構(gòu)造輔助函數(shù)．

敲黑板

這個概念題就曾經(jīng)坑了不少同學．你掉坑了嗎？

用導數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)的問題中，對于原函數(shù)我們通常分析其單調(diào)性；對于導函數(shù)，我們一般研究其表達式的符號是正還是負．

例2（2019屆南師附中、天一中學、海門中學、淮陰中學調(diào)研）已知函數(shù)f(x)=的極大值為1．

（1）求m的值；

解析：（1）m=1（過程略）.

所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以f(x0)＞g(x0)．

以下解題過程請同學們自行完成.

收納袋

輔助函數(shù)的構(gòu)造：1.抓住核心的總體或者部分結(jié)構(gòu)；2.所構(gòu)造的函數(shù)要易于求導，易于判斷導數(shù)的正負.

本題是用導數(shù)工具分析函數(shù)性質(zhì)的綜合性問題，涉及三個輔助函數(shù)的構(gòu)造.以輔助函數(shù)1為例來分析.

表1：例2中輔助函數(shù)1構(gòu)造方案比較（x＞1）