張紹華

【摘要】在運(yùn)用教材進(jìn)行教學(xué)的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)有一些練習(xí)題不容錯(cuò)過，值得深度開發(fā)，花上一節(jié)課的時(shí)間與學(xué)生們分享。這些題目是學(xué)生們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維的難點(diǎn)、觸發(fā)點(diǎn)和滲透點(diǎn)。用好這“一題”，以探究問題的策略為切入點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，開發(fā)為“一課”，讓一道題引領(lǐng)學(xué)生的思維再往前走一步。

【關(guān)鍵詞】一題一課 探究問題 策略

一、課程開發(fā)的背景

自學(xué)習(xí)10以內(nèi)加減法開始，學(xué)生就不斷接觸到這樣的組題（下稱“加減題組”）：

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生們慢慢能夠完整地表達(dá)出：第一個(gè)加的數(shù)是1，之后加的數(shù)比前一個(gè)大1，結(jié)果也一個(gè)比一個(gè)大1。后來只要學(xué)習(xí)了新的加減法計(jì)算（包括口算和筆算），從新授到練習(xí)再到復(fù)習(xí)，都會有機(jī)會接觸這樣的組題，但學(xué)生并沒有機(jī)會深入體會到加減法中的這些“規(guī)律”。

仔細(xì)翻翻教材（本文以蘇教版數(shù)學(xué)教材為例），類似的題目還真不少，下圖是一年級上冊總復(fù)習(xí)中的一道題（下稱“復(fù)習(xí)題”），當(dāng)時(shí)講解了，人人會做，可是之后再遇到這樣的問題或是稍有變式，很多學(xué)生便不知所措，也就是說，這道題的解答只給學(xué)生留下了答案，并沒有給學(xué)生留下方法與智慧。

于是，筆者將類似的這些題目挑選出來，開發(fā)為一節(jié)課，以期望發(fā)揮其更大的價(jià)值，引領(lǐng)學(xué)生的思維再往前走一步。

二、“一題”的選擇

教材中的練習(xí)題，其主要價(jià)值是知識的鞏固與運(yùn)用，適合開發(fā)為“一課”的題目畢竟是少數(shù)。那么如何將這些題目遴選出來呢？筆者主要從以下三個(gè)角度考慮：

1.學(xué)生思維的難點(diǎn)

“層次性”是練習(xí)題設(shè)計(jì)的基本特征之一，既然有層次性，那么總有習(xí)題成為一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。一年級的學(xué)生，解決問題的方式基本限于將所看到的條件進(jìn)行運(yùn)算，理解了一種排隊(duì)問題了，但以后遇到排隊(duì)問題的變式題，又無從下手了。所以雖然題目做過了，學(xué)生依然不懂不會，需要教師引導(dǎo)學(xué)生深入研究，真正獲得解決問題的方法和策略。

2.學(xué)生思維的觸發(fā)點(diǎn)

有些題目從知識的層面看并不難。例如四年級上冊有一道思考題（下稱“思考題”），按照教材的設(shè)計(jì)，學(xué)生只要畫一畫，觀察比較，找到其中的規(guī)律即可。但如果我們將問題的呈現(xiàn)改一下：平面上有50個(gè)點(diǎn) （任意3個(gè)點(diǎn)不在一條直線上） ，過其中兩點(diǎn)畫一條直線，最多可以畫多少條直線？通過對這個(gè)問題的研究，可以觸發(fā)學(xué)生對“解決復(fù)雜問題，可以從簡單想起”這一探究問題策略的體會，而不僅僅只是做了一道題、發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律。

有些題目的價(jià)值是多元的，如果能夠找到它對高階思維的觸發(fā)點(diǎn)，當(dāng)然不容錯(cuò)過。

3.學(xué)生思維的滲透點(diǎn)

