西南大學附屬中學校

一、緣起

在解決有的幾何題目時，如果我們將圖形做適當?shù)淖冃?，將其變得更為特殊和熟悉的圖形，在不改變圖形中的關(guān)鍵要素的前提下，會發(fā)現(xiàn)變形后題目的結(jié)果不會發(fā)生變化或者與原來的結(jié)果有顯而易見的聯(lián)系，進而，驚喜地發(fā)現(xiàn)原本“較為陌生、較為復雜、難以描述”的圖形關(guān)系變得“較為熟悉、容易刻畫、便于表達”起來，題目也就迎刃而解了，我們把這樣的解題方法叫做“圖形特殊化”.圖形為什么可以特殊化?背后的原理又是什么?什么情況下可以特殊化?接下來，帶著這樣的問題，我們不妨從一道競賽試題的妙解說起，然后站在高觀點下從仿射變換的視角透析其背后的高等幾何背景，同時基于通透的前提下結(jié)合筆者的教學經(jīng)驗，舉例說明這種方法在初等幾何解題中經(jīng)常遇到的幾種情形.

二、從解一道競賽試題看“圖形特殊化”的巧與妙

下面這道題是北京市中學生數(shù)學競賽預賽的最后一個題目，主要考查學生認識圖形、分析圖形，綜合運用所學知識解決圖形中線段比例、三角形面積等相關(guān)問題的能力，考慮到是最后一個題，命題者故意做了一定的偽裝，穿了幾件衣服，顯得較為新穎，有一定的難度.

例1(2019年北京市中學生數(shù)學競賽預賽試題(高一)第二大題第8題)如圖1，在ΔABC的邊AB，BC上分別取點K，M，使得在線段KM上取點O，使得N為射線BO與AC的交點，AC=a，由點O到AC邊的距離OD=d，則ΔKMN的面積為___

題目分析與解如圖2，通過細致分析不難發(fā)現(xiàn)題目中圖形關(guān)系的關(guān)鍵在于“點O分BN成的比和點N分AC成的比是確定的”，考慮到這是一道填空題，而“點O分BN成的比和點N分AC成的比”不會因為三角形形狀的改變而改變，也就保證了圖形中的三角形面積比例不會發(fā)生改變，只要保證“AC=a，OD=d”這個條件，就可以把三角形特殊化.

圖1

圖2

不妨讓AB⊥AC，以AB,AC分別為x,y軸建立平面直角坐標系，則C(a,0)，設(shè)B(0,b)，由易得由易得再結(jié)合可求得這就求出了于是直線令y=0可得：這就求出了由于于是

解法點評解法的精髓在于巧妙地利用了圖形特殊化后“線段比例”不會改變、面積比也不改變這兩個事實，將圖形特殊化，變成直角三角形后更有利于坐標系的建立，從而將復雜的圖形關(guān)系變?yōu)槿菀子米鴺擞嬎愕膱D形關(guān)系，實現(xiàn)了小題小解、小題巧解.

三、透析“圖形特殊化”背后的高等幾何背景

我們在感嘆“變得巧、解得妙”的同時，自然而然地會思考這樣的問題：圖形為什么可以特殊化?其背后的原理又是什么?什么情況下可以特殊化?其實，根據(jù)高等教育出版社出版的《高等幾何》[1]，我們不妨先依次弄清下列問題.

(一)什么是透視仿射對應(yīng)

定義1.1共線三點P1，P2，P的單比表示為(P1P2P)，定義其中P1P、P2P是有向線段的數(shù)量，稱P1，P2為基點，P為分點.

定義1.2在一平面上設(shè)有直線a和a′，l為此平面上與a,a′均不平行的另一直線，通過直線a上各點A,B,C,···，分別作與l平行的直線，順次交a′于A′,B′,C′,···，這樣便得到直線a上點到a′上點的一個一一對應(yīng)，稱為透視仿射對應(yīng)，如圖3所示.

圖3

類似地可以定義空間兩平面間的透視仿射對應(yīng).顯然，透視仿射對應(yīng)有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1.1透視仿射對應(yīng)保持同素性.即透視仿射對應(yīng)使點對應(yīng)點，直線對應(yīng)直線.

性質(zhì)1.2透視仿射對應(yīng)保持結(jié)合性，如圖3所示，點A,B,C,···,在a上，通過透視仿射對應(yīng)后，其對應(yīng)點A′,B′,C′,···,在a′上.

性質(zhì)1.3透視仿射對應(yīng)保持共線三點的單比不變.如圖3，由平行切割對應(yīng)成比例容易知道，單比(ABC)=(A′B′C′).

