劉慧

[摘要]現(xiàn)行教材中關(guān)于梯形有關(guān)概念的編寫，一是概念探索活動(dòng)的設(shè)計(jì)缺乏從生活中探究、抽象、提煉出概念的過(guò)程，致使思維含量很低;二是有的概念表述不嚴(yán)謹(jǐn)或存在科學(xué)性錯(cuò)誤;三是梯形上下底概念界定不明確導(dǎo)致理解的混亂。分析認(rèn)為，這與對(duì)“淡化概念”教學(xué)理解的偏頗，致使教學(xué)中“形式”與“實(shí)質(zhì)”全面淡化不無(wú)關(guān)系。

[關(guān)鍵詞]教材編寫;梯形;高;上底;下底

[中圖分類號(hào)]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)] 1007-9068（ 2020） 20-0001-06

梯形是學(xué)生在小學(xué)第二學(xué)段學(xué)習(xí)的基本圖形之一。關(guān)于梯形的有關(guān)概念，國(guó)內(nèi)各版本教材安排的時(shí)間有所不同：人教版教材安排在四年級(jí)第一學(xué)期;滬教版教材安排在五年級(jí)第一學(xué)期;北師大版教材把梯形的概念安排在四年級(jí)第一學(xué)期，而把梯形的上下底和高安排在五年級(jí)第一學(xué)期;其他版本教材都是安排在四年級(jí)第二學(xué)期。由于梯形在生活中有著非常廣泛的應(yīng)用，且內(nèi)容比較簡(jiǎn)單，各版本教材在編寫時(shí)都較充分地體現(xiàn)了新課改的教育理念，注重與生活的聯(lián)系和探索活動(dòng)的設(shè)計(jì)。然而，研讀、分析教材的編寫以及教學(xué)實(shí)證后發(fā)現(xiàn)，教材編寫存在著一些不足，有必要對(duì)其進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)。本研究在分析了教材對(duì)于梯形有關(guān)概念的編寫存在不足的基礎(chǔ)上，對(duì)教材進(jìn)行了二次開(kāi)發(fā)，并進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐且取得了良好的效果。

一、梯形概念探索活動(dòng)的比較分析

綜觀各版本教材，關(guān)于梯形概念探索活動(dòng)的設(shè)計(jì)雖然大同小異，但從外在形式來(lái)看可分為三種情況。

1.“圖形一概念一圖形”的設(shè)計(jì)

諸多教材中，直接從圖形人手探討梯形概念的只有北師大版教材（如圖1）。它是通過(guò)對(duì)四邊形進(jìn)行分類，引導(dǎo)學(xué)生觀察、對(duì)比后發(fā)現(xiàn)梯形的特征，提煉出概念，再找出梯形的圖形。這是單純從圖形到圖形的設(shè)計(jì)，前后都沒(méi)有聯(lián)系生活，學(xué)生不能從生活當(dāng)中體會(huì)到學(xué)習(xí)的必要性，也看不到在生活中的應(yīng)用。值得肯定的是，通過(guò)對(duì)比四邊形，學(xué)生可能較容易發(fā)現(xiàn)梯形的特征。

2.“構(gòu)造圖形一概念一生活”的設(shè)計(jì)

有些教材是讓學(xué)生先通過(guò)操作活動(dòng)構(gòu)造幾個(gè)梯形圖形，再歸納圖形的特征，進(jìn)而得出梯形的概念，而后找一找生活中的梯形。如，滬教版教材（如圖2）和浙教版教材（如圖3）的設(shè)計(jì)。這體現(xiàn)了讓學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦進(jìn)行探索的先進(jìn)教育理念，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。雖然兩者的構(gòu)造方法不同，但教材都是直接給出“圖形的一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行”，學(xué)生不用思考與探討就能獲得梯形的特征，思維含量很低。另外，聯(lián)系生活也僅僅是說(shuō)明了生活中有梯形這種圖形而已。

3.“生活一圖形一概念”的設(shè)計(jì)

有些教材是從生活中常見(jiàn)的實(shí)物（如梯子、跳箱、足球門、河壩、房頂、畫架、籃球場(chǎng)等）圖片人手，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中含有一些梯形，再引導(dǎo)學(xué)生探討梯形的特征，提煉出有關(guān)概念。這樣編寫的教材有人教版教材（如圖4）、蘇教版教材（如圖5）、青島版教材（如圖6-1和圖6-2）、西師大版教材（如圖7）、冀教版教材（如圖8）。這種設(shè)計(jì)能讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，體會(huì)到知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。從另一個(gè)角度來(lái)看，教材中呈現(xiàn)的屋頂、水渠和河壩橫截面等嚴(yán)重脫離小學(xué)生的生活，要讓他們想象出來(lái)很困難;再者，教材也只是告訴學(xué)生生活中有梯形而已，這還是從圖形來(lái)探討梯形的概念。