根據(jù)“學(xué)習(xí)進(jìn)階”理論，學(xué)生對某一知識特別是核心的概念、知識以及實(shí)踐的認(rèn)知是一個(gè)不斷發(fā)展、完善、加深的過程，并不是在某一節(jié)課或是階段就能一步到位的。比如長方體、圓柱，從一年級開始就有了初步認(rèn)識，到后面還要進(jìn)一步認(rèn)識其特征、會計(jì)算其表面積和體積。一年級上冊有這樣一題（下稱“卷紙題”）：同樣一張長方形紙，可以卷出不同的柱體，然而它們的容積不同（如下圖）。容積雖是六年級的內(nèi)容，是否可以借此讓一年級的學(xué)生體會一下呢？這樣的滲透，會使學(xué)生有機(jī)會帶著對相關(guān)知識的思考期待下一階段的學(xué)習(xí)。

三、“一課”的開發(fā)

原本幾分鐘就解決的一道題，如何開發(fā)成一節(jié)課呢？結(jié)合現(xiàn)有的題目筆者嘗試以“探究問題的策略”為切入點(diǎn)進(jìn)行課程開發(fā)。下面簡述幾個(gè)片段，來談?wù)劰P者的設(shè)計(jì)思路與內(nèi)容開發(fā)。

1.四年級上冊“思考題”開發(fā)——從簡單想起

老子語：“天下難事，必作于易;天下大事，必作于細(xì)?！碑?dāng)面對復(fù)雜的問題無從下手時(shí)，不妨從簡單想起。

【案例】“從何想起”教學(xué)片段——一波三折 體會策略

初次嘗試：不知從何想起

師：算一算，積的個(gè)位數(shù)字是幾？

學(xué)生嘗試解答，并提出自己的困難：100個(gè)3相乘，乘數(shù)太多，算不完;積越乘越大，計(jì)算難度越來越大;一旦有一個(gè)積算錯(cuò)，就全白算了，很難保證能得到正確答案……

二次嘗試：嘗試從“幾個(gè)3”想起

師：面對這么多困難，這個(gè)問題到底該從何想起呢？誰能給點(diǎn)思路？

生（討論）：可以先算幾個(gè)3相乘看看，有沒有什么規(guī)律;題目只要求積的個(gè)位是幾，所以每次乘的時(shí)候，只要算積的個(gè)位就可以了……

（通過嘗試，學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題）

再次嘗試：大膽從簡單想起

師：如果把這里的3換成任意一個(gè)自然數(shù)，你都能得到答案嗎？

生：能！

師：我題目還沒出呢，你們哪來的底氣就說能呢？

生：不管是100個(gè)幾相乘，我們都可以先算幾個(gè)，找到規(guī)律就能求出答案了！

【思考：100個(gè)3相乘，課程剛開始就把學(xué)生難住了，很多學(xué)生算了一會就沒信心繼續(xù)了。也有學(xué)生執(zhí)著地算著，但也表示越算越難，還需要很多時(shí)間，一節(jié)課肯定算不完了。學(xué)生們被復(fù)雜的問題難倒了。當(dāng)然也有學(xué)生不甘于此，想著另辟蹊徑：先少算幾個(gè)看看能不能有什么規(guī)律。這次嘗試中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)算到第5個(gè)3，積的個(gè)位開始重復(fù)出現(xiàn)了，算到第8個(gè)3，兩組重復(fù)數(shù)出現(xiàn)了，據(jù)此規(guī)律，原來的難題便迎刃而解了。學(xué)生突然體會到，要解決復(fù)雜的問題，可以先從簡單的角度思考。當(dāng)教師提出“如果把這里的3換成任意一個(gè)自然數(shù)，你都能得到答案嗎？”學(xué)生信心滿滿，因?yàn)樗麄冇辛恕跋葟纳贁?shù)幾個(gè)算起”的好方法。】