性質(zhì)1.4透視仿射對應(yīng)保持兩直線的平行性.

(二)什么是仿射對應(yīng)與仿射變換

定義2.1設(shè)同一平面內(nèi)有n條直線a1,a2,···,an.φ1,φ2,···,φn-1順次表示a1到a2，a2到a3，···，an-1到an的透視仿射對應(yīng)，經(jīng)過這一串透視仿射對應(yīng)，使a1上的點與an上的點建立了一一對應(yīng)，這個對應(yīng)稱為a1到an的仿射對應(yīng)φ(也叫仿射變換)，于是有：φ=φn-1°···°φ2°φ1.

類似地可以定義空間兩平面之間的仿射變換.不難證明仿射對應(yīng)(變換)滿足以下性質(zhì)：

性質(zhì)1.1仿射對應(yīng)保持同素性與結(jié)合性.

性質(zhì)1.2仿射對應(yīng)保持共線三點的單比不變.

性質(zhì)1.3仿射對應(yīng)保持兩直線的平行性.

(三)什么是仿射坐標

如圖4，設(shè)O-xy為平面內(nèi)一笛卡爾坐標系(直角或斜角)，E(1,1)為單位點，平面內(nèi)任一點P(x,y)都可以表示為其中Ex,Ey,Px,Py分別為過E,P所作y軸和x軸的平行線與x軸和y軸的交點.

圖4

經(jīng)過一個仿射變換(對應(yīng))，坐標系O-xy在同一平面(另一平面)內(nèi)的對應(yīng)圖形為O′-x′y′，E,Ex,Ey,P,Px,Py的對應(yīng)點順次為E′,E′x,E′y,P′,P′x,P′y，在新坐標系O′-x′y′中，取E′(1,1)為單位點，對于這個坐標系中的點P′(x′,y′)，就有由于仿射變換保持單比不變，所以有x=x′，y=y′.

定義3.1笛卡爾坐標系在仿射變換(對應(yīng))下的像叫做仿射坐標系.(x′,y′)叫做點P′的仿射坐標，記為P′(x′,y′).

由此可見仿射坐標系是笛卡爾坐標系的推廣，兩坐標軸上的測量單位|O′E′|和|OE|不一定相等，而笛卡爾坐標系是仿射坐標系當兩軸上的測量單位相等時的特殊情況.

(四)什么是仿射變換的代數(shù)表示

如圖5，設(shè)仿射變換將坐標系O-e1e2變?yōu)镺′-e′1e′2，點P變?yōu)镻′.記P(x,y)，P′(x′,y′)，O′(x0,y0)，e1=(x1,y1)，e2=(x2,y2)，那么如何求點P′(x′,y′)在新坐標系中的坐標呢?

圖5

考慮到仿射變換保持平行性和單比不變，故點P′在坐標系O′-e′1e′2下的坐標仍然為(x,y)，故只需在O-e1e2中找到P(x,y)與P′(x′,y′)的關(guān)系即可，由于所以

由于e′1與e′2不平行，所以有

由于式中有六個未知數(shù)，所以只要有不共線的三對點便可唯一確定一個仿射變換.

定義4.1平面上點之間的一個線性變換(?)叫做仿射變換，其中

這就是仿射變換的代數(shù)表示，我們有必要了解以下幾個特殊仿射變換的代數(shù)表示：

(1)正交變換如果(?)式滿足時，則稱該仿射變換為正交變換.正交變換保任意兩點之間的距離不變.

(2)位似變換如果(?)式滿足其中k0，則稱該仿射變換為位似變換.位似變換中，唯一的不動點叫位似中心，k為位似比，位似變換保夾角不變和對應(yīng)線段的比值不變.

(3)伸縮變換如果(?)式滿足其中λμ0，則稱該仿射變換為伸縮變換.

(五)什么是仿射不變量

定義5.1圖形經(jīng)過任何仿射變換后都不變的性質(zhì)(量)，稱為圖形的仿射不變量.

性質(zhì)5.1經(jīng)過仿射變換的直線，平行性不改變，相交性不改變，對曲線的切性不改變.

性質(zhì)5.2兩條平行線段之比是仿射不變量.

性質(zhì)5.3兩個三角形面積之比是仿射不變量，兩個多變形面積之比是仿射不變量.

性質(zhì)5.4在伸縮變換(其中λμ0)下，變換前后直線斜率比為

性質(zhì)5.5在伸縮變換(其中λμ0)下，變換前后多邊形面積比為

由前面概念產(chǎn)生過程看，性質(zhì)5.1和5.2是顯然成立的，由(?)式大家不難證明性質(zhì)5.3、5.4和5.5也是成立的，大家可以參考書[1].

