楊仁樹，肖成龍，丁晨曦，陳 程，趙 勇，鄭昌達(dá)

（1. 中國礦業(yè)大學(xué)(北京)深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083；2. 北京科技大學(xué)土木與資源學(xué)院，北京 100083；3. 中國礦業(yè)大學(xué)(北京)力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京 100083）

在井巷施工與城市地下工程等實(shí)際工程中，巖體通常存在大量的裂隙、孔洞等缺陷，當(dāng)含缺陷的圍巖受到工程活動(dòng)等動(dòng)載的影響，其內(nèi)部缺陷附近產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，以致周圍應(yīng)力場發(fā)生改變，嚴(yán)重時(shí)會(huì)影響圍巖的完整性，甚至造成巖體力學(xué)性質(zhì)的削弱，最終導(dǎo)致圍巖結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。因此，對(duì)沖擊荷載下含缺陷介質(zhì)的動(dòng)態(tài)斷裂行為進(jìn)行深入研究具有重要的工程意義。

近年來，對(duì)于在沖擊荷載下介質(zhì)的動(dòng)態(tài)斷裂破壞行為，國內(nèi)外諸多專家學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究，取得了豐富的研究成果：Kalthoff 等[1]基于焦散線理論，測定了沖擊荷載作用下裂紋尖端的動(dòng)態(tài)斷裂韌性；Rubinstein 等[2]研究了微觀缺陷與裂紋的相互作用，分析了裂紋擴(kuò)展過程中的動(dòng)態(tài)斷裂行為；姚學(xué)鋒等[3]采用動(dòng)態(tài)焦散線實(shí)驗(yàn)方法，設(shè)計(jì)沖擊三點(diǎn)彎實(shí)驗(yàn)，研究了含偏置預(yù)裂紋有機(jī)玻璃(PMMA)試件的裂紋動(dòng)態(tài)擴(kuò)展行為；岳中文等[4]設(shè)計(jì)沖擊三點(diǎn)彎實(shí)驗(yàn)，得到了不同傾角的層狀巖體的動(dòng)態(tài)斷裂特征，裂紋的偏移距離隨預(yù)制裂紋角度的增加而增大；李清等[5]對(duì)含不同傾角的預(yù)制裂紋的半圓盤試件受沖擊荷載時(shí)的裂紋起裂時(shí)間、裂紋速度、斷裂韌度等參數(shù)進(jìn)行研究；楊仁樹等[6]基于數(shù)字激光動(dòng)態(tài)焦散系統(tǒng)，研究了含不同曲率缺陷的PMMA 試件受沖擊荷載作用的時(shí)程與應(yīng)力規(guī)律；楊立云等[7]設(shè)計(jì)雙預(yù)制裂紋的三點(diǎn)彎實(shí)驗(yàn)，研究了在沖擊荷載作用下次裂紋對(duì)主裂紋動(dòng)態(tài)擴(kuò)展行為的影響。以上研究成果豐富了沖擊荷載下巖石的動(dòng)態(tài)斷裂理論，但在空孔與不同偏置距離裂紋的相互作用方面卻鮮有研究。

本文采用動(dòng)態(tài)焦散線實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，對(duì)不同預(yù)制裂紋偏移距離的含空孔PMMA 試件進(jìn)行沖擊三點(diǎn)彎實(shí)驗(yàn)，研究了預(yù)制裂紋不同偏移距離時(shí)運(yùn)動(dòng)裂紋與空孔的相互作用規(guī)律及試件的動(dòng)態(tài)斷裂特性；并通過MATLAB 程序計(jì)算試件裂紋軌跡的分形維數(shù)，從分形的角度分析不同偏移距離時(shí)空孔對(duì)裂紋軌跡的影響，以期為實(shí)際工程提供一定的理論支持。

1 動(dòng)態(tài)焦散線實(shí)驗(yàn)

1.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)為透射式數(shù)字激光焦散線系統(tǒng)[8]，如圖1 所示，實(shí)驗(yàn)采用的高速相機(jī)型號(hào)為Fastcam-SA5(16G)，通過配備的PFV 軟件可設(shè)置相機(jī)參數(shù)、采集數(shù)據(jù)，該相機(jī)最大拍攝頻率可達(dá)1 000 000 s?1，本次實(shí)驗(yàn)拍攝頻率設(shè)置為150 000 s?1（相鄰照片間隔6.67 μs），焦散圖片尺寸192×168 像素；實(shí)驗(yàn)光源為綠色光源激光器，該光源輸出功率為0～200 mW，本次實(shí)驗(yàn)光源輸出功率設(shè)定為50 mW。