解決新問題：方法遷移

平面上有50個(gè)點(diǎn) （任意3個(gè)點(diǎn)不在一條直線上），過其中兩點(diǎn)畫一條直線，最多可以畫多少條直線？

【思考：既然100個(gè)3相乘可以從“幾個(gè)3相乘”想起，那么過50個(gè)點(diǎn)畫直線也可以從“過幾個(gè)點(diǎn)畫直線”想起。學(xué)生在方法遷移的過程中，體會到 “從簡單想起”的策略。在應(yīng)用策略解決問題的過程中，不僅感嘆于“從簡單想起”的奇妙，也體會到之所以從簡單想起可以解決復(fù)雜問題，在于“規(guī)律”，從簡單中尋求規(guī)律，再運(yùn)用規(guī)律解決復(fù)雜的問題?！?/p>

2. 一年級上冊“卷紙題”開發(fā)——猜想→驗(yàn)證

就數(shù)學(xué)方法論的研究而言， 就有兩種不同的研究對象： 論證 （解決問題）的方法和猜測（發(fā)現(xiàn)問題）的方法。“猜想→驗(yàn)證”是我們探索新知常用的方法。

【案例】“誰裝得紅豆多”教學(xué)片段——“猜想→驗(yàn)證”之現(xiàn)場

現(xiàn)場一

當(dāng)這兩個(gè)圓柱放在學(xué)生們眼前，有的學(xué)生是憑感覺、通過觀察猜的。但更多的學(xué)生是經(jīng)歷了思考的：

生1：一樣多，因?yàn)橐粋€(gè)高，但它瘦;一個(gè)矮，但它胖。就是抵消了。

生2：我也覺得一樣多，但理由和她不一樣，我覺得把那個(gè)胖胖矮矮的往上擠一擠，就和那個(gè)高高瘦瘦的一樣了。

生3：它們都是用一樣的紙卷出來的，肯定一樣多。

……

【思考：是的，學(xué)生們的結(jié)論都是錯(cuò)的，可是他們的猜想是何等珍貴，生3的回答顯然是在進(jìn)行合情推理;“把那個(gè)胖胖矮矮的往上擠一擠”，這是等積變形的思想！當(dāng)學(xué)生用她最稚嫩、樸素的語言觸碰到數(shù)學(xué)的本質(zhì)、核心時(shí)，難道這不是最美妙的時(shí)刻嗎？現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)結(jié)果，令大多數(shù)學(xué)生不得其解。他們初嘗了一種滋味：即使已是理由充分，答案也許還是錯(cuò)的。恰恰是這樣的滋味讓學(xué)生們從對結(jié)果的期待與興奮，轉(zhuǎn)向靜靜地思考?！?/p>

現(xiàn)場二

當(dāng)學(xué)生們目睹了兩個(gè)圓柱的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，再討論兩個(gè)長方體時(shí)：

依然有學(xué)生說一樣多，但不少學(xué)生表示：應(yīng)該是第一個(gè)長方體裝得紅豆多，因?yàn)槲覀儎偛诺哪莻€(gè)實(shí)驗(yàn)，就是矮矮胖胖的圓柱裝得多，所以我想，現(xiàn)在也應(yīng)該是矮矮胖胖的長方體裝得多。

【思考：學(xué)生們根據(jù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果對自己原先的判斷進(jìn)行審視和調(diào)整。他們重視實(shí)驗(yàn)的價(jià)值，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行類比，這無疑又是一次理性思考的突破。】

現(xiàn)場三

師：這次你覺得哪個(gè)裝得紅豆多？

生1：應(yīng)該一樣多，它們一樣高，也一樣胖。

生2：我覺得長方體多一些，因?yàn)樗喑鏊膫€(gè)角。

生3：我也覺得一樣多，它們一樣高，你們再看，把它們倆對在一起，長方體多出了四個(gè)角，正好補(bǔ)在缺的那個(gè)彎彎的地方。

……

【思考：現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)結(jié)果再一次令多數(shù)學(xué)生大跌眼鏡：明明一樣高一樣胖了呀？在這次猜想中，學(xué)生們明顯更加謹(jǐn)慎、周到了。發(fā)言的學(xué)生還請求老師把兩個(gè)圖形對接在一起，然后指著圖形對大家說：“你們再看，把它們倆對在一起，長方體多出了四個(gè)角，正好補(bǔ)在缺的那個(gè)彎彎的地方?！庇纱丝梢钥闯觯瑢W(xué)生有了更加理性的思考?！?/p>