(六)什么是“圖形特殊化”的高等幾何背景

結(jié)合前面的敘述可知，“圖形特殊化”的本質(zhì)是作了一個恰當?shù)姆律渥儞Q，圖形為什么可以特殊化呢?是因為仿射變換下存在仿射不變量.就像例1 那樣，由于“兩條平行線段之比”和“兩個三角形面積之比”是仿射不變量，故將“圖形特殊化”后答案不會發(fā)生變化!

四、例說“圖形特殊化”的幾何應(yīng)用

下面回答最后一個問題，哪些情形適用“圖形特殊化”，筆者結(jié)合實例，談?wù)勛约涸谄綍r教學中積累的幾種情形.

(一)利用“圖形特殊化”巧解斜率相關(guān)問題

結(jié)論1如圖6，設(shè)橢圓斜率為kAB的直線l交橢圓C于A、B兩點，AB中點為M，直線OM(O為坐標原點)的斜率為kOM，則有

圖6

證明作伸縮變換φ:則橢圓C:就變成了C′:x2+y2=1，即橢圓C上的點A,B,M就變成了圓C′上的點A′,B′,M′，M是弦AB的中點，由于兩條平行線段之比是仿射不變量，故M′也是A′B′的中點，若該變換將直線l(斜率為k)變換成直線l′(斜率為k′)，由性質(zhì)必有又因為圓C′中k′AB·k′OM=-1，于是即證得

類似地，很容易得到以下兩個結(jié)論；

結(jié)論2斜率為kl的直線l與橢圓1(a＞b＞0)相切于點A，點A與坐標原點O連線OA的斜率為kOA，則有

結(jié)論3設(shè)橢圓A、B兩點關(guān)于坐標原點O對稱，點P為橢圓上不同于A、B的任意一點，直線PA和PB的斜率存在且分別為kPA和kPB，則有

(二)利用“圖形特殊化”巧解線段長度相關(guān)問題

例2(2017年沈陽四中期中考試題)如圖7，在ΔABC中，點P是AB上一點，且Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，又則實數(shù)t的值為___.

圖7

圖8

解如圖8，由于仿射變換保線段比例不變，不妨讓BC⊥BA，且以BC,BA分別為x,y軸建立平面直角坐標系，同時設(shè)A(0,3)，設(shè)C(2,0)，由易得P(0,2)，又Q是BC的中點，Q(1,0)，易求得直線與直線的交點故

例3(2013年湖北數(shù)學競賽預賽試題)設(shè)P(x0,y0)是橢圓內(nèi)一定點(不在坐標軸上)，過點P的兩條直線分別交橢圓于A,C和B,D，若AB//CD，過點P作與AB平行的直線交橢圓于E,F，求證：點P平分EF.

簡證如圖9，做仿射變換φ:由于仿射變換保持直線的平行性，四邊形A′B′C′D′為等腰梯形，且A′B′中垂線過點P′和原點，由A′B′//E′F′，故點P′平分E′F′.

圖9

圖10

(三)利用“圖形特殊化”巧解面積相關(guān)問題

例4(2019年高考全國II卷第21題)如圖10，已知點A(-2,0)、B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM和BM的斜率之積為記M的軌跡為曲線C.

(2)過坐標原點的直線交C于P、Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點G.

(i)證明：ΔPGQ是直角三角形；(ii)求ΔPGQ面積的最大值.

解(2)作伸縮變換φ:則橢圓C:P,Q,G,E就變成了圓C′上的點P′,Q′,G′,E′.

(i)不妨設(shè)P′(m,n)，則，由于P′G′⊥Q′G′，故顯然kP′Q′·kP′G′=所以kPQ·kPG=-1，即證：PQ⊥PG.

(ii)設(shè)∠Q′P′G′=α，由夾角公式

由于P′G′⊥Q′G′所以

于是SΔPGQ=

五、后記

“會當凌絕頂，一覽眾山小”.在克萊因看來：“基礎(chǔ)數(shù)學的老師應(yīng)該站在更高的視角(高等數(shù)學)來審視、理解初等數(shù)學問題，只有觀點高了，事物才顯得明了而簡單”[2].而只要掌握了“圖形特殊化”背后“仿射變換”這個高等幾何背景，就會發(fā)現(xiàn)很多可以用它來解決的問題，同樣很多看似巧妙的背后，往往隱藏著深刻的數(shù)學本質(zhì).