貴州省黔西第一中學

放縮法是一種有意識地對相關的數(shù)或者式子的取值進行放大或縮小的方法.證明數(shù)列求和不等式通常采用放縮法，這類題對學生的思維層次、綜合應用能力的要求較高，如果把證明數(shù)列求和不等式與函數(shù)的導數(shù)相結合，將會出現(xiàn)在高考試卷的壓軸題位置，這需要借助放縮技巧才能比較完美地解答，對考生而言，充滿挑戰(zhàn).

放縮法中“放”的過程是指：要證明A＜B成立，先將A放大成中間量C，即A＜C，后證C＜B；“縮”的過程是指：要證明A＞B成立，先將A縮小成中間量C，即A＞C，后證C＞B.而以數(shù)列求和為背景的不等式證明過程常常借助特殊數(shù)列求和、分項求和、倒序相加求和、裂項相消求和、錯位相減求和等方法.如何把握放縮的尺度，做到“恰如其分”，就需要把握放縮的策略，包括類型辨識策略和精確度控制策略.

一、類型辨識策略

觀察要求證的不等式形式，分析式子可以放縮成什么求和類型.常見數(shù)列求和不等式的結構模型為(或者類型辨識即為觀察數(shù)列{an}的形式，分析an可以放縮成什么類型的bn，從而使用數(shù)列求和方法達到化簡的目標.

1 等比求和型

不等式中數(shù)列的通項與等比數(shù)列通項公式相似，如果不能直接使用等比數(shù)列求和公式，則將數(shù)列{an}的通項放縮成等比數(shù)列的通項，進一步求和化簡.

例1(2014年高考全國Ⅱ卷文理第17(2)題) 已知數(shù)列{an}的通項公式證明：

分析由要證明的不等式從左到右需要“放大”，聯(lián)想到“糖水不等式”：若a＞b＞0,則可將式子“放大”成即就可以使用等比數(shù)列求和公式.

解由

所以

命題得證.

后記此題容易落入將分母上的-1“丟掉”的陷阱，將分母上的-1“丟掉”也能化成等比數(shù)列的通項但是這個過程是“縮小”，即與所要證明的不等式形式不同.

同類型題(2016年高考四川卷理科第19(2)題)：已知數(shù)列{en}的通項公式為證明：

2 裂項相消型

有的數(shù)列通項公式是分式，可以分裂成兩項之差，求和后再放縮.但如果數(shù)列的通項公式不能分裂成兩項之差時，可先把通項公式放縮后裂項，每一項按照相同的規(guī)律放縮后裂項，求和后再放縮.

例2(2013年高考廣東卷文科第19(3)題)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1，n ∈N?，證明：對一切正整數(shù)n，都有

分析這個不等式從左到右需要“放大”，由可以采用裂項相消求和，再放縮.

解由所以

不等式得證.

事實上，例1也可以放縮成裂項相消型，參看文[1].

3 特殊不等式型

運用基本不等式、x+1≤ex、x-1≥lnx等特殊不等式進行放縮，尤其有些函數(shù)題第(1)問證明一個特殊不等式，第(2)問就運用這個不等式證明另一個不等式.

例3(2017年高考全國III卷第21題)已知函數(shù)

(1)若f(x)≥0，求a的值；

(2)設m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)求m的最小值.

分析觀察式子是n項的乘積，而函數(shù)f(x)的解析式中含有對數(shù)，于是聯(lián)想到將真數(shù)的乘積轉化為對數(shù)的和，從而進行放縮再求和.

解第(1)問解答略，可得a=1；

(2)由(1)知，當x ∈(1,+∞)時，x-1-lnx＞0，即lnx＜x-1，所以因為

二、精確度控制策略

即使確定了需要放縮的不等式的類型，知道目標是什么，證明數(shù)列求和不等式也未必能“一帆風順”，按照常規(guī)經(jīng)驗放縮有可能“放”得過大或者“縮”得過小，此時得考慮選擇合適的式子或者留下部分項精確計算，從中間某一項開始放縮.

1 選擇合適式子

例4(昆明市2020屆昆一中聯(lián)考卷四理科第21題改編)證明：

分析這個式子從左到右需要“放大”，也就是將分母減小，一個常規(guī)的想法是將分母(n+1)2減小為n(n+1)，下面嘗試這種放縮是否可行.

第一次嘗試由所以

分析結果1比大，說明放得過大，原因是將(n+1)2減小為n(n+1)時，減少的值為n+1，這是隨n增大而增大的數(shù)，能否將每項的分母減少固定的值，比如都減少1呢?

第二次嘗試由

所以

分析結果雖然相對較小，但仍然比大.減1的目的是為了配成平方差，從而可以裂項相消，能否將每項的分母減少的值再小一點，比如呢?

第三次嘗試由

命題得證.

后記第三次嘗試選擇的式子是合適的，進一步思考能否將每項的分母減少的值再小一點?顯然這是不行的，因為裂項之后要保證相鄰兩項能抵消，則裂開的兩項的分母之差不能小于1，所以每項的分母減少時式子的值最精確.

2 留項計算

在已經(jīng)辨識清楚不等式的類型，明確放縮的目標后，通過幾次嘗試仍然不能得到最精確的式子時，就需要留下不等式的前幾項直接計算，從中間某一項開始放縮，提高放縮的精確度.

例5(2014年高考廣東卷文科第19(3)題)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=2n，n ∈N?，證明：對一切正整數(shù)n，都有

分析確定這個式子可以放縮成裂項相消型，由根據(jù)常規(guī)思路“放大”到裂項相消以后得到的結果是“小于”，說明放得過大，但又不容易找到最精確的式子，于是采用留下前面的項直接計算.

解當n=1時，成立，當n＞1時，由

所以

命題得證.

同類題型(2013年高考廣東卷理科第19(3)題)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n2，n ∈N?，證明：對一切正整數(shù)n，都有

如果學生能夠靈活運用放縮法，那么對其發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力提升大有裨益，在解題中起到事半功倍的效果，同時也在提升學生邏輯思維能力、分析能力和創(chuàng)造能力中都很有幫助.在教學中教師應引導學生在放縮過程中學會觀察、學會思考和學會表達，通過分析、歸納、總結，提升學生的數(shù)學邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學建模等核心素養(yǎng).