付培兵

【教學(xué)內(nèi)容】

義務(wù)教育教科書人教版六年級數(shù)學(xué)上冊第107頁例1，第108頁“做一做”、拓展練習(xí)。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.結(jié)合現(xiàn)實生活中的具體情境體驗數(shù)學(xué)與日常生活的緊密聯(lián)系，通過觀察、操作、歸納等活動，學(xué)生借助形來直觀感受形與數(shù)的關(guān)系，能借助形解決一些與數(shù)有關(guān)的問題。

2.學(xué)生通過數(shù)與形分析思考問題，從而感悟數(shù)形結(jié)合思想，提高解決問題的能力。

3.學(xué)生在探究過程中感受數(shù)學(xué)知識的奧妙，獲得樂趣，體悟成功，進(jìn)一步增強對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和信心。

【教學(xué)重點、難點】

重點：借助形與數(shù)之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想解決問題。

難點：找到合適的形來表示數(shù)，在形中找出數(shù)的規(guī)律。

【設(shè)計理念】

數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。“數(shù)與形”是人教版數(shù)學(xué)教材新增加的內(nèi)容，一段時間以來，它都是數(shù)學(xué)教師研究的熱點內(nèi)容。對于該課大家都有著不同的理解與思考、不同的探究與實踐。這節(jié)課中要讓學(xué)生學(xué)什么，是教師首先要考慮的問題。新課程標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重滲透數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合思想就是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，把數(shù)與形結(jié)合起來解決問題，可使復(fù)雜的問題變得更簡單，使抽象的問題變得更直觀。

1.從生活實際問題和學(xué)生已有知識出發(fā)，消除課堂學(xué)習(xí)中的陌生感，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生在愉悅中初步感知數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

2.重“言傳”更重“意會”，教學(xué)中讓學(xué)生通過想一想、擺一擺，引導(dǎo)學(xué)生找到合適的形來表示數(shù)并在形中找出數(shù)的規(guī)律，體驗數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，互相印證結(jié)果，感受數(shù)學(xué)的魅力。

3.讓學(xué)生在觀察、思考、合作探究中充分體會到數(shù)學(xué)的魅力，將兒童引入一個神奇的智力世界，讓學(xué)生觸摸“真”數(shù)學(xué)，引發(fā)“真”思考，促進(jìn)“真”發(fā)展，體會“數(shù)形有機(jī)融合”之美，讓數(shù)學(xué)課堂有數(shù)學(xué)味，讓深度學(xué)習(xí)持續(xù)發(fā)生。

【教學(xué)過程】

一、讓學(xué)生初步感知數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

師：如圖1，你會求這兩塊菜地的總面積嗎？

生1：先求蘿卜地的面積是12.5×8，再求大蒜地的面積是8×2，最后相加得12.5×8+8×2。

生2：先求這兩塊菜地的全長是12.5+2，再求總面積是（12.5+2）×8。

師：都求出了總面積，12.5×8+8×2和（12.5+2）×8的關(guān)系怎樣？

生3：12.5×8+8×2=（12.5+2）×8。

師：如果用a、b、c分別替換12.5、2和8，你能表示出這兩塊菜地的總面積嗎？

生4：（a+b）×c=a×c+b×c。

師：不錯！我們可以借助圖形的形象、直觀來解釋運算定律的抽象、概括。

（教師出示圖形）

師：這是直角嗎？

生5：是。

生6：不是。

師：看來不確定，如圖2（標(biāo)出度數(shù)后），現(xiàn)在呢？

生7：不是，因為89°<90°。

師：此時，你認(rèn)為數(shù)的優(yōu)勢是什么？形的優(yōu)勢又是什么？

生8：數(shù)可以很精確。

生9：形可以很直觀。

師：說得太好了。

設(shè)計說明：用怎樣的素材讓學(xué)生體會形中有數(shù)、數(shù)中有形，是需要思考的問題。教學(xué)中，教師從生活實際問題和學(xué)生已有知識出發(fā)引入新課，既消除了課堂學(xué)習(xí)中的陌生感，又有效調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。不僅如此，不同的素材又指向不同的教學(xué)目的，前者突出“以形助數(shù)”，后者突出“以數(shù)解形”。如此巧妙貼切的素材設(shè)計，令人耳目一新。通過對這兩個素材的分析交流，學(xué)生對于“數(shù)與形有緊密聯(lián)系”有了初步的感知，對數(shù)形結(jié)合思想的進(jìn)一步探究有了更強烈的欲望。

二、重“言傳”更重“意會”，讓學(xué)生充分感知數(shù)與形有機(jī)融合之美

師：你能很快算出1+3+5+7+……+99=（ ）2嗎？

師：解決復(fù)雜問題我們不妨從簡單問題入手。

1=（ ）2，1+3=（ ）2，1+3+5=（ ）2……

1+3+5+7+9+11+13=（ ）2。

師：根據(jù)已有知識，你會想到在解決什么問題時也是這樣計算的呢？

生：計算正方形的面積時。

（此時，數(shù)的問題便和正方形有機(jī)融合了。教師拿出相應(yīng)個數(shù)的正方形擺成了倒“L”形，和開始的那個正方形一起組成較大的正方形，學(xué)生動手實踐操作，通過觀察數(shù)與形之間的關(guān)系找到了其中的規(guī)律，那就是算式的和等于排列成的大正方形中所包含小正方形的總個數(shù)，小正方形的總個數(shù)等于正方形每邊個數(shù)的平方，每邊的個數(shù)等于算式中加數(shù)的個數(shù)，這樣借助圖形通過等式的傳遞性，最終得到了“從1開始，連續(xù)幾個奇數(shù)相加的和就等于幾的平方”的簡便算法。）