綜上可知，各版本教材對(duì)梯形概念探索活動(dòng)的設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)上都是從圖形到圖形，即使聯(lián)系生活也是浮于表面，流于形式，思維含量很低。因?yàn)樵O(shè)計(jì)沒(méi)有真正觸及生活，沒(méi)有從生活中抽象、提煉出“這種圖形為什么叫梯形”“為什么只有一組對(duì)邊平行，而另一組對(duì)邊不平行”“為什么上底比下底短”“生活中的很多事物為什么要設(shè)計(jì)成這種形狀”等相關(guān)知識(shí)。實(shí)際上，這些都能讓學(xué)生從生活中探索、抽象、提煉出來(lái)（詳見(jiàn)研究（二）），進(jìn)而真正理解梯形的有關(guān)概念，體會(huì)到知識(shí)的廣泛應(yīng)用，做到終身不忘。

二、有的概念表述缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性或存在科學(xué)性錯(cuò)誤

眾所周知，數(shù)學(xué)中的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)與進(jìn)行思維的起點(diǎn)和基礎(chǔ)。正確理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)行科學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)能力的前提。但是，一些教材對(duì)概念表述缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，甚至存在科學(xué)性錯(cuò)誤，主要表現(xiàn)在以下方面。

1.對(duì)梯形的高的表述缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性或存在錯(cuò)誤

西師大版教材將梯形的高表述為“梯形的高是與兩底都垂直的線段”（如圖7）。顯然，這表述相當(dāng)不嚴(yán)謹(jǐn)。眾所周知，梯形的高是夾在兩底間的垂線段，并不是與兩底都垂直的線段就是高。北師大版教材在五年級(jí)上冊(cè)一次性就給出了三角形、平行四邊形和梯形的高。首先，給出了“從一個(gè)頂點(diǎn)向底引出的、與底垂直的線段就是高”（如圖9）。這不僅犯了與西師大版教材同樣的錯(cuò)誤，而且“從一個(gè)頂點(diǎn)”的前提對(duì)平行四邊形和梯形的高來(lái)說(shuō)存在局限性，束縛了學(xué)生的思維。也許編者認(rèn)識(shí)到了存在的問(wèn)題，于是又給出了“平行四邊形可以從邊上任意一點(diǎn)向?qū)叜嫶咕€，畫出的這些線段都是高”。這僅僅補(bǔ)充了對(duì)平行四邊形的高的定義，還是沒(méi)說(shuō)清畫垂線畫到哪里為止。

若按上述教材的定義，一個(gè)梯形（包括三角形和平行四邊形）的高的長(zhǎng)度就可以是任意長(zhǎng)度。雖然梯形有無(wú)數(shù)條高，但長(zhǎng)度是相等的，不是有無(wú)數(shù)條長(zhǎng)度不同的高，二者不能混淆，毋庸多言。

其次，以下教材中對(duì)梯形的高的表述本質(zhì)是一樣的，只是個(gè)別字詞不同，但都存在問(wèn)題。具體地說(shuō)，浙教版教材（如圖10）把梯形的高定義為“從梯形上底的一點(diǎn)向下底作一條垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的線段叫做梯形的高”。滬教版教材（如圖2）把梯形的高定義為“從上底上一點(diǎn)向下底畫垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的線段叫做梯形的高”。冀教版教材（如圖8）把梯形的高的定義為“從梯形上底的任意一點(diǎn)向下底引一條垂線，這一點(diǎn)和垂足之間的線段叫做梯形的高”。若根據(jù)這三個(gè)版本教材的定義，從梯形下底上一點(diǎn)向上底引一條垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的線段就不是梯形的高了？顯然，這些定義有失偏頗，且嚴(yán)重束縛了學(xué)生的思維。

