都娥娥，圣文順

（南京工業(yè)大學(xué)浦江學(xué)院，江蘇南京 211200）

0 引言

“離散數(shù)學(xué)”（又稱計算機數(shù)學(xué)）是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，是計算機科學(xué)理論的基礎(chǔ)，作為應(yīng)用型本科計算機相關(guān)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程之一的“離散數(shù)學(xué)”正變得日益重要。它是以研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互之間的關(guān)系為主要目標［1］，在計算機理論研究及軟、硬件開發(fā)的各個領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用?！半x散數(shù)學(xué)”也是計算機科學(xué)中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、編譯原理、數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)原理、算法分析、邏輯設(shè)計、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、容錯技術(shù)、人工智能等許多課程的先導(dǎo)課程［2］。

對于面向應(yīng)用型本科的高校而言，在學(xué)生的培養(yǎng)上，立足于培養(yǎng)信息技術(shù)與應(yīng)用實踐相結(jié)合的特色型社會人才，注重能力與素質(zhì)并重，滿足社會各界對高質(zhì)量應(yīng)用型人才的需求。但是通過實際的教學(xué)實踐及效果來看，發(fā)現(xiàn)在教學(xué)中存在一些問題，與學(xué)校定位的培養(yǎng)方向產(chǎn)生部分背離，尤其是一些理論性很強的學(xué)科，比如“離散數(shù)學(xué)”，在學(xué)習(xí)過程中，知識點抽象，學(xué)生感覺理解較為困難，進而缺乏興趣。

本文將以“離散數(shù)學(xué)”中的部分內(nèi)容為例，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、實踐設(shè)計等方面進行探討，將教學(xué)內(nèi)容與實際應(yīng)用相結(jié)合，使用相關(guān)知識點來解決日常生活中的問題，引導(dǎo)學(xué)生加強知識點的理解，提高學(xué)習(xí)興趣。

1 “離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中存在的問題

1.1 教學(xué)模式的限制

在正常的教學(xué)中，“離散數(shù)學(xué)”一般的教學(xué)時長都是48～64課時，但是其涵蓋面較廣，正常都包含數(shù)理邏輯、集合論、圖論、代數(shù)結(jié)構(gòu)幾大模塊，有的教材還增加有組合數(shù)學(xué)和形式語言與自動機等的相關(guān)知識，因此這門課的典型特點就是概念/定理多、內(nèi)容瑣碎、知識點抽象。就以“圖論”的相關(guān)知識來說，作為“離散數(shù)學(xué)”課程中的重要知識模塊之一，內(nèi)容十分豐富，在整個“離散數(shù)學(xué)”中所占比重最大（如圖1所示）。隨著計算機科學(xué)的迅速發(fā)展，圖論在許多學(xué)科的應(yīng)用也相當廣泛，諸如運籌學(xué)、信息論、控制論、計算機科學(xué)等，都是以圖作為工具來解決實際問題和理論問題［3］，因此，學(xué)好圖論知識并能靈活運用就顯得至關(guān)重要。

圖1 “離散數(shù)學(xué)”各知識模塊課時比例

目前，在“離散數(shù)學(xué)”這門課程的授課中，大部分教學(xué)均采用傳統(tǒng)的授課模式進行教學(xué)，即按照數(shù)學(xué)的教學(xué)方式進行講解，把一個個概念、定理和證明非常生硬地講給學(xué)生，這對學(xué)生來說聽起來覺得枯燥無味，理解上難度大，學(xué)起來不明白它到底在計算機科學(xué)和實際的生活中有什么用處。例如，在教學(xué)中占據(jù)比重最大的“圖論”內(nèi)容［4］，圖的分類較多，各個圖的概念定理都較為抽象，不同的圖有不同的判斷定理，有的使用充分必要條件判斷，而有的只能使用必要條件的逆否命題判斷，有的又要使用充分條件來判定，判定方法多而抽象。在這種情況下，由于知識點多，迫于進度，教師只能按照課本進行定義和定理的講解和證明，這種典型的照本宣科的教學(xué)方式，授課速度太快，學(xué)生無法跟上老師的教學(xué)思路，更加大了學(xué)生對知識點的理解難度，使其教學(xué)效果大打折扣。

