童日武，張劍云，周青松

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院，安徽 合肥 230037)

0 引言

機載雷達在下視工作時將面臨強地雜波的干擾，傳統(tǒng)的雜波抑制方法為空時自適應(yīng)處理(STAP)，但機載雷達往往工作在復(fù)雜多變的惡劣環(huán)境下，此時僅僅通過接收端處理難以有效抑制雜波，而結(jié)合發(fā)射端對雷達發(fā)射波形進行設(shè)計[1]則能夠進一步提高雷達對地面動目標(biāo)的檢測性能。

已有的公開文獻中對機載MIMO雷達波形設(shè)計的研究主要都是基于精確已知的目標(biāo)先驗信息(包括角度信息和多普勒頻率信息)。文獻[2—4]研究了假設(shè)在目標(biāo)先驗信息均已知條件下的機載MIMO雷達波形設(shè)計，該假設(shè)對于雷達進行檢測處理確認(rèn)或者對已知目標(biāo)跟蹤時是合理的，但是當(dāng)雷達工作在搜索模式時則不再適用，因為此時目標(biāo)的先驗信息未知，其信息失配會造成嚴(yán)重的信干噪比(SINR)損失。另外目前的文獻中對于雷達的穩(wěn)健波形設(shè)計均沒有針對機載MIMO雷達的特點加以研究。文獻[5—6]研究了在目標(biāo)多普勒頻率信息缺乏時的單輸入單輸出雷達(SISO)的穩(wěn)健波形設(shè)計，文獻[5]是基于單濾波器的穩(wěn)健波形設(shè)計，文獻[6]則是基于濾波器組的穩(wěn)健波形設(shè)計。文獻[7—9]研究了在目標(biāo)角度信息缺乏時的MIMO雷達基于單濾波器的穩(wěn)健波形設(shè)計。

另一方面，文獻[6]提出使用廣義分式規(guī)劃方法求解優(yōu)化問題的解，但該算法只適用于能量約束和相似性約束條件下的優(yōu)化模型，當(dāng)考慮其他約束條件如峰均比約束時則不再適用，并且該算法具有較高的運算復(fù)雜度，需要消耗較多的運算時間，在數(shù)據(jù)維度較小的SISO雷達系統(tǒng)中尚可接受，但是在數(shù)據(jù)維度很高的機載MIMO雷達系統(tǒng)中其消耗的運算時間急劇上升，無法滿足波形設(shè)計的實時性要求。針對上述問題，本文提出了在雜波環(huán)境下目標(biāo)角度信息和多普勒頻率信息均未知時的機載MIMO雷達發(fā)射波形和接收濾波器組聯(lián)合穩(wěn)健性設(shè)計方法。

1 系統(tǒng)模型

考慮集中式機載MIMO雷達，具有NT個發(fā)射陣元和NR個接收陣元。雷達平臺勻速直線運動，速度為v，無偏航。在一個相干處理間隔內(nèi)發(fā)射M組脈沖信號，脈沖重復(fù)周期為恒定值T，波長為λ，其發(fā)射波形矩陣為ST∈NT×L，L表示每個陣元發(fā)射波形的采樣點個數(shù)。

對于目標(biāo)而言，其對應(yīng)于第m個脈沖(m=1,2,…,M)的接收信號經(jīng)過下變頻和基帶采樣后可表示為：

(1)

(2)

(3)

將Yt,m向量化，則有：

yt,m=vec(Yt,m)=

(4)

其中,

(5)

式(4)、式(5)中，IL表示L×L的單位陣，s=vec(S)且s∈NTL×1，?表示克羅內(nèi)克積。

(6)

其中，

(7)

式(6)、式(7)中，p(f0)=[1,ej2πf0,…,ej2π(M-1)f0]T表示歸一化多普勒頻率為f0的時間導(dǎo)向矢量。為方便起見，使用A0來表示A(f0,θ0)。

對于雜波信號，如圖1所示，將雜波分為2R+1個等距離環(huán)，每個距離環(huán)分為Nc個雜波塊，雜波信號可表示為所有雜波塊信號的疊加[3]。

圖1 雜波距離環(huán)Fig.1 Clutter range cells

類似于目標(biāo)信號，位于第r(r=0,±1,…,±R,r=0表示目標(biāo)所在距離環(huán)；r>0表示目標(biāo)后面距離環(huán)；r<0表示目標(biāo)前面距離環(huán))個距離環(huán)中的第k(k=1,2,…,Nc)個雜波塊的回波信號表示為：