師：你現(xiàn)在能很快算出1+3+5+7+……+99=（ ）2嗎？

生：1+3+5+7+……+99=（50）2。

師：這么巧妙的方法，我們是借助什么發(fā)現(xiàn)的？

生：正方形。

師：看來，有的計算問題借助圖形解決會更容易。就像這道題一樣，我們借助圖形（圖3）發(fā)現(xiàn)了更巧妙、更簡便的方法。

師：請根據(jù)例1的結(jié)論算一算1+3+5+7+5+3+1=（ ?）。

生1：可以這樣想，1+3+5+7+5+3+1=（25），1+3+5+7=42=16，5+3+1=32=9，16+9=52=25。

生2：還可以這樣想，5+3+1=32=9，1+3+5+7+9=52=25。

生3：我是這樣做的，1+3+5=32=9，9×2+7=25。

師：同學(xué)們太會思考了，1+3+7+9+11能利用規(guī)律計算嗎？

生4：先借一個5來，然后再減去借來的5。

師：是這樣嗎？你太靈活了。

（學(xué)生熱烈鼓掌）

設(shè)計說明：教育的要義是讓每一個學(xué)生“靈動”起來，成為學(xué)習(xí)和生活的主人。教師充分領(lǐng)悟編者的意圖，給予學(xué)生充足的探索時空，讓學(xué)生動手實踐，去感受數(shù)學(xué)的魅力。學(xué)生通過想一想、擺一擺，找到了用正方形來表示數(shù)和在正方形中找出數(shù)的規(guī)律，體會到數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，感受到形可以展示數(shù)的特點，通過形解決數(shù)的問題變得更加容易，兩者互相印證結(jié)果，在這個教學(xué)過程中，“意會”勝于“言傳”，教師退位為學(xué)習(xí)活動的組織者、參與者、見證者，只在關(guān)鍵之處予以點撥、啟發(fā)。在練習(xí)環(huán)節(jié)中教師步步為營，學(xué)生在不同梯度練習(xí)中更加靈活地運用和掌握所總結(jié)的規(guī)律，數(shù)與形的有機(jī)融合讓學(xué)生的運算能力、空間觀念、推理能力和諧生長。

三、深度參與，讓數(shù)形結(jié)合思想扎根于學(xué)生腦中

師：20182-20172=（ ）。

生1：老師剛才說解決復(fù)雜的問題不妨從簡單題目入手，我從這句話中得到了啟示，我們可以采用化繁為簡、以小見大的方法幫助思考，因為42-32=7，82-72=15，從而推算20182-20172=4035。

師：現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，真好！

師：讓我們借助數(shù)形結(jié)合的方法再來理解下吧。

師：如圖4，在準(zhǔn)備好的大正方形（邊長為a）紙片中，在左下角位置剪去一個小正方形（邊長為b）紙片，剩下部分的面積有幾種求法呢？從中你發(fā)現(xiàn)了什么？

（學(xué)生動手操作，教師借助課件演示幫助學(xué)生理解）

師：以后我們將要學(xué)習(xí)的平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，大家求解20182-20172=（ ）。

生：20182-20172=（2018+2017）×（2018-2017）=4035。

設(shè)計說明：數(shù)形結(jié)合思想貫穿于學(xué)生學(xué)習(xí)的整個過程，課堂上教師不僅要教授學(xué)生知識和方法，更要教給學(xué)生一種數(shù)學(xué)思想，這一教學(xué)理念應(yīng)成為我們?nèi)w數(shù)學(xué)人的共識。教師要讓學(xué)生“會學(xué)”而不是“學(xué)會”，要讓學(xué)生的思想向更深處漫溯，就要遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)思想來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，鍛煉數(shù)學(xué)思考力，發(fā)展邏輯思維能力，讓數(shù)學(xué)課堂有數(shù)學(xué)味，讓深度學(xué)習(xí)持續(xù)發(fā)生。

四、暢談收獲，讓數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生心中升華

師：今天這節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了“數(shù)與形”，說說你有什么收獲？

師：通過數(shù)與形結(jié)合來分析思考問題，我們發(fā)現(xiàn)了數(shù)與形的密切聯(lián)系，充分感知了數(shù)與形有機(jī)融合之美。接下來請同學(xué)們欣賞華羅庚的一首詩：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！?/p>

設(shè)計說明：在整理環(huán)節(jié)中，教師將數(shù)形結(jié)合的體會與交流進(jìn)行到底?！皵?shù)與形有怎樣的關(guān)系呢？”因為有了前面的討論交流，學(xué)生的回答十分精彩：“這兩個是相互依賴的關(guān)系”“密不可分的關(guān)系”“互相幫助的關(guān)系”……在暢談收獲中，教師因勢利導(dǎo)，數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生心中得以升華。此時，華羅庚曾經(jīng)說的“數(shù)缺形時少直觀”“形缺數(shù)時難入微”就不是一句簡單引用的名言，而是學(xué)生深刻理解之后的心聲，教師注重在“意會”中引領(lǐng)學(xué)生去感悟數(shù)與形的有機(jī)融合之美。

（作者單位：南昌大學(xué)附屬小學(xué)）