現(xiàn)場四

學(xué)生們已經(jīng)在以上兩個(gè)環(huán)節(jié)中成功地進(jìn)行了類比，但是當(dāng)最后一次討論，這兩個(gè)圖形（下圖左）哪個(gè)裝得紅豆多時(shí)，他們都能從前一次實(shí)驗(yàn)（下圖右）中得以類比，但還是呼吁：做實(shí)驗(yàn)！學(xué)生表示：我還是想看一下實(shí)驗(yàn)結(jié)果，才放心。

【思考：人們在科學(xué)探索中，何嘗不是如此，即使已是“嚴(yán)謹(jǐn)”“周密”的推理，但結(jié)論未必正確。學(xué)生們似乎隱隱覺察到這一點(diǎn)。這本身就是一種理性的思考，一種科學(xué)的精神。】

3.一年級上冊“復(fù)習(xí)題”開發(fā)——直觀畫圖

蘇教版數(shù)學(xué)教材中，“畫圖”的策略在四年級下冊才正式亮相，其實(shí)一年級的學(xué)生就已經(jīng)有“畫圖”需求了，因?yàn)閷W(xué)生的認(rèn)知特征，他們更需要用直觀的方式幫助自己理解問題、解決問題。

【案例】“調(diào)皮的‘1”教學(xué)片段

“1”躲躲閃閃——初試畫圖

第一題出來，有些學(xué)生無從下手：圖上“我”的后面明明只有5個(gè)人呀？還有的學(xué)生知道結(jié)果是9人，可是面對題目中的算式，不知該寫什么;全班有4個(gè)學(xué)生畫了圖。

于是教師展示了一個(gè)學(xué)生的圖：

師：誰能看懂他的圖？

生1：他用一個(gè)方框表示舉旗的小朋友，用8個(gè)圓圈表示后面的8個(gè)小朋友。

生2：可是書上明明只有5個(gè)小朋友?。?/p>

師：是啊，書上不是有圖嗎？畫得又好看，為什么這個(gè)小朋友還要畫圖呢？

生1：他的圖沒有書上漂亮，但它很清楚。

生2：書上，有些小朋友被大樹擋住了！而他畫的圖把8個(gè)小朋友都畫出來了。

【思考：一個(gè)“清楚”道出了畫圖的價(jià)值：能夠清楚地表達(dá)數(shù)量間的關(guān)系。學(xué)生們也意識到了數(shù)學(xué)中的畫圖與色彩、美觀等非數(shù)學(xué)元素?zé)o關(guān)，關(guān)鍵是要幫助我們理解數(shù)量間的關(guān)系。也正因?yàn)檫@個(gè)學(xué)生的圖，讓躲躲閃閃的“1”慢慢清晰地展現(xiàn)在學(xué)生們眼前?！?/p>

“1”清清楚楚——親近畫圖

第二題出來，這次，大部分學(xué)生都畫了圖：

師：這次，你們?yōu)槭裁炊枷犬媹D呢？

生1：畫圖，就能把大樹后面擋住的小朋友畫出來了。

生2：畫了圖，我就能看出，這個(gè)小男孩前面應(yīng)該有7個(gè)小朋友。

生3：大家看圖，就知道一共8人，減去說話的這個(gè)小男孩，就是他前面的7個(gè)人了。

【思考：這個(gè)環(huán)節(jié)，已無須教師過多地干預(yù)，學(xué)生們自覺畫圖，體會到了畫圖的好處，并能夠結(jié)合圖，將算式中減去的“1”弄得清清楚楚?！?/p>