αc,r,kA(r,fc,r,k,θc,r,k)s

(8)

式(8)中,

(9)

Jr∈L×L表示轉(zhuǎn)移矩陣[10]，定義如下：

(10)

由以上可得雜波信號表示為：

(11)

雷達接收機接收到的總信號為目標(biāo)信號、雜波信號以及內(nèi)部噪聲之和，表示為：

y=yt+yc+n=

(12)

2 設(shè)計方法

2.1 設(shè)計準(zhǔn)則

本節(jié)考慮在目標(biāo)先驗信息未知時，以最大化最差情況下的SINR為指標(biāo)，對發(fā)射波形和接收濾波器組進行聯(lián)合設(shè)計。

假設(shè)目標(biāo)角度不確定集為Ω(θ0∈Ω),目標(biāo)多普勒頻率不確定集為Θ(f0∈Θ)。接收信號y通過一組線性接收濾波器wi,j∈NRLM×1，每個濾波器均調(diào)諧到不確定集內(nèi)第(i,j)個特定的角度和多普勒頻率對上[6]，即i=1,2,…,I;j=1,2,…,J。則對應(yīng)于第(i,j)個濾波器wi,j的輸出SINRi,j可表示為：

(13)

式(13)中，

(14)

雷達對目標(biāo)做檢測處理過程如圖2中框圖所示。

圖2 濾波器組處理框圖Fig.2 Block diagram of the filter bank processing

圖2中sinri,j定義為：

(15)

則對于輸入信號y其通過濾波器組后的輸出SINR定義為：

SINR = max1≤i≤I,1≤j≤Jsinri,j

(16)

因此本文中的設(shè)計指標(biāo)是優(yōu)化最差情況下的輸出SINR，即：

max SINRworst=max min1≤i≤I,1≤j≤JSINRi,j

(17)

2.2 波形約束條件

在實際應(yīng)用中，發(fā)射機發(fā)射功率往往恒定，因此需要發(fā)射波形的能量恒定，這里假設(shè)發(fā)射波形具有歸一化能量值，即‖s‖2=1。另外為了得到良好的波形特性(如較低的峰值旁瓣水平，理想的模糊函數(shù))，需要對波形施加相似性約束[11]，即‖s-s0‖2≤δ，0≤δ≤2表示相似性控制程度。s0(‖s0‖2=1)表示已知參考波形，具有理想的波形特性，如線性調(diào)頻信號(LFM)。

為了能夠充分利用發(fā)射機發(fā)射功率，需要對發(fā)射波形施加恒?；虻头寰燃s束[9]，低峰均比約束比恒模約束條件更為寬松，既能保證充分利用發(fā)射功率又比恒模約束具有更高的SINR，其表達式如下[12]：

(18)

式(18)中，sn表示波形s的第n個采樣點，當(dāng)ζ=NTL時，退化為能量約束。當(dāng)ζ=1時則為恒模約束。

進一步可表示為：

(19)

Φn定義如下：

(20)

綜上可得如下優(yōu)化問題：

(21)

2.3 求解算法

問題是一個關(guān)于s和wi,j的非凸聯(lián)合優(yōu)化問題，一般難以獲得最優(yōu)解，本文提出了如下循環(huán)迭代算法加以求解。

當(dāng)固定s時，問題等價于如下一系列無約束優(yōu)化問題：

(22)

式(22)中，

Rcn(s)=Rc(s)+INRLM

(23)

(24)

問題等價于如下著名的MVDR問題：

(25)

其閉式解為[13]：

(26)

將式代入到問題中，經(jīng)過一番整理后可等價于如下關(guān)于s的優(yōu)化問題：

(27)

問題是一類max-min問題，可等價于如下優(yōu)化問題：

(28)

式中,

(29)

此時問題中目標(biāo)函數(shù)是一個凸函數(shù)，但約束條件是非凸集，下面對約束條件做凸近似處理。

通過以上分析可得在第m次迭代時的優(yōu)化問題如下：

(30)

觀察可發(fā)現(xiàn)sH[Σi,j(sm-1)]s≥t和sHs≥1仍然為非凸集。進一步問題可轉(zhuǎn)化成如下優(yōu)化問題：

(31)

式(31)中，εi,j和ε0為輔助變量，u為懲罰項參數(shù)，用來平衡原目標(biāo)函數(shù)和輔助懲罰項。當(dāng)εi,j,ε0→0時，問題的解不斷接近于問題的解，當(dāng)εi,j,ε0=0時，問題的解同樣為問題的解。又因為Σi,j(sm-1)為半正定矩陣，故對于任意z∈NTL×1, 一定有如下不等式成立：

