李玲鋒 成冬元 黃蘭妹

在2019年廣西普通高中數(shù)學(xué)關(guān)鍵問題教學(xué)設(shè)計主題教研暨優(yōu)質(zhì)課評比活動中，來自不同地區(qū)的兩名教師同課異構(gòu)《角的概念的推廣》（人教A版必修4三角函數(shù)1.1.1），優(yōu)點和不足之處驚人相似.這不由得引發(fā)了我們的深思：高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，究竟應(yīng)該是“順應(yīng)”學(xué)生的思維，還是“順著”課前的教學(xué)設(shè)計“順利”地走完流程呢？本文將基于本次活動中二等獎第一名的該課例教學(xué)，談?wù)勎覀儗Ω咧袛?shù)學(xué)概念教學(xué)的思考.

一、課例實施過程回顧及評析

（一）創(chuàng)設(shè)情境，以舊引新

師：同學(xué)們喜歡看奧運會嗎？下面我們一起來回顧幾個精彩片段，請看視頻.（師播放視頻）在剛才的視頻中，解說員說了幾個數(shù)據(jù)？

生：540°，1 080°，后曲兩周.

師：這是體操運動員在翻轉(zhuǎn)過程中形成的角的度數(shù).大家回想一下，在初中我們是如何定義角的？角的范圍有多大？

生：由公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角，角的范圍是[0°～360°].

師：（問題1）初中我們學(xué)過的角一般不超過360°，而實際生活中有很多角超過了360°，你能舉出生產(chǎn)生活中其他大于360°的角嗎？

生：電風(fēng)扇旋轉(zhuǎn)、車輪旋轉(zhuǎn)、摩天輪旋轉(zhuǎn)、齒輪旋轉(zhuǎn)等.

教師展示生活化的幻燈片圖片（略），提示圖片中的“這些角”都是在運動過程中形成的.很明顯，初中所學(xué)角的定義已經(jīng)不能滿足實際生活的需要，高中數(shù)學(xué)有必要將角的概念進行推廣（板書課題：角的概念的推廣）.

點評：創(chuàng)新情境，制造認知沖突，讓學(xué)生體驗新知產(chǎn)生的過程、感受數(shù)學(xué)來源于生活.執(zhí)教教師通過大量實例讓學(xué)生認識到初中所學(xué)角的定義和范圍的局限性，順勢引出高中數(shù)學(xué)角的概念的推廣.

（二）探究問題，建立概念;數(shù)形結(jié)合，研究概念

1.任意角的概念

師：（問題2）用初中所學(xué)角的知識能否解決以下問題？（課件出示問題：①表慢了5分鐘，如何將它校準，此時分針應(yīng)該旋轉(zhuǎn)多少度？②鐘表快了1.25小時，如何將它校準，此時分針應(yīng)該旋轉(zhuǎn)多少度？）哪位同學(xué)上臺來幫忙校準鐘表？（學(xué)生上講臺演示校準鐘表）這位同學(xué)在校準鐘表的過程中，分針發(fā)生了怎樣的變化？

生：慢5分鐘，可順時針旋轉(zhuǎn)30°;快1.25小時，可逆時針旋轉(zhuǎn)[450°].

師：這位同學(xué)在兩次校準鐘表的過程中，分針的旋轉(zhuǎn)所形成的角有什么不一樣嗎？

生：大小和方向不一樣.

師：（問題3）通過這個實驗，你們覺得我們還可以從哪個方面來描述角？

生：旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)大小.

師：既然可以從旋轉(zhuǎn)方向來描述角，那么我們?nèi)绾螐男D(zhuǎn)的角度來給角下定義呢？（師板書角的定義，見圖1相關(guān)內(nèi)容）

師：（問題4）現(xiàn)在，我們對角有了兩種定義.請問初中定義的角和高中定義的角有什么區(qū)別？

生：初中所學(xué)角的范圍是[0°～360°]，高中所學(xué)角的范圍是任意角;初中所學(xué)的角不旋轉(zhuǎn)，高中所學(xué)的角是旋轉(zhuǎn)而來的.

師：初中的角是靜態(tài)角，高中的角是動態(tài)角.下面我們通過幾何畫板演示角的生成……

接下來，執(zhí)教教師一邊演示一邊講解，間或板書任意角有關(guān)概念（如圖1相關(guān)內(nèi)容），指出正角、負角只是表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量，正、負規(guī)定純屬習(xí)慣，并舉出一兩個角作圖示范，如60°角、-240°角、390°角.再利用幾何畫板演示正角、負角的形成過程，一個是逆時針旋轉(zhuǎn)，一個是順時針旋轉(zhuǎn)，正角可以無限大，負角可以無限小，從而將角擴展為任意角.最后強調(diào)三點：①在不引起混淆的前提下，“角[α]”或“[∠α]”可以簡記為“[α]”;②零角的終邊與始邊重合，如果[α]是零角，則[α]=0°;③角的概念經(jīng)過推廣后，包括正角、負角和零角.

