陳 暉， 劉志兵,2， 王西彬,2

(1.北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院, 北京 100081；2.北京理工大學(xué) 先進(jìn)加工技術(shù)國防重點實驗室，北京 100081)

精密孔類零件是工業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用最廣泛的零部件之一，廣泛應(yīng)用于航空、航天、汽車、軍工、船舶、石油、冶金等精密制造行業(yè). 軸線直線度誤差是孔類零件的一項重要指標(biāo)，影響零部件的工作性能、裝配精度與使用壽命，必須嚴(yán)格控制精密孔類零部件的軸線直線度誤差. 隨著精密制造行業(yè)對孔類零件的軸線直線度誤差的控制要求越來越高，對誤差評定方法的精度也提出越來越嚴(yán)格的要求.

軸線直線度誤差屬于空間直線度誤差. 對于空間直線度誤差評定，國家標(biāo)準(zhǔn)提出3種基本方法[1]：兩端點連線法、最小二乘法和最小區(qū)域法. 其中最小區(qū)域法符合空間直線度誤差的定義，但是對于“最小區(qū)域”的求解，國家標(biāo)準(zhǔn)卻沒有給出具體的方法. 近年來，國內(nèi)外的研究重點聚焦于通過確定最小區(qū)域來求解空間直線度誤差.

為擬合空間直線，胡仲勛[2]與王炳杰[3]提出了三維最小二乘法，從本質(zhì)上克服了最小二乘法的理論缺陷，實現(xiàn)真正的三維擬合，有效提高了求解精度；Ding等運(yùn)用切比雪夫理論[4]與半定規(guī)劃理論[5]擬合空間直線，實現(xiàn)對空間直線度誤差評定；Samuel等[6]通過構(gòu)建測點集的外凸包確定了包容區(qū)域；Dhanish等[7]與Endrias等[8]對參考點組合迭代計算，得到最小區(qū)域的控制點組合. 利用投影可將空間問題簡化為平面問題，降低求解難度. 黃富貴等[9]將任意方向上直線度誤差的評定問題轉(zhuǎn)化為給定平面內(nèi)直線度誤差與圓度誤差的評定問題；Cheraghi等[10]將空間直線度問題轉(zhuǎn)化為平面求解最小外接圓問題；為了提升投影法的評定精度，羅鈞等[11]根據(jù)投影面重合點數(shù)目的不同提出了不同的包容圓求解方法；張新寶等[12]針對兩點在包容圓上的分布情況，旋轉(zhuǎn)圓柱體軸線得到了更精確的空間直線度誤差評定值. 近年來，智能優(yōu)化算法在形位精度誤差評定中的應(yīng)用日益廣泛. 粒子群算法[13-14]、遺傳算法[15]、蜂群算法[16]等智能算法相繼被運(yùn)用到空間直線度誤差評定中，這些算法的結(jié)果通常受到目標(biāo)函數(shù)形式與初始參數(shù)選擇的影響.

傳統(tǒng)投影法是將測點向垂直于最小二乘中線的中垂面投影，將空間問題轉(zhuǎn)化為圓度評定問題[11]. 不同于傳統(tǒng)投影法，本文將測點向空間坐標(biāo)系o-xyz的垂直面(yoz面或xoz面)投影，考慮到直接投影會遺漏控制點的問題，提出一種旋轉(zhuǎn)投影法評定軸線直線度誤差. 通過對測量點進(jìn)行齊次坐標(biāo)變換與旋轉(zhuǎn)投影，將空間直線度評定轉(zhuǎn)化為平面直線度問題，從而實現(xiàn)快速準(zhǔn)確的誤差評定.