2.四邊形的概念表述錯(cuò)誤

雖然四邊形的概念不屬于梯形的教學(xué)內(nèi)容，但梯形是四邊形。然而浙教版教材（如圖3）一開(kāi)始就給出：“畫出與下面各組平行線相交的2條不平行直線，構(gòu)成一些四邊形。構(gòu)成的圖形是哪一類四邊形？”這樣的四條直線構(gòu)成的圖形是四邊形？浙教版教材第80頁(yè)“平行四邊形的邊與角”一節(jié)存在同樣的問(wèn)題：“在一組平行線上，畫出另一組與它們相交的平行線，構(gòu)成四邊形。這些四邊形有什么特點(diǎn)？”（如圖11）由此可見(jiàn)，這些表述不是失誤或印刷錯(cuò)誤造成的，是嚴(yán)重的科學(xué)性錯(cuò)誤。眾所周知，上述描述中構(gòu)成的圖形不是四邊形，而是《高等幾何》（射影幾何）中的簡(jiǎn)單四線形，《數(shù)學(xué)辭海》也將其稱為簡(jiǎn)單四線形。只能說(shuō)這樣構(gòu)成的圖形中有四邊形，或圖形的一部分是四邊形。再者，教材給出的圖形與由四條不共線的線段首尾依次相接圍成的（凸）封閉圖形——四邊形，是一樣的圖形嗎？

當(dāng)然，上述教材中概念不嚴(yán)謹(jǐn)或存在錯(cuò)誤的問(wèn)題，可能是考慮到小學(xué)生的接受能力，為了體現(xiàn)“淡化概念”的教育理念而精心設(shè)計(jì)的?？墒?，其他版本教材給出的嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的定義，難道學(xué)生就接受不了嗎？這個(gè)問(wèn)題值得我們數(shù)學(xué)教育工作者深思。

三、梯形上下底界定的不明確導(dǎo)致理解混亂

關(guān)于梯形上底和下底的概念，所有教材中都沒(méi)有給出明確的界定。有的教材連底的定義都沒(méi)有給出，只是在圖形中標(biāo)出了上底、下底，如人教版教材（如圖4）、青島版教材（如圖12）、北師大版教材（如圖9）;其他教材（如圖2、圖3、圖7、圖8），以及圖13都給出了類似的定義：互相平行的一組對(duì)邊分別叫做梯形的上底和下底。可到底哪條是上底，哪條是下底均沒(méi)有明確界定，僅僅是在圖中標(biāo)了出來(lái)。最重要的是，所有教材中標(biāo)出上下底的梯形都是將上下底水平（橫著）放置，且上面的底比下面的底短。

這樣一來(lái)就導(dǎo)致學(xué)生對(duì)上底和下底的理解產(chǎn)生混亂：到底在上邊的叫上底，還是短的叫上底？如果上下底不是水平放置的梯形呢？如果上下底是水平放置的梯形，但短的底在下，長(zhǎng)的底在上，又怎么辦呢？這不僅給學(xué)生造成了困惑，還讓不少教師也感到困惑。筆者于2019年7月7日6：05上百度搜索“梯形的上底和下底怎么區(qū)分？”得到了“百度為您找到相關(guān)結(jié)果約9，290，000個(gè)”的結(jié)果，可見(jiàn)不少人處于困惑之中。擁有4億用戶的“100作業(yè)幫（ https：//www.zybang.com/question/f443f3e088199da30ac4lcba257ecf53html）給出了一個(gè)教師與教研組討論及查資料后的“優(yōu)質(zhì)解答”，主要內(nèi)容如下：

關(guān)于梯形上下底的界定……，大致有以下觀點(diǎn)：一、不論位置上或下，其中較短的一條叫上底，較長(zhǎng)的一條叫下底;二、不管它的長(zhǎng)短，位置在上的叫上底，位置在下的叫下底。三、如果梯形是橫著放的，平行的一組對(duì)邊，上面的叫上底，下面的叫下底;如果梯形是豎著放的，平行的一組對(duì)邊畫有高時(shí)，有垂直符號(hào)的稱下底，另一條稱上底。陜西人民教育出版社出版的《小學(xué)教材全解》101頁(yè)寫道：“梯形中互相平行的一組對(duì)邊中，通常把上邊叫做梯形的上底，下邊叫做梯形的下底?！比嗣窠逃霭嫔绯霭娴摹督處熃虒W(xué)用書(shū)》93頁(yè)提到：“要注意說(shuō)明，通常把較短的底叫上底，較長(zhǎng)的底叫下底?！币苫笾?，個(gè)人還是比較支持第一種觀點(diǎn)，因?yàn)槿绻苑轿欢ㄉ舷碌祝瓷厦娴臑樯系?，下面的為下底），那“豎放的梯形”也就是說(shuō)梯形的兩底在側(cè)面，叫它上、下底也不恰當(dāng)……其實(shí)，梯形的上下底之爭(zhēng)完全不必太較真，即使人教版的教學(xué)用書(shū)也只是用了“通?！倍?，就是習(xí)慣上，沒(méi)什么科學(xué)道理的，也是相對(duì)而言的，無(wú)論怎樣區(qū)分都不影響梯形的特性。我想這大約也是為什么教科書(shū)沒(méi)有給出明確定義的原因吧……