“1”無處可逃——迷戀畫圖

第三題亮出，學(xué)生們便開始埋頭畫圖，只是這幅圖畫起來有些難度，學(xué)生們畫畫、數(shù)數(shù)，又想想再畫畫。

意想不到的事情發(fā)生了，學(xué)生們有多種解題方法：

方法一：4+1+7=12

方法二：5+8-1=12

方法三：4+8=12

方法四：5+7=12

并且對于每一種方法，學(xué)生們都能結(jié)合圖，清楚地說出算式的意義。

【思考：這次，學(xué)生們算是迷戀上畫圖了，不僅是獨(dú)立做題時(shí)在畫圖，列式時(shí)都在看圖，特別是后面當(dāng)小伙伴說出那么多種方法后，學(xué)生們都在仔細(xì)看圖，試圖從中找到算式的意義。當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)算式都能在圖中獲得合理的解釋時(shí)，感覺畫圖真好！】

意猶未盡一：

當(dāng)大家都在感嘆畫圖的好處時(shí)，一個(gè)學(xué)生一盆涼水澆下來：我不需要畫圖，也能把這題做出來！

師：你是怎么想的？

生：“從前往后數(shù)，第5只是小鹿”，那我就能想象出來小鹿前面站了4只小動物，它又說“從后往前數(shù)，第8只是小鹿”，我就能想象出來小鹿后面站了7只動物，所以4+1+7=12（只）。

（一片掌聲又一陣安靜）

終于有一個(gè)學(xué)生說：我知道了，他是在腦子里畫圖的！

意猶未盡二：

下課了，又有一個(gè)小姑娘追過來：要是后面不是8人，是很多很多人，怎么辦，畫起來太麻煩了。教師回答說：這確實(shí)是個(gè)問題哦，你能不能想想辦法。結(jié)果當(dāng)天家庭作業(yè)，她就給予了回應(yīng)（見下圖）。

作業(yè)講評時(shí)，筆者就問學(xué)生們：這樣畫圖行嗎？有什么好處？

學(xué)生：可以，她用數(shù)代替小圓圈，一樣看得清楚，以后要是數(shù)大了，用這個(gè)方法特別好。

【思考：至此，學(xué)生們已愛上了畫圖，可以在頭腦中畫一畫，也可以用筆畫一畫;可以用圖形表示，也可以用數(shù)據(jù)表示。他們在思考著，如何用更簡潔、更合理的方式理解和表達(dá)數(shù)量間的關(guān)系，從而順利地解決問題?！?/p>

4. 一年級上冊“加減題組”開發(fā)——多元表征

萊什認(rèn)為：學(xué)生必須同時(shí)具備以下條件才是真正理解了一個(gè)數(shù)學(xué)概念。第一， 他必須能將所學(xué)數(shù)學(xué)概念放入不同的表征系統(tǒng)之中;第二， 在給定的表征系統(tǒng)內(nèi)，他能夠很好地處理這個(gè)概念;第三，他必須很精確地將此概念從一個(gè)表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)表征系統(tǒng)中，即在不同表征系統(tǒng)之間任意切換。因此多元表征可以促進(jìn)學(xué)生對概念的理解。

【案例】 “加減法的秘密”教學(xué)片段

（1）多元表征，讓學(xué)生再思考

8+2=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8+4=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8+7=

當(dāng)學(xué)生順利完成口算，并發(fā)現(xiàn)“一個(gè)加數(shù)是8，另一個(gè)加數(shù)越來越大，和也越來越大?！苯處熖岢觯骸澳隳芟朕k法表示出這個(gè)發(fā)現(xiàn)嗎？可以講一講故事、擺一擺圓片，也可以畫一畫圖。”

來看看學(xué)生們的表征，他們盡可能地調(diào)動了自己的所有經(jīng)驗(yàn)：

講故事——現(xiàn)實(shí)情景表征

公交車上原來有8人，上來了2人，這時(shí)有10人;如果原來還是有8人，但上來了4人，就是12人;還是原來有8人，上來了7人，一共就是15人。原來都是8人，上來的人越多，車上的總?cè)藬?shù)就越多。