1 測量點的旋轉(zhuǎn)投影

1.1 軸線直線度誤差模型

圖1為軸線直線度誤差模型示意圖，圖中實際直線指被測實際直線，測點指被測實際直線上的采樣點，理想直線由測點擬合得到. 軸線直線度誤差屬于空間直線度誤差，指被測直線相對于其理想直線在任意方向上存在的變動量. 國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，空間直線度誤差值等于包絡(luò)所有誤差測點的最小圓柱面的直徑[1]. 理想直線L由最小原則確定，設(shè)直線L的方向向量為(l,m,n)，通過點(a,b,c)，該直線的方程可以表示為

(1)

其中直線參數(shù)l,m,n,a,b,c為需要確定與優(yōu)化的變量. 測點與理想直線的距離表示為

(2)

ri的最大值即為包容所有測點圓柱面的圓柱半徑，該半徑的2倍即為所求空間直線度誤差. 包容所有測點的圓柱面的數(shù)量很多，其中具有最小直徑的圓柱面即為最小區(qū)域. 求解最小區(qū)域的過程是一個復(fù)雜的非線性優(yōu)化過程[9].

圖1 軸線直線度誤差模型Fig.1 Model of axis straightness error

通過投影的方式可以將空間誤差評定問題轉(zhuǎn)化為平面誤差評定問題，簡化求解難度. 在平面上求解包絡(luò)所有測點的最小區(qū)域的值，即為空間直線度誤差值，位于包容區(qū)域邊界上的測點稱為控制點. 但是，投影過程必然會丟失一些測點之間的空間幾何關(guān)系，如何減少誤差，獲得更為精確的最小區(qū)域是投影法面臨的難點之一.

1.2 齊次坐標(biāo)變換

為便于后續(xù)誤差評定，將測點由坐標(biāo)系o-xyz向坐標(biāo)系o′-x′y′z′轉(zhuǎn)化，使最小二乘中線經(jīng)過坐標(biāo)系o′-x′y′z′的原點，并與z′軸重合. 設(shè)測點最小二乘中線的方向向量(l,m,n)，通過點(a,b,c)，則齊次坐標(biāo)變換公式為

[x′,y′,z′,1]=[x,y,z,1]·Rt·Rx·Ry,

(3)

其中

α與β為最小二乘中線與坐標(biāo)平面的夾角，其中

齊次坐標(biāo)變換的示意圖如圖2所示.

圖2 齊次坐標(biāo)變換Fig.2 Homogeneous coordinate transformation

1.3 旋轉(zhuǎn)投影

齊次坐標(biāo)變換后測點的分布如圖3所示.

圖3 坐標(biāo)變換后測點分布Fig.3 Measuring point distribution after coordinate transformation

如圖4所示，若直接將測點向y′o′z′平面投影，當(dāng)測點與其最小二乘中線上垂足的連線和y′o′z′平面的角趨近90°時，無論測點與中線距離長短，投影點始終會在z′軸附近，這類測點的距離關(guān)系無法在投影點中體現(xiàn)，稱為投影抑制點.

圖4 直接投影法誤差分析Fig.4 Error analysis of direct projection method

在y′o′z′投影面上，抑制點的投影點被其他測點的投影點包圍. 評定最小包容區(qū)域時，抑制點不會成為控制點. 若抑制點集中某測點與中線的距離大于其他測點，該測點應(yīng)成為控制點，但是直接投影法無法求解. 因此，直接將測點向y′o′z′平面投影會遺漏控制點組合，影響評定結(jié)果的精度.

為全面反映測點的分布情況，需要同時將測點向x′o′z′平面投影，最后擬合兩個平面的評定結(jié)果，從而得到空間直線度誤差值. 直接投影法需要兩次投影，增加了計算量并且擬合過程引入的評定誤差會影響評定精度[2].

旋轉(zhuǎn)投影法將測點繞最小二乘中線旋轉(zhuǎn)投影到y(tǒng)′o′z′平面上，僅需一次投影就能得到包容所有測點的最小區(qū)域，如圖5所示.

圖5 旋轉(zhuǎn)投影Fig.5 Rotating projection

圖5中，θi為測點i與其在最小二乘中線上垂足的連線與y′o′z′平面的夾角，采用旋轉(zhuǎn)投影法，將各測點繞z′軸旋轉(zhuǎn)角度θi，使各個測點落在y′o′z′平面上，轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)表示為

[x′′,y′′,z′′,1]=[x′,y′,z′,1]·

(4)

旋轉(zhuǎn)投影后各測點的分布如圖6所示. 通過旋轉(zhuǎn)投影，各測點與最小二乘中線的距離關(guān)系被保留下來并轉(zhuǎn)換到y(tǒng)′o′z′平面，軸線直線度誤差評定問題轉(zhuǎn)化為平面直線度評定問題，包容平面測點的兩平行直線的距離即為軸線直線度誤差值.