(s-z)H[Σi,j(sm-1)](s-z)≥0

(32)

展開可得：

sHΣi,j(sm-1)s≥
2Re(zHΣi,j(sm-1)s)-zHΣi,j(sm-1)z

(33)

利用替換sH[Σi,j(sm-1)]s≥t-εi,j可得：

2Re(zHΣi,j(sm-1)s)-zHΣi,j(sm-1)z≥t-εi,j

(34)

此時式(34)為凸集。

同理約束條件sHs≥ 1-ε0可凸近似為：

2Re(zHs)-zHz≥1-ε0

(35)

通過以上凸近似處理后，問題(30)轉(zhuǎn)化成如下可解的凸優(yōu)化問題：

(36)

優(yōu)化問題可通過文獻[14]中FPP-SCA算法求解，其在迭代過程時，初始化z0=sm-1。

本文提出算法總結(jié)如下。

輸入：參考波形s0，懲罰項參數(shù)u，退出條件η。

輸出：優(yōu)化解sopt，wi,j。

1)m=0

初始化sm=s0，根據(jù)式(23)計算Rcn(s0)，根據(jù)式(17)和式(27)計算SINRworst(0)。

2)m=m+1

根據(jù)式(23)、式(29)更新Rcn(sm-1)和Σi,j(sm-1)，利用FPP-SCA算法求解優(yōu)化問題(36)，得到優(yōu)化波形的解sm，根據(jù)式(17)和式(27)計算SINRworst(m)。

3) 重復(fù)步驟2)，直到|SINRworst(m)-SINRworst(m-1)|≤η停止。

4) 根據(jù)式(23)更新Rcn(s)，根據(jù)式(26)計算濾波器組wi,j。

5) 輸出最優(yōu)波形sopt=sm和濾波器組wi,j。

3 仿真分析

本章提供了具體數(shù)值實例證明所提算法的有效性。在實驗中考慮機載MIMO雷達由均勻線性陣列構(gòu)成，發(fā)射陣元個數(shù)NT=6,接收陣元個數(shù)NR=6,陣元之間間隔均為半波長。發(fā)射脈沖數(shù)M=6,每個發(fā)射陣元發(fā)射波形碼長L=16。對于機載平臺而言，其飛行速度v(正側(cè)視)和脈沖重復(fù)周期T以及波長λ之間關(guān)系為4vT/λ=1，即雜波脊斜率β=1。

本文使用正交線性調(diào)頻信號作為參考波形SLFM∈NT×L,其第(m,n)個元素的數(shù)學(xué)表達式如下[15]：

(37)

式(37)中，m=1,2，…,NT；n=1,2,…,L；s0=vec(SLFM)。

以下仿真實驗中凸優(yōu)化問題均通過CVX 工具箱求解。FPP-SCA算法中懲罰項參數(shù)u=100，退出條件設(shè)置為ξ=10-3或最大迭代次數(shù)為30。本文所提算法退出條件η=10-3。

3.1 本文設(shè)計方法有效性評估

峰均比約束ζ=1.5，相似性約束δ=1。目標(biāo)角度不確定集Ω=[-10°,10°]，均勻采樣步長為2°，目標(biāo)多普勒頻率不確定集Θ=[0.3,0.5]，均勻采樣步長為0.02。表1給出了具體的采樣數(shù)值，由表中數(shù)據(jù)可以看出共需要有11×11=121個濾波器。

表1 不確定集內(nèi)離散采樣點

圖3給出了SINRworst隨迭代次數(shù)的變化情況，從圖中可以看出SINRworst隨著迭代次數(shù)增加呈單調(diào)增趨勢，最終達到平穩(wěn)點。圖3中第0次迭代表示初始化波形s=s0，可以看出經(jīng)過波形設(shè)計后的SINRworst相比較于使用s0作為發(fā)射波形時提升了大約4.5 dB，說明了本文提出的方法能夠有效提升最差情況下的SINR。