擺圓片——實(shí)物操作表征

學(xué)生說出擺圓片的過程，并強(qiáng)調(diào)：每組都是8個(gè)圓片，哪組增加的圓片越多，那么這組的圓片總數(shù)就越多。

畫圖——圖像表征

學(xué)生強(qiáng)調(diào)：每次都是8，加的數(shù)越大，和就越大，你們看，長方形都越來越長了！

符號表征

教師說：“我用‘——表示一個(gè)加數(shù)不變，用“↑”表示另一個(gè)加數(shù)越來越大，可以嗎？那么和也越來越大，怎么表示呢？”學(xué)生表示可以，并說和越來越大也用向上的箭頭表示。雖然不是學(xué)生主動選擇的，但他們接受了這樣的符號表征，因?yàn)樗麄冊诤髞淼慕涣髦校矔檬謩荼磉_(dá)箭頭方向，并在減法規(guī)律研究中，用“↓”表示越來越小。

【思考：對照萊什提出的數(shù)學(xué)概念外在表征的五種形式，每次學(xué)生都會說的“第一個(gè)加的數(shù)是1，第二個(gè)加的數(shù)比前一個(gè)大1，結(jié)果也一個(gè)比一個(gè)大1。”是口頭語言表征。可如果每次學(xué)生都停留在口頭語言表征層面，并不能代表也不能促進(jìn)學(xué)生真正理解概念?！氨破取彼麄冋{(diào)動已有經(jīng)驗(yàn)，嘗試多元表征，才能實(shí)現(xiàn)概念的真正理解。在上述環(huán)節(jié)中，我們看到，學(xué)生不僅能講故事，還能指出：“原來都是8人，上車的人越多，車上的總?cè)藬?shù)就越多。”擺圓片時(shí)強(qiáng)調(diào)“每組都是8個(gè)圓片，哪組增加的圓片越多，那么這組的圓片總數(shù)就越多?！碑媹D時(shí)強(qiáng)調(diào)“長方形都越來越長了！”不是流于形式的講、擺、畫，學(xué)生在表征時(shí)會積極處理這個(gè)概念?！?/p>

（2）表征轉(zhuǎn)換，促進(jìn)概念理解

當(dāng)學(xué)生交流了自己講的故事、擺的圓片后，教師指出：誰能把講故事和擺圓片結(jié)合起來，指著圓片說說公交車上的故事呢？于是學(xué)生一邊指著圓片，對應(yīng)地講著故事。

【思考：這是現(xiàn)實(shí)情景表征與實(shí)物操作表征的結(jié)合，也是轉(zhuǎn)換。事實(shí)證明，這種轉(zhuǎn)換能夠讓學(xué)生“更明白”。其實(shí)，之前學(xué)生擺圓片時(shí)強(qiáng)調(diào)的“每組都是8個(gè)圓片，哪組增加的圓片越多，那么這組的圓片總數(shù)就越多?！边@句話更接近口頭語言表征，學(xué)生已經(jīng)在自覺地將其與實(shí)物操作表征進(jìn)行轉(zhuǎn)換了。在后面的環(huán)節(jié)中，學(xué)生進(jìn)行圖像表征時(shí)，也會自覺地將其與現(xiàn)實(shí)情景表征（講故事）或口頭語言表征（強(qiáng)調(diào)“每次都是8，加的數(shù)越大，和就越大，你們看，長方形都越來越長了！”）或是符號表征（用手勢畫箭頭）等多種表征進(jìn)行轉(zhuǎn)換?！?/p>

在“一題一課”的課程實(shí)踐中，筆者看得到學(xué)生們的成長。比如，當(dāng)他們面臨新難題時(shí)，雖然不能確定是否能解決問題，但一定會有信心進(jìn)行各種嘗試：從簡單想起、畫一畫圖或是舉一些例子看看。在平時(shí)，只要遇到題組練習(xí)，就會忍不住多想一想：有什么特點(diǎn)、什么規(guī)律、為什么會有這樣的規(guī)律…… “一題一課”的課程開發(fā)還在探索與實(shí)踐的路上，這一路上，師生相伴一起感受著數(shù)學(xué)的魅力，分享著思考的快樂。