2 直線度誤差評定

為便于后續(xù)誤差評定，z′軸與y′軸分別作為平面坐標(biāo)系的X軸與Y軸，組成平面坐標(biāo)系XOY，在XOY平面進(jìn)行誤差評定，評定流程圖如圖7所示.

圖6 旋轉(zhuǎn)投影后坐標(biāo)分布Fig.6 Coordinates distribution after rotating projection

圖7 評定流程圖Fig.7 Flow chart of evaluation

在測量點中任選3個點作為控制點，其坐標(biāo)分別為(X1,Y1)，(X2,Y2)，(X3,Y3)，求解控制點確定的控制線的直線方程，如圖8所示.

圖8 控制點與控制線Fig.8 Control point and control line

按式(5)計算控制點與控制線的垂直偏差d.

(5)

其中，λ1=X3-X2，λ2=X1-X3，λ3=X2-X1.

按式(6)計算控制線對應(yīng)點的縱坐標(biāo)

(6)

得到控制線經(jīng)過的三點坐標(biāo)為(X1,Y1′)，(X2,Y2′)，(X3,Y3′)，按式(7)計算控制線的斜率k與截距b.

(7)

計算各測量點到控制線的距離di.

(8)

di的正負(fù)號反映測量點與控制線的位置關(guān)系. 符號為正表示測量點在控制線上側(cè)，符號為負(fù)表示測量點在控制線下側(cè).

式(8)計算得到的結(jié)果中，距離絕對值的最大值記為|dmax|，對應(yīng)的點坐標(biāo)為(Xdmax,Ydmax)；控制點到控制線距離的絕對值記為|dc|. 若|dmax|>|dc|，則|dmax|對應(yīng)的測量點加入控制點點集，并從原控制點中去除多余的點，如圖9所示.

圖9 控制點加入與去除Fig.9 Control point addition and removal

被去除的點序號按式(9)～(10)來計算.

(9)

令c3=1，計算三點的距離比例系數(shù)q1，q2，q3.

(10)

若sign(d)·dmax>0，則距離比例系數(shù)最小的點被去除，相反，去除距離比例系數(shù)最大的點. 去除多余點后，根據(jù)3個新控制點的坐標(biāo)，重復(fù)上述步驟，直至|dmax|=|dc|. 由控制線方程的計算過程可知，每次迭代的控制點都滿足最小區(qū)域的“高低高”或“低高低”準(zhǔn)則，因此當(dāng)|dmax|=|dc|時，可以認(rèn)為該控制線確定的區(qū)域即為包容平面測點的最小區(qū)域，此時軸線直線度誤差f=2|dmax|，如圖10所示.

圖10 直線度誤差評定結(jié)果Fig.10 Evaluation result of straightness error

3 實驗分析

為驗證旋轉(zhuǎn)投影法的有效性與準(zhǔn)確性，根據(jù)上述原理編寫誤差評定程序. 采用軟件為Matlab 2017b，電腦操作系統(tǒng)為win10，處理器為Intel i5-7400 CPU@3.00 Hz，安裝內(nèi)存為8.00 GB，系統(tǒng)類型為64位. 采用文獻(xiàn)[11]的空間測量點數(shù)據(jù)，便于與不同評定算法進(jìn)行比較.

測點數(shù)據(jù)經(jīng)過坐標(biāo)變換與旋轉(zhuǎn)投影后，在XOY平面的坐標(biāo)如表1所示.

表1 空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后測量點的投影坐標(biāo)

Tab.1 Projection coordinates of measuring points after transformation of space coordinates mm

測點序號XY測點序號XY1-245.124-0.001 28818.8560.001 472-207.412-0.002 02956.5650.003 763-169.6970.005 921094.2760.003 204-131.991-0.001 9211131.9870.003 425-94.279-0.001 2912169.7040.004 866-56.569-0.002 3513207.4150.004 657-18.8520.005 9214245.1210.004 06

每次循環(huán)計算的控制點序號如表2所示.