圖3 SINRworst隨迭代次數(shù)變化曲線Fig.3 TheSINRworstversus the number of iterations

圖4給出了在三種不同設(shè)計方法下不確定區(qū)域內(nèi)的SINR值分布情況，包括本文提出的方法設(shè)計(穩(wěn)健設(shè)計)，濾波器組但未波形設(shè)計(使用LFM發(fā)射波形)，以及目標(biāo)先驗信息精確已知條件下的非穩(wěn)健波形設(shè)計(Ω=[0°,0°]，Θ=[0.4,0.4])。從圖中可以看出非穩(wěn)健設(shè)計時在θ0=0°，f0=0.4位置取得最大SINR，且比其他兩種設(shè)計方法的SINR值都要大，但在信息失配時會出現(xiàn)嚴(yán)重的SINR損失，在整個不確定區(qū)域內(nèi)SINR最多下降至2.31 dB。通過濾波器組設(shè)計但發(fā)射波形為LFM信號時，不確定區(qū)域內(nèi)各點的SINR穩(wěn)定在10 dB左右。而通過本文方法設(shè)計后不確定區(qū)域內(nèi)各點的SINR穩(wěn)定在14 dB左右,具有很好的穩(wěn)健性，并且相比較于使用LFM信號而言SINR有了明顯提升。綜合比較，在先驗信息不確定時本文提出的設(shè)計方法具有很好的穩(wěn)健性，且相比較于其他設(shè)計方法SINR能夠穩(wěn)定保持在一個更為滿意的水平。

圖4 SINR在不確定區(qū)域內(nèi)分布情況Fig.4 Distribution of SINR in uncertain area

3.2 峰均比約束和相似性約束的影響

本節(jié)分別給出了在不同峰均比約束條件下以及不同相似性約束條件下SINRworst的變化情況。其他仿真條件均和先前仿真條件相同。

圖 5給出了在峰均比約束ζ=1.5，相似性約束δ=1,0.5,0.3時SINRworst隨迭代次數(shù)變化情況。從圖中可以看出隨著δ的減小，SINRworst值也在不斷減小，這是由于δ的減小意味著波形s的可行集在不斷減小，從而導(dǎo)致SINRworst值不斷下降。

圖5 不同相似性約束下SINRworst變化曲線Fig.5 TheSINRworstcurves under different similarity constraints

圖 6給出了在相似性約束δ=1，峰均比約束ζ=96,1.5,1(分別表示能量約束，低峰均比約束，恒模約束)時的SINRworst變化曲線。從圖中可以看出由ζ的減小造成的SINRworst損失微乎其微，因此對波形施加低峰均比約束是合理的。

圖7給出了在以上三種不同峰均比約束下的波形幅度。從圖中可以看出隨著ζ的減小，波形幅度的波動范圍在不斷減小，當(dāng)ζ=1時波形具有恒模特性，說明了本文提出的算法對波形能夠起到峰均比約束的作用。

圖6 不同峰均比約束下SINRworst變化曲線Fig.6 TheSINRworstcurves under different PAR constraints

圖7 不同峰均比約束下的波形幅度變化曲線Fig.7 The waveform amplitude under different PAR constraints

3.3 不確定集對SINRworst的影響

本節(jié)評估了不確定集的大小對SINRworst的影響。設(shè)角度不確定集Ω=[0°-X,0°+X],多普勒不確定集Θ=[0.5-D,0.5]，其他仿真條件和3.1節(jié)中相同。

圖8給出了Θ=[0.3,0.5]時，SINRworst隨X的變化曲線，圖 9給出了Ω=[-10°,10°]時，SINRworst隨D的變化曲線。從圖中可以看出，隨著X或D的不斷增大，SINRworst將不斷減小。這是由于X或D的不斷增大，意味著不確定區(qū)域范圍在不斷擴大，反映在空-時二維平面上則是目標(biāo)區(qū)域和雜波的距離越來越接近，這將嚴(yán)重影響STAP抑制雜波的性能，從而導(dǎo)致了SINRworst的下降。

圖8 SINRworst隨X的變化曲線Fig.8 TheSINRworstversus X

圖9 SINRworst隨D的變化曲線Fig.9 TheSINRworstversus D

3.4 濾波器個數(shù)的影響

本節(jié)評估了濾波器組的規(guī)模對不確定區(qū)域內(nèi)各點輸出SINR的影響，由于所提方法是在不確定區(qū)域內(nèi)通過采樣有限個離散點后使用有限個濾波器進行匹配，因此濾波器組中的濾波器個數(shù)會影響不確定區(qū)域內(nèi)的各點的輸出SINR。

由定義在不確定區(qū)域內(nèi)的點目標(biāo)(θ0,f0)(θ0∈Ω,f0∈Θ)，其輸出SINR表示為SINR(θ0,f0)，類似文獻[6]中定義“SINR損失比”Loss為：

(38)