圖 1 數(shù)字激光動(dòng)態(tài)焦散線實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig. 1 The system of digital laser dynamic caustics

1.2 實(shí)驗(yàn)原理及方法

實(shí)驗(yàn)采用動(dòng)態(tài)焦散線方法[9]，該方法基于幾何光學(xué)原理。實(shí)驗(yàn)時(shí)將試件置于兩場鏡間的平行光場，在落錘的沖擊加載下，裂紋尖端應(yīng)力集中，裂紋尖端附近的試件厚度發(fā)生改變，進(jìn)而改變了材料的光學(xué)折射率，入射光通過試件后將偏離原傳播方向，最終在參考平面上表現(xiàn)出界限分明的明暗區(qū)域，即焦散線與焦散斑[10-11]。

式中：deff為試件厚度，本次實(shí)驗(yàn)deff=5 mm；c 為材料的光學(xué)常數(shù)，本次實(shí)驗(yàn)c=0.85×10?10m2/N；z0為試件至參考平面距離，本次實(shí)驗(yàn)z0=0.9 m；F(v) 為動(dòng)載作用下的修正系數(shù)，在具有實(shí)際意義的裂紋速度下，F(xiàn)(v)=1；g 為數(shù)值系數(shù)，g=3.17；Dmax為焦散斑的最大直徑。本次實(shí)驗(yàn)中，deff、c、z0、F(v)、g 均為常數(shù)，因而通過對(duì)不同時(shí)刻的焦散圖片中焦散斑最大直徑的測量即可確定該時(shí)刻的裂紋尖端動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子。

1.3 動(dòng)焦散線實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

由于有機(jī)玻璃具有與巖石材料相似的動(dòng)態(tài)斷裂特性[14]，因而選用其作為本次模型實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)材料，該材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)如下[15]：膨脹波波速cp=2 320 m/s，剪切波波速cs=1 260 m/s，彈性模量Ed=6.1 GPa，泊松比μ=0.31，應(yīng)力光學(xué)常數(shù)Ct=0.85×10?10m2/N。圖2 為試件模型示意圖，試件尺寸為220 mm×50 mm×5 mm（長×寬×厚），在試件幾何中心通過激光切割預(yù)制半徑R=3 mm 的空孔，試件底部垂直預(yù)制長10 mm 的裂紋。本次實(shí)驗(yàn)共5 組方案，5 組方案中預(yù)制裂紋偏移試件中心的距離L 分別為0、3、6、9、12 mm（0～4 倍空孔半徑R），每組方案共3 組試件，共15 組，依次對(duì)應(yīng)試件編號(hào)Sx?n(x=0，3，6，···，12，表示預(yù)制裂紋偏移距離為x mm；n=1，2，3，表示每種情況下的第n 組試件)。實(shí)驗(yàn)加載通過落錘自由下落沖擊試件上表面的中心，即三點(diǎn)彎曲加載，本次實(shí)驗(yàn)的落錘質(zhì)量為1 kg，落錘下落高度為300 mm，保證了每組實(shí)驗(yàn)中落錘對(duì)試件的沖擊荷載一致，實(shí)驗(yàn)加載裝置如圖3 所示。

圖 2 試件模型示意Fig. 2 Sketch map of the specimen

圖 3 沖擊加載裝置Fig. 3 Impact loading system

2 動(dòng)焦散線實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

2.1 試件斷裂形態(tài)