表2 每次循環(huán)的控制點序號Tab.2 Control point number for each cycle

由表2中的數(shù)據(jù)可知，每經(jīng)歷一次循環(huán)，距離最大值對應(yīng)的測量點都加入到控制點點集，多余點按第3節(jié)所述計算方法被去除. 5次循環(huán)后，確定最小區(qū)域控制點. 此時各測點與控制線的距離di如表3所示.

表3 測點與控制線的距離

Tab.3 Distance between measuring points and control line μm

測點序號距離測點序號距離13.8488-0.39124.37794.6253-3.781103.85943.851113.86053.00512-4.62563.85313-4.6257-4.625143.865

由表3的數(shù)據(jù)可知，第7、9、12、13點與控制線距離值最大，為4.625 μm，其中，7、9、13點為計算得到的控制點. 由表中數(shù)據(jù)可知，這3點符合“低高低”的最小區(qū)域準(zhǔn)則，因此可以證明該方法的評定結(jié)果是有效的，直線度誤差評定結(jié)果為9.25 μm.

除去控制點點集，第12點同樣具有最大距離. GB/T 11336-2004規(guī)定，包容空間測點的最小圓柱區(qū)域有3個點在圓柱面上，4個點在圓柱面上和5個點在圓柱面這3種類型，文獻(xiàn)[11]數(shù)據(jù)即屬于4個點在包容圓柱面上的類型.

為驗證旋轉(zhuǎn)投影法的準(zhǔn)確性，將評定結(jié)果與其他方法的評定結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如表4所示.

表4 不同算法直線度誤差評定結(jié)果

Tab.4 Evaluation results of straightness error by different methods μm

評定算法評定值LSM18.10兩端點連線法34.00遺傳算法26.00LSABC11.803DLSA13.503PHFA[11]9.97逼近最小包容圓柱法[12]9.96本文方法9.25

當(dāng)用最小包容區(qū)域準(zhǔn)則評定直線度誤差時，在滿足最小區(qū)域的前提下，評定結(jié)果越小越接近實際最小包容區(qū)域[12]. 由表4的數(shù)據(jù)可知，在包容所有測點的前提下，本文方法的評定值最小. 結(jié)果表明：相比其他方法，旋轉(zhuǎn)投影法可以得到更為精確的直線度誤差值.

為更加全面分析旋轉(zhuǎn)投影法，參考不同文獻(xiàn)來源，將旋轉(zhuǎn)投影法與相對應(yīng)文獻(xiàn)內(nèi)的算法進(jìn)行擴(kuò)展對比分析，結(jié)果如表5所示.

表5 不同數(shù)據(jù)來源評定結(jié)果Tab.5 Evaluation results from different data sources

由表5數(shù)據(jù)可知，在處理不同的數(shù)據(jù)時，旋轉(zhuǎn)投影法的評定結(jié)果均能保持較好的精度，計算時間在0.1 s以內(nèi)，綜合前文所述，本方法能夠應(yīng)用在孔類零件軸線直線度誤差評定等工程領(lǐng)域.

4 結(jié) 論

為精確計算軸線直線度誤差值，滿足精密制造業(yè)對孔類零件軸線直線度誤差的控制要求，本文提出一種旋轉(zhuǎn)投影的誤差評定方法. 通過齊次坐標(biāo)變換與旋轉(zhuǎn)投影，測量點圍繞最小二乘中線做旋轉(zhuǎn)投影轉(zhuǎn)換到同一平面，保留了測點之間的距離關(guān)系，避免了直接投影遺漏控制點組合的問題，在平面上實現(xiàn)對軸線直線度誤差的評定. 本方法無需復(fù)雜的非線性優(yōu)化求解過程，計算量小. 計算結(jié)果表明，在符合最小區(qū)域要求的前提下，本文方法的評定結(jié)果優(yōu)于其他算法，能夠用于精密制造行業(yè)孔類零件的直線度誤差數(shù)據(jù)評定. 此外，本方法更可拓展用于軸類等回轉(zhuǎn)體零件誤差評定，具有較高理論與實際應(yīng)用價值.