葛康康，芮紹平，張 杰

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北235000）

0 引言

Rn中的二階錐（SOC）κn定義如下：

這里F：Rn→Rn為一連續(xù)可微函數(shù)，κ?Rn是有限個(gè)二維的笛卡爾積，即κ=κn1×κn2×…×κnr，其中n1+n2+…+nr=n且r,n1,n2,…,nr≥1，本文簡(jiǎn)記κ=κn.

二階錐互補(bǔ)問題是一類應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域，受到廣泛關(guān)注的問題［1-3]. 目前，二階錐互補(bǔ)問題的求解算法主要有不動(dòng)點(diǎn)迭代法［4]、內(nèi)點(diǎn)法［5-6]、投影法［7]、光滑牛頓法［8-9]，這些算法總體有效，但都有各自的局限性，因此二階錐互補(bǔ)問題的算法一直是學(xué)者們研究的熱點(diǎn). 近年來，光滑化求解算法由于其收斂速度快和具有全局收斂性的優(yōu)點(diǎn)而受到廣泛關(guān)注. 本文基于一種新互補(bǔ)函數(shù)，將二階錐互補(bǔ)問題轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的光滑方程組，借助非精確牛頓法求解該方程組，對(duì)文中所設(shè)計(jì)的算法收斂性進(jìn)行了證明，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，該算法是可行且有效的.

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)任意x=(x1,x2)∈R×Rn-1，其與二階錐κ關(guān)聯(lián)的特征值分解為

其中ω∈Rn-1滿足這里λ1,λ2和分別表示x的特征值和特征向量. 利用x的特征值分解可以定義：容易證明

定義對(duì)稱矩陣

這里I是維的單位陣. 易知，對(duì)于?y∈Rn，Lxy=x°y.

定義1［10]對(duì)于非光滑函數(shù)h：Rm→Rn，若含有參數(shù)μ ＞0 的函數(shù)hμ：Rm→Rn滿足?μ ＞0，hμ是可微的且則稱hμ為h的光滑逼近函數(shù).

2 光滑函數(shù)及算法

向量值函數(shù)φ：Rn×Rn→Rn，使得

則稱φ為互補(bǔ)函數(shù). 目前應(yīng)用最為廣泛的為Fischer-Burmeister［11]互補(bǔ)函數(shù)：

其中ver sin=1-cosμ、cvs=1-sinμ分別表示正矢函數(shù)和余矢函數(shù).

引理1設(shè)函數(shù)Φ：R+×Rn×Rn→Rn由式（3）定義，可知：

這里

0,x,y光滑函數(shù).

證明（i）顯然，在任意的連續(xù)可微且全局Lipschitz連續(xù)，下證式（4）. 由式（5）和（6）可知

所以

其中

其中向量ω∈Rn-1滿足同理可知

其中

向量ω∈Rn-1滿足‖ω‖=1. 不失一般性，取ω∈Rn-1和ui(μ) 中的相同. 顯然滿足于是

所以

令z：=(μ,x,y)，定義如下函數(shù)

據(jù)統(tǒng)計(jì)，該地鐵盾構(gòu)隧道在2014年12月25日—2015年5月10日運(yùn)營(yíng)期間，共完成地面注漿孔363個(gè)。其中，上行線注漿孔為191個(gè)，下行線注漿孔為104個(gè)，上行線隧道與下行線隧道中間位置的注漿孔為68個(gè)。盾構(gòu)管片收斂整治微擾動(dòng)注漿范圍為：上行線為330～395環(huán)，下行線為340～375環(huán)。由于該區(qū)間存在聯(lián)絡(luò)通道，所以注漿時(shí)應(yīng)避開聯(lián)絡(luò)通道，優(yōu)先對(duì)變形量較小的位置進(jìn)行注漿，取得相應(yīng)參數(shù)后，再對(duì)變形量較大區(qū)域進(jìn)行施工。

算法1（二階錐互補(bǔ)問題的牛頓法）

步驟2 求解方程組

3 收斂性分析

引理2若H(z)由式（8）定義，則有如下結(jié)論成立.

（i）H(z)在處連續(xù)可微，且雅克比矩陣為

其中

（ii）若F(x)：=Mx+q可微且單調(diào)，那么對(duì)任意μ ＞0 都有H′(z)可逆.

證明由引理1 和式（8）易證（i）成立，下面來證明（ii）. 對(duì)于任意的μ ＞0 ，定義∈R×Rn×Rn為滿足的任意向量. 下面證明根據(jù)式（9）及可知

根據(jù)式（11）和F單調(diào)性可得

由式（11）和式（12），式（13）可轉(zhuǎn)化為

利用Lxy=x°y，式（15）等價(jià)于

即

對(duì)上式兩邊同時(shí)取極限

上式等價(jià)于

由式（17）可知x?=y?=0. 所以僅在處為零，即可逆.

應(yīng)用上述引理2，就可以證明以下定理1和定理2. 由于證明方法和思路完全和文獻(xiàn)［12-13]中一致，這里只列出結(jié)果.

定理1［12]若滿足連續(xù)可微且單調(diào)，那么一定存在一z?的閉領(lǐng)域和一個(gè)常數(shù)使得對(duì)任意的和對(duì)所有的都有

成立，即算法1是可行的.

定理2［13]若滿足M是半正定的，且水平集有界則

由引理2再結(jié)合定理1、定理2可知，算法1是可行的且全局收斂.

4 數(shù)值實(shí)例

為了驗(yàn)證算法1的可行性和有效性，進(jìn)行如下數(shù)值實(shí)驗(yàn)，測(cè)試問題為尋找向量x∈Rn使得

其中M=NTN，矩陣N和向量q均隨機(jī)產(chǎn)生并且服從的均勻分布.

算法選取σ=10-4,γ=0.5,δ=0.5，取ηk=2-k容許誤差ε=10-10. 程序采用Matlab7.0.1 進(jìn)行編程. 取5個(gè)初始點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果見表1. 表1中 表示實(shí)驗(yàn)的維數(shù)，CUP 表示試驗(yàn)的時(shí)間，Gap 表示實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)的結(jié)果.

表1 不同維數(shù)的非精確光滑算法對(duì)隨機(jī)問題的試驗(yàn)結(jié)果

數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，固定初始點(diǎn)依次升高實(shí)驗(yàn)維數(shù)，由表1可以看出，算法1對(duì)測(cè)試的問題具有良好的數(shù)值表現(xiàn)，并且算法能夠處理較大規(guī)模具有稀疏性結(jié)構(gòu)的線性二階互補(bǔ)問題. 但此算法對(duì)求解非線性二階互補(bǔ)問題具有一定的局限性，在后續(xù)的研究工作中將重點(diǎn)探討非線性二階互補(bǔ)問題.