5 組方案共15 組試件實(shí)驗(yàn)后，對(duì)各組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理分析，發(fā)現(xiàn)每組方案的各組試件實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了本次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性與可靠性。圖4 為每組方案中隨機(jī)選取的一組試件S0-1～S12-1的裂紋擴(kuò)展軌跡。由圖4 可知，預(yù)制裂紋與空孔的相對(duì)位置對(duì)裂紋擴(kuò)展軌跡產(chǎn)生顯著影響，在沖擊荷載的作用下，隨著預(yù)制裂紋偏移試件中心距離由0 mm 增大至12 mm，試件共呈現(xiàn)三種破壞形態(tài)：當(dāng)預(yù)制裂紋偏移距離不大于3 mm（試件S0-1、S3-1）時(shí)，裂紋起裂后貫穿空孔；預(yù)制裂紋的偏移距離增大至6 mm（試件S6-1），裂紋擴(kuò)展至空孔附近時(shí)，空孔對(duì)運(yùn)動(dòng)裂紋呈現(xiàn)出顯著的“吸引”作用，裂紋路徑向空孔偏轉(zhuǎn)，但未與空孔貫穿，隨后裂紋遠(yuǎn)離空孔；預(yù)制裂紋偏移距離大于9 mm（試件S9-1、S12-1），裂紋起裂后即向落錘加載方向擴(kuò)展，直至貫穿試件，空孔對(duì)裂紋的擴(kuò)展軌跡無顯著影響。

圖 4 裂紋擴(kuò)展軌跡Fig. 4 Crack propagation paths in different specimens

2.2 動(dòng)態(tài)焦散斑圖

由于篇幅所限，文中只給出試件S0-1、S6-1、S12-1各時(shí)刻裂紋與空孔作用的動(dòng)態(tài)焦散斑圖片，如圖5 所示，記落錘與試件沖擊接觸的時(shí)刻為0 μs。

圖 5 動(dòng)態(tài)焦散斑系列圖像Fig. 5 Dynamic caustic spots of specimens

試件S0-1裂紋尖端焦散斑的擴(kuò)展可分為3 個(gè)階段：第一階段，落錘沖擊試件時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)力波以加載點(diǎn)為圓心在試件傳播，受應(yīng)力波影響，預(yù)制裂紋尖端的焦散斑尺寸不斷增大，即應(yīng)力強(qiáng)度因子不斷增大，在180.09 μs 時(shí)達(dá)到本次實(shí)驗(yàn)條件下的臨界應(yīng)力強(qiáng)度因子，試件起裂，226.78 μs 裂紋尖端焦散斑擴(kuò)展至空孔下端；第二階段，焦散斑融入空孔，空孔上方的陰影面積隨時(shí)間不斷增大，說明空孔上端發(fā)生能量積累，且能量的積累程度隨時(shí)間加??；第三階段，當(dāng)空孔上端能量累積到極值，600.30 μs 時(shí)空孔上端二次起裂，且焦散斑尺寸大于第一階段，說明二次起裂所需能量大于一次起裂，起裂后裂紋向落錘加載處擴(kuò)展，焦散斑尺寸減小，直至試件被裂紋貫穿。

試件S6-1裂紋尖端焦散斑的擴(kuò)展可分為兩階段：第一階段，在沖擊荷載的作用下，預(yù)制裂紋尖端的焦散斑尺寸增大，試件于193.43 μs 起裂，起裂后裂紋快速擴(kuò)展，并于246.79 μs 受空孔對(duì)運(yùn)動(dòng)裂紋的“吸引”作用顯著向空孔偏轉(zhuǎn)但未貫穿空孔，焦散斑尺寸逐漸減??；第二階段，焦散斑于286.81 μs 開始遠(yuǎn)離空孔，并向落錘加載處不斷擴(kuò)展，焦散斑尺寸先增大后減小，直至貫穿試件。

試件S12-1在沖擊荷載的作用下，預(yù)制裂紋尖端的焦散斑尺寸增大，試件于193.43 μs 時(shí)起裂，空孔對(duì)裂紋擴(kuò)展未造成顯著影響，裂紋向落錘加載方向不斷擴(kuò)展，直至試件被裂紋貫穿。

2.3 裂紋擴(kuò)展速度

圖6 為沖擊荷載作用下5 組試件裂紋擴(kuò)展速度與時(shí)間的關(guān)系曲線，由圖可知，隨著預(yù)制裂紋偏移試件中心距離由0 mm 增大至12 mm，裂紋擴(kuò)展速度v 共呈現(xiàn)3 種變化規(guī)律。