1.2 教學(xué)缺乏實踐設(shè)計

對于應(yīng)用型本科而言，學(xué)生大多時候關(guān)注的是如何將學(xué)到的知識進行應(yīng)用，如何提高自己的動手能力，才能在畢業(yè)找工作時對自己有所幫助。而傳統(tǒng)的“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)設(shè)計上只有理論教學(xué)，無實踐環(huán)節(jié)，由于不需要做上機實驗，因而經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己除了知道一些知識點和概念外，所學(xué)的知識在實際生活中并沒有得到應(yīng)用，而且也不知道如何使用這些知識，進而在真正遇到需要用“離散數(shù)學(xué)”的知識點來解決實際問題的時候，不能活學(xué)活用，在解決問題能力上也比較欠缺，同時對后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)也不能起到良好的鋪墊作用。

像“離散數(shù)學(xué)”這種典型的純理論、缺乏實踐、考研又不是必考科目的課程，只能使學(xué)生的學(xué)習(xí)停留在枯燥的理論層面，對未來要從事信息化建設(shè)類工作的學(xué)生來說，無法將所學(xué)的知識與計算機軟件設(shè)計、編程等相關(guān)能力結(jié)合起來［5］，總覺得不如去寫段代碼、組件一個計算機網(wǎng)絡(luò)來的實用。這門課程也常常因為這些情況，無法讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣而去主動地進行學(xué)習(xí)，長此以往，就會形成學(xué)“離散數(shù)學(xué)”沒什么用，只求考試通過的學(xué)習(xí)風(fēng)氣，進而漸漸地不被同學(xué)重視。

針對上述問題，本文從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、實踐環(huán)節(jié)等幾個方面做了教學(xué)改革的嘗試和研究。

2 “離散數(shù)學(xué)”教學(xué)改革研究

2.1 教學(xué)內(nèi)容的刪減

由于“離散數(shù)學(xué)”內(nèi)容較多，就如目前我們專業(yè)選擇的教材除了傳統(tǒng)的幾大知識模塊外，還增加了“組合數(shù)學(xué)”和“形式語言與自動機”等方面的內(nèi)容，所以在實際授課時候，可以根據(jù)實際需要進行相關(guān)內(nèi)容的刪減。如“形式語言與自動機”的相關(guān)知識目前對于學(xué)生用處不是很大，可以不列入教學(xué)計劃，“組合數(shù)學(xué)”相關(guān)內(nèi)容因為在計算機編碼、算法設(shè)計及密碼學(xué)方面有較大的用處，可以列入教學(xué)計劃進行講授。而且需要根據(jù)各個知識模塊在實際應(yīng)用中所占的比重，加大比重較大的知識點的課時數(shù)，如“圖論”部分。對于集合部分，因為學(xué)生以前或多或少接觸過相關(guān)知識，所以在授課時候，集合的基本概念和運算方面可以加快點進度，在關(guān)系、函數(shù)的復(fù)合及反函數(shù)等章節(jié)可以多舉例子進行講解，加深理解。

2.2 教學(xué)方法的改進

“離散數(shù)學(xué)”這門課傳統(tǒng)的教學(xué)方法較為古板，教師大部分照本宣科，無法引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因此，如何在教學(xué)方法上進行相應(yīng)改進，提起學(xué)生對這門課的興趣顯得至關(guān)重要，提起學(xué)習(xí)興趣后再進行知識點的講解，這樣所取得的效果會好很多。本文以“圖論”部分的內(nèi)容為例來從以下兩個方面探討教學(xué)方法的改進。

2.2.1 趣味入題

在進行新的知識點講授的時候，盡量以一些有趣的話題來引入所講的內(nèi)容，首先引起學(xué)生的注意，讓學(xué)生不再感覺到這門課是枯燥乏味的，調(diào)動其積極性。

例如，在講“圖論”知識的時候，可以先向?qū)W生講述圖論的起源：18世紀中葉在歐洲普魯士的哥尼斯堡城內(nèi)有一條河，河中有兩個小島，由七座橋相連接。當時人們熱衷于一個難題：一個人怎樣不重復(fù)地走完這七座橋？這就是著名的哥尼斯堡七橋問題。當時很長時間沒人能解決這一問題，直到1736年，歐拉發(fā)表了第一篇關(guān)于圖論的論文，將該題轉(zhuǎn)化為圖論問題才得以解決［3］。以這樣的趣味性問題入題，進而引申出相關(guān)的知識點，能夠使學(xué)生對這些內(nèi)容留下深刻的印象，也可以提起對后面知識的學(xué)習(xí)興趣。