對(duì)于梯形上下底的理解處于一片混亂狀態(tài)之中，不僅導(dǎo)致教師教學(xué)模棱兩可或回避不談，學(xué)生更是稀里糊涂，家長(zhǎng)指導(dǎo)學(xué)生完成家庭作業(yè)時(shí)也一籌莫展。

關(guān)于梯形的上下底是不是沒(méi)有明確的界定？其實(shí)，《數(shù)學(xué)辭海》在“梯形”條目中明確定義：“通常把短的稱為上底，長(zhǎng)的稱為下底。”再者，在不同版本的《教師教學(xué)用書(shū)》中，有的提出了類似的教學(xué)建議，有的避而不談。既然有明確界定，那為什么各版本教材中都不說(shuō)明呢？是為了“淡化概念”，還是和上面那位教師一樣，認(rèn)為“通?！倍志褪橇?xí)慣，沒(méi)有科學(xué)道理？抑或是當(dāng)梯形的上下底不水平放置（橫放），或水平放置（橫放）時(shí)長(zhǎng)的底在上面，上下的方位與感覺(jué)不相符或矛盾，不好解釋，也解釋不通？抑或是不管上底下底，只要不影響梯形面積的計(jì)算就行了？

其實(shí)，梯形的上下底界定為“短的是上底，長(zhǎng)的是下底”是具有科學(xué)性的，也沒(méi)必要加“通?！倍?，因?yàn)樗鼇?lái)源于人們的現(xiàn)實(shí)生活，是對(duì)事物抽象的結(jié)果（詳見(jiàn)研究（二）），不是隨意而為的。

四、原因分析

眾所周知，數(shù)學(xué)概念是整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的奠基石，它對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性毋庸置疑。若說(shuō)概念探討流于形式還尚無(wú)大礙，但概念表述的科學(xué)性是必須保證的。當(dāng)然，由于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和抽象性等特征，再加上小學(xué)生認(rèn)知特征的制約，小學(xué)教材不可能建立在嚴(yán)格的理論體系之上，用通俗易懂的、生活化的語(yǔ)言對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行宏觀描述是可以的，也是必要的。但是，這些不能成為教材中概念表述不嚴(yán)謹(jǐn)，甚至存在科學(xué)性錯(cuò)誤，或回避概念的理由。

回顧課程改革的歷程，基于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難和減負(fù)的需要，“淡化概念”教學(xué)成為一種“理念”和時(shí)尚，課程標(biāo)準(zhǔn)也降低了對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的要求。筆者于2019年7月6日8：10在百度搜索“淡化概念教學(xué)”，得到“百度為您找到相關(guān)結(jié)果約3，190，000個(gè)”的結(jié)果，且絕大多數(shù)文章都提出要淡化概念教學(xué)，只有極個(gè)別的文章提出異議。研讀一些專家的有關(guān)論述，發(fā)現(xiàn)“淡化概念”主要有以下觀點(diǎn)：一是不要求學(xué)生死記硬背，不出單純考數(shù)學(xué)概念的題;二是淡化文字?jǐn)⑹?，甚至可以不敘述，讓學(xué)生了解其大意就行;三是教學(xué)不要在概念上下過(guò)多的功夫。當(dāng)然，也指出“淡化概念”教學(xué)是“淡化形式”，目的是“注重實(shí)質(zhì)”“講究實(shí)效”，讓學(xué)生在“用”和“做”中更好地領(lǐng)悟與理解概念。事實(shí)上，“淡化概念”的觀點(diǎn)很難實(shí)現(xiàn)，甚至存在矛盾。試問(wèn)：淡化文字?jǐn)⑹觯瑢W(xué)生只了解概念的大意就能認(rèn)識(shí)到概念的實(shí)質(zhì)？就能更好地理解概念？心理學(xué)理論早已表明，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言和漢語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換是促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化與理解數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵。由此，概念不表述何以進(jìn)行內(nèi)化與理解？