圖 6 裂紋擴(kuò)展速度隨時(shí)間變化Fig. 6 Change of crack growth speed with time

試件S0-1、S3-1沿預(yù)制裂紋起裂后，裂紋速度迅速增大至214.89 m/s (200.10 μs)與229.88 m/s (200.10 μs)，隨后速度減小，直至裂紋貫穿空孔?？湛咨隙四芰糠e累，當(dāng)能量累積到極值，空孔上端二次起裂，起裂速度分別達(dá)到462.48 m/s (600.30 μs)與472.42 m/s (606.97 μs)，該速度分別為一次起裂時(shí)速度峰值的2.15 倍與2.06 倍，說明二次起裂需要更多的能量，隨后速度減小直至裂紋貫穿試件。

試件S6-1起裂后，裂紋速度迅速增大至240.7 m/s (226.78 μs)，隨著裂紋靠近空孔，裂紋速度逐漸減小，并于280.14 μs 降低至谷值150.0 m/s，之后裂紋遠(yuǎn)離空孔，裂紋速度隨之增大，由速度變化規(guī)律可知，空孔對(duì)裂紋擴(kuò)展起顯著抑制作用。最終裂紋速度不斷減小直至裂紋貫穿試件。

試件S9-1、S12-1起裂后，裂紋速度迅速增大至222.66 m/s (220.11 μs)與224.89 m/s (226.78 μs)，隨后速度振蕩減小直至裂紋貫穿試件。由此可知，當(dāng)預(yù)制裂紋偏移距離大于9 mm 時(shí)，空孔對(duì)裂紋速度的變化規(guī)律無顯著影響。

2.4 動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子規(guī)律

圖7 為沖擊荷載作用下5 組試件裂紋尖端動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子與時(shí)間的關(guān)系曲線，由圖可知，從落錘沖擊接觸試件到試件沿預(yù)制裂紋起裂的能量積累階段(0～200.10 μs)，5 組試件動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨時(shí)間的變化規(guī)律基本一致，起裂時(shí)裂紋尖端基本相同，在0.93～1.00 MN/m3/2之間。起裂后裂紋尖端的能量釋放，應(yīng)力集中程度降低，隨之減小，隨著預(yù)制裂紋偏移試件中心距離由0 mm 增大至12 mm，試件起裂后共呈現(xiàn)三種變化規(guī)律。

圖 7 裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子隨時(shí)間的變化曲線Fig. 7 Change of crack stress intensity factor with time

(1) 試件S0-1、S3-1起裂后受空孔影響，分別減小至0.63 MN/m3/2(233.45 μs) 與0.64 MN/m3/2(220.11 μs)。裂紋貫穿空孔，空孔上端的能量不斷積累，于空孔上端發(fā)生二次起裂，兩組試件起裂時(shí)的分別為1.74 MN/m3/2(600.30 μs)與1.84 MN/m3/2(606.97 μs)，二次起裂的動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子分別為一次起裂時(shí)峰值的2.76 倍與2.88 倍，說明二次起裂需要更多的能量，起裂難度更大。二次起裂后迅速減小直至裂紋貫穿試件。

(2) 試件S6-1起裂后受空孔的“吸引”作用，裂紋向空孔偏轉(zhuǎn)，迅速減小，于273.47 μs 降低至谷值0.25 MN/m3/2，286.81 μs 裂紋開始遠(yuǎn)離空孔，隨之增大，于333.50 μs 達(dá)到峰值0.76 MN/m3/2，由變化規(guī)律可知，空孔對(duì)裂紋擴(kuò)展起顯著的抑制作用。隨后，逐漸減小直至裂紋貫穿試件。

(3) 試件S9-1、S12-1起裂后裂紋尖端能量釋放，減小，并分別在0.57～0.74 MN/m3/2(220.11～426.88 μs)與0.63～0.80 MN/m3/2(213.44～446.89 μs)之間震蕩，隨后，逐漸減小直至試件貫穿。當(dāng)預(yù)制裂紋偏移距離大于9 mm 時(shí)，空孔對(duì)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子無顯著影響。