為方便起見仿真中設(shè)I=J，其他仿真條件均和3.1節(jié)中相同。圖10給出了Loss隨濾波器個數(shù)I,J的變化曲線，從圖中可以看出隨著濾波器個數(shù)的增加，Loss急劇減小且收斂于0，當(dāng)I=J=5時, Loss下降至0.427 7 dB,當(dāng)I=J=11時，Loss下降至0.082 0 dB。需要指出的是，濾波器個數(shù)的增加雖然能夠獲得較低的Loss值，但同時也增加了優(yōu)化問題的運算復(fù)雜度，需要消耗更多的運算時間，同時在工程實踐中較多的濾波器還增加了成本代價。因此，需要根據(jù)實際情況和需求選擇合適的濾波器個數(shù)。

圖10 Loss隨濾波器個數(shù)變化曲線(I=J)Fig.10 The Loss versus thenumber of filters(I=J)

3.5 與文獻[6]中算法對比

在文獻[6]中研究了SISO雷達場景下目標(biāo)多普勒信息未知時的穩(wěn)健波形設(shè)計，并使用廣義分式規(guī)劃方法求解優(yōu)化問題的解。然而該算法存在一定局限性，一是該算法僅僅適用于能量約束和相似性約束條件下的優(yōu)化模型，當(dāng)考慮其他約束條件如本文所施加的峰均比約束時則不再適用；二是在文獻[6]中已經(jīng)明確指出該算法消耗的運算時間較多。

下面對本文算法和文獻[6]中算法的性能作了具體比較和分析。仿真中只考慮能量約束和相似性約束，設(shè)置δ=1。目標(biāo)角度不確定集Ω=[-10°,10°]，兩種算法的均勻采樣步長均為5°,則I=5;目標(biāo)多普勒頻率不確定集Θ=[0.3,0.5]，兩種算法的均勻采樣步長均為0.05，則J=5。(在仿真過程中考慮文獻[6]中算法消耗的運算時間太長對實驗進程造成影響，而選取較長的采樣步長能夠減少濾波器的個數(shù)，進一步能夠縮短該算法的運算時間，另外在3.4節(jié)中已經(jīng)分析在此濾波器個數(shù)下Loss值很小，故設(shè)置角度搜索步長為5°，多普勒頻率搜索步長為0.05)。注意為了公平比較，在本文算法中，峰均比約束條件直接舍棄，而不是設(shè)置ζ=96。

表2給出了兩種算法的性能指標(biāo)，包括SINRworst(dB)和CPU運行時間T(s)。從表中可以看出本文算法的SINRworst值相比較于對比算法要略低0.05 dB，這是完全可以接受的損失，但運算消耗時間要比對比算法縮短將近兩個量級，這對于具有實時性要求的波形設(shè)計具有重要的意義，說明了本文所提算法更加具有優(yōu)勢。

表2 兩種算法性能對比

下面試圖分析兩種算法消耗運算時間差別較大的主要原因。圖 11給出了兩種算法的SINRworst隨迭代次數(shù)的變化曲線，從圖中可以看出本文算法收斂速度更快，而對比算法則需要更多次的迭代。另一方面，本文算法只需要在最后求解一次濾波器組wi,j，而對比算法則在每次迭代過程中都需要更新wi,j，增加了運算時間。更重要的是，本文算法求解SOCP時的運算復(fù)雜度要比對比算法求解SOCP時的運算復(fù)雜度低得多，具體體現(xiàn)在仿真過程中利用CVX工具箱求解本文算法中的SOCP問題時重構(gòu)成一個具有249個優(yōu)化變量，29個約束條件的優(yōu)化問題，而對比算法則重構(gòu)成一個具有5 246個優(yōu)化變量，220個約束條件的優(yōu)化問題。

圖11 兩種算法的SINRworst隨迭代次數(shù)變化曲線Fig.11 TheSINRworstof two algorithms versus the number of iterations

4 結(jié)論

本文提出了機載MIMO雷達發(fā)射波形和接收濾波器組聯(lián)合穩(wěn)健性設(shè)計方法。該方法以最大化最差情況下的SINR為設(shè)計準(zhǔn)則，同時對波形施加了能量約束、相似性約束和峰均比約束。并針對這一復(fù)雜的非凸聯(lián)合優(yōu)化問題，提出了循環(huán)迭代算法加以求解，通過凸近似處理將非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題，再通過FPP-SCA算法求解該凸優(yōu)化問題。仿真結(jié)果表明，在目標(biāo)先驗信息未知時本文設(shè)計方法具有穩(wěn)健性并能夠顯著提升SINR，與現(xiàn)有算法對比具有更低的運算復(fù)雜度，且所設(shè)計的波形滿足約束條件。