2.2.2 結(jié)合實際講授知識點

在授課過程中，為了加深學(xué)生對抽象的知識點的理解，盡量將該知識點和實際中的例子結(jié)合起來，讓同學(xué)了解到在遇到不同的問題時使用哪些知識點來解決。

例如，在講“圖論”中的哈密頓圖［6］時候，由于哈密頓圖的特殊性，至今沒有一個較好的定理或者方法來判定，都是結(jié)合各種必要條件、充分條件進行判斷。定理多，每種判斷方法都存在局限性，使學(xué)生無法理解哈密頓圖到底有何使用。這時候可以列舉一個現(xiàn)實生活中的例子，來加深學(xué)生的理解和了解哈密頓圖的用法。如：某次國際會議8人參加，已知每人至少與其余7人中的4人有共同語言，問服務(wù)員能否將他們安排在同一張圓桌就座，使得每個人都能與兩邊的人交談？這個例子就可以使用到哈密頓的知識點來解答，可以將參加與會的人員看成圖的8個頂點，如果兩個人有共同語言，就給他們之間畫一條邊進行關(guān)聯(lián)，進而轉(zhuǎn)化為圖論問題。由于每個人都可以和其他7個人中的4個人有共同語言，所以每個頂點的度數(shù)至少為4，根據(jù)判斷哈密頓圖的充分條件知道，兩個頂點的度數(shù)之和大于實際頂點數(shù)，則是哈密頓圖［3］，所以該題肯定存在一條哈密頓回路，服務(wù)員只需要在該圖中找一條哈密頓回路，然后按回路中相鄰關(guān)系安排座位即可解決此題。

上述例子在現(xiàn)實生活中是極可能存在的推理問題，對這類題感興趣的同學(xué)肯定很多，這時借助所學(xué)知識就能很簡單地解決實際中的復(fù)雜問題，以這樣的方式進行內(nèi)容講解，既不會讓學(xué)生感覺到枯燥乏味，還能引起學(xué)生的興趣，提高同學(xué)解決實際問題的能力。

2.3 增加實踐環(huán)節(jié)

前面闡述了對于應(yīng)用型本科生而言，最主要的是實際動手能力，而要提高動手能力，實踐環(huán)節(jié)必不可少。但是傳統(tǒng)的“離散數(shù)學(xué)”課程無實踐環(huán)節(jié)，只說離散數(shù)字在計算機中應(yīng)用廣泛，學(xué)生無法理解如何使用“離散數(shù)學(xué)”的知識去解決與計算機相關(guān)的問題。為了解決這一問題，本文提出在正常的教學(xué)中，增加一些實踐內(nèi)容，加深學(xué)生對知識點的理解和鞏固，同時也可以提高學(xué)生的動手能力。

例如，在講“圖論”中的最短路徑問題時，使用到了著名的算法——Dijkstra算法，教材上已經(jīng)給出了該算法的具體步驟。在教學(xué)中，可以將該算法列入實踐內(nèi)容，讓學(xué)生用自己熟悉的語言，編寫出該算法的相應(yīng)代碼，給定一個特定的圖，規(guī)定起點和終點，調(diào)用自己編寫的算法函數(shù)，求出最短路徑。然后用數(shù)學(xué)上的方法，手動繪制該圖的最短路徑計算過程圖表，最后也會確定一條路徑，去驗證是否和程序運行的結(jié)果一致。

通過對類似的內(nèi)容增加實踐環(huán)節(jié)，不但加深學(xué)生對知識點的理解，而且使學(xué)生的編程能力得到了鍛煉，也使學(xué)生對自己產(chǎn)生很大的自信，能運用已經(jīng)學(xué)過的編程語言和“離散數(shù)學(xué)”的知識，編寫出小的應(yīng)用程序，解決一些算法問題，進而對學(xué)習(xí)也產(chǎn)生濃厚的興趣。

3 結(jié)語

“離散數(shù)學(xué)”作為計算機科學(xué)技術(shù)的支撐學(xué)科之一，正變得日益重要，在計算機的各個領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，同時它又可以提高學(xué)生的思維能力，使其在解決計算機問題時候激發(fā)一些設(shè)計思想。通過對“離散數(shù)學(xué)”課程進行一系列的教學(xué)改革實踐后，上述教學(xué)改革措施非常有效，大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，將理論與實踐相結(jié)合，加深了學(xué)生對知識點的掌握，也提高了學(xué)生的實際動手能力，取得了較好的教學(xué)效果。