3 裂紋軌跡的分形維數(shù)計(jì)算

分形理論由Mandelbrot 于1975 年創(chuàng)立，分形理論的出現(xiàn)為分析具有自相似性的不規(guī)則幾何形體提供了定量刻畫的方法[16]，且由謝和平[17]首次將該理論應(yīng)用于巖石的損傷破環(huán)分析。其中，計(jì)盒維數(shù)由于其相對(duì)簡單的計(jì)算方法，且能夠準(zhǔn)確表征裂紋空間分布[18-19]，因而在巖石斷裂力學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用。將分形體用邊長為 δ 的盒子均勻覆蓋，記 N (δ) 為所有與分形體相交的盒子個(gè)數(shù)，則計(jì)盒維數(shù)DB[20-22]的表達(dá)式為

圖8 為5 組試件在沖擊荷載作用下的裂紋軌跡進(jìn)行二值化處理后的圖片，圖像尺寸為1 024×1 024像素，將二值圖導(dǎo)入MATLAB 計(jì)盒維數(shù)計(jì)算程序進(jìn)行計(jì)算。

圖9 為5 組試件裂紋軌跡的計(jì)盒維數(shù)擬合直線，5 組擬合直線的相關(guān)系數(shù)均大于0.99，證明了試件在沖擊荷載作用下的裂紋軌跡符合分形規(guī)律。試件S0-1～S12-1裂紋軌跡的分形維數(shù)D1～D5分別為1.222 0、1.308 8、1.319 2、1.292 1、1.279 0。當(dāng)預(yù)制裂紋與試件中心無偏離時(shí)，裂紋軌跡的分形維數(shù)為五組試件中的最小值（1.222 0），說明該情況下裂紋軌跡復(fù)雜程度最低，裂紋的擴(kuò)展軌跡最規(guī)則。當(dāng)預(yù)制裂紋發(fā)生偏離時(shí)，裂紋軌跡的分形維數(shù)較試件S0-1增大，從分形的角度進(jìn)一步驗(yàn)證了預(yù)制裂紋偏移距離與空孔對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響。預(yù)制裂紋與試件中心偏離6 mm 時(shí)，裂紋軌跡的分形維數(shù)為五組試件中的最大值（1.319 2），說明該情況下裂紋軌跡最復(fù)雜，裂紋的擴(kuò)展軌跡規(guī)則程度最低。

圖 8 裂紋軌跡二值圖Fig. 8 Binary diagrams of the crack trajectories in different specimens

圖 9 裂紋軌跡的計(jì)盒維數(shù)擬合曲線Fig. 9 Box-counting dimension fitting curves of crack trajectories in different specimens

4 結(jié) 論

本次實(shí)驗(yàn)條件下，當(dāng)預(yù)制裂紋偏移試件中心距離由0 mm 增大至12 mm（0～4 倍空孔半徑R），存在2 個(gè)臨界偏移距離6 mm (2R)、9 mm (3R)，在臨界偏移距離裂紋的擴(kuò)展軌跡、動(dòng)態(tài)斷裂特性發(fā)生顯著變化，整體呈現(xiàn)為以下3 種規(guī)律：

（1）偏移距離不大于3 mm 時(shí)，裂紋貫穿空孔，空孔上端發(fā)生二次起裂，且二次起裂的速度與應(yīng)力強(qiáng)度因子分別平均為一次起裂時(shí)峰值的2.1 倍與2.8 倍，二次起裂需要更多的能量，無偏移時(shí)裂紋軌跡的分形維數(shù)為最小值1.222 0。

（2）偏移距離由3 mm 增大至6 mm 時(shí)，裂紋不再貫穿空孔，裂紋擴(kuò)展至空孔時(shí)首先向空孔偏轉(zhuǎn)，隨后裂紋遠(yuǎn)離空孔，空孔對(duì)裂紋先吸引后排斥，裂紋擴(kuò)展速度與應(yīng)力強(qiáng)度因子先減小后增大，裂紋軌跡的分形維數(shù)達(dá)到最大值1.319 2。

（3）偏移距離大于6 mm 時(shí)，空孔對(duì)裂紋的吸引作用逐漸減??；偏移距離大于9 mm 后，空孔對(duì)裂紋擴(kuò)展無顯著影響，裂紋起裂后即向落錘加載方向擴(kuò)展，裂紋速度與應(yīng)力強(qiáng)度因子振蕩減小直至貫穿試件，裂紋軌跡的分形維數(shù)較6 mm 時(shí)有所減小。