點評：執(zhí)教者創(chuàng)設(shè)情境引發(fā)探究，首先讓學(xué)生從旋轉(zhuǎn)量與旋轉(zhuǎn)方向來描述，然后再引導(dǎo)學(xué)生與初中所學(xué)知識進行對比，并運用幾何畫板讓學(xué)生直觀體驗角由旋轉(zhuǎn)而成且有正負之分、角既可以無限大也可以無限小，讓學(xué)生一方面從運動的角度重新認識了角，另一方面加深了對任意角的概念及角的分類的認識.值得一提的是，當學(xué)生提出可以從“旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)大小”兩個方面去描述角的時候，教師如能適時追問“你認為刻畫這些角的關(guān)鍵是什么？”“如果把旋轉(zhuǎn)中心作為角的頂點，如何表示不同的旋轉(zhuǎn)方向呢？”“為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋轉(zhuǎn)方向，可以作出怎樣的規(guī)定？”“如果射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，它還能形成一個角嗎？”，便可以“順應(yīng)”學(xué)生的思維，自然地引出角的一系列概念，從旋轉(zhuǎn)方向?qū)С鲂D(zhuǎn)量，從而將學(xué)生的自主探究引向深入，進一步引發(fā)學(xué)生的認知沖突，讓學(xué)生“自主發(fā)現(xiàn)”正角、負角、零角與旋轉(zhuǎn)方向的關(guān)系，并能利用任意角的定義來重新回答問題3中的情境問題.

2.象限角的概念及擴充

師：（問題5）為了討論問題的方便，我們常在直角坐標系中討論角.如果把角放在直角坐標系中，那么怎樣放既方便又合理？

生：把角的頂點放在原點上.

師：在直角坐標系中表示角，對角的頂點和始邊有什么要求嗎？

生：頂點與坐標原點重合，始邊與非負半軸重合.

師：（追問）角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角（課件呈現(xiàn)象限角概念及相關(guān)判斷題，如圖2），如60°角、210°角、-240°角（演示動畫，以同一條射線為始邊，在坐標系中畫出所列舉的角;之后讓學(xué)生判斷圖2中的練習(xí)題，學(xué)生順利作答）.那90°角呢？

生：不屬于任何象限，不是象限角.

師：角的終邊落在坐標軸上，此角不屬于任何象限，這種角稱為軸線角，如90°角、-90°角.你還能舉出其他的軸線角嗎？

生：0°角、180°角、270°角、360°角……

點評：對角的概念進行推廣，讓學(xué)生進一步理解象限角的概念，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力，強化數(shù)形結(jié)合思想，為下面引出“終邊相同的角”做鋪墊.

3.終邊相同的角

師出示問題，要求學(xué)生獨立、規(guī)范作圖，完成練習(xí)2（如圖3）;學(xué)生獨立思考，小組討論;教師選擇學(xué)生代表作答，投影學(xué)生作品并點評，指出學(xué)生作圖中的問題，并小結(jié)“象限角只能反映角的終邊所在的象限，不能反映角的大小”，于是引出終邊相同的角.

師：（問題6）觀察在直角坐標系中第一組角的終邊，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：終邊再轉(zhuǎn)一圈、兩圈，又可以回到-32°角這個位置.

師：（問題7）從形上看它們終邊相同，從數(shù)量上來看，這些角有什么關(guān)系嗎？

生：（學(xué)生討論后，小組代表作答）與-32°角終邊相同的所有角，在數(shù)量上都與這個角相差360°的整數(shù)倍.

師：（投影展示學(xué)生討論結(jié)果并追問）你能用一個式子來表示與-32°角終邊相同的所有角嗎？

生：-32°+[k]·360°，[k∈Z].

師：非常好，謝謝這位同學(xué)?。ㄍｎD）這樣的角有多少個？

生：無數(shù)個.

師：（問題8）如何用集合表示與-32°角終邊相同的所有角？

生：[S={β | β=-32°+k·360°，k∈Z}].（師用幾何畫板給學(xué)生演示相關(guān)答案，如圖4）

師：（問題9）那所有與60°角終邊相同的角的集合如何表示？所有與[α]角終邊相同的角的集合如何表示？

生：把式中的-32°改為60°或[α].

在師生的交互中，終邊相同的角的概念呼之欲出.所有與角[α]終邊相同的角，連同角[α]在內(nèi)，可以構(gòu)成一個集合：[S={β | β=α+k·360°，k∈Z}]，即任一與[α]角終邊相同的角，都可以表示成角[α]與整數(shù)個周角的和.然后師生共同分析終邊相同的角的概念需要注意的問題，強調(diào)三點：（1）[k∈Z].（2）[α]是任意角.（3）終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同;終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍.

點評：執(zhí)教者讓學(xué)生通過作圖感受角的形成及角的終邊位置，從中引出終邊相同的角的概念;通過交流討論可以從形和數(shù)上描述與-32°角終邊相同的所有角，發(fā)現(xiàn)終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍的規(guī)律;通過用幾何畫板演示，讓學(xué)生進一步體會終邊相同的角周而復(fù)始的變化規(guī)律，進而歸納出終邊相同的角的表示方法，初步認識用集合表示終邊相同的角需要注意的幾個問題.以上教學(xué)過程層次清晰，有機地滲透了數(shù)形結(jié)合的思想以及從特殊到一般、從具體到抽象的歸納思想，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察和邏輯推理能力.

（三）概念應(yīng)用，拓展創(chuàng)新

教師課件出示教材中的例1（在[0°～360°]范圍內(nèi)，找出與[-950°12′]角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角），引導(dǎo)學(xué)生分析討論找到[k]值的方法，學(xué)生嘗試演算后作答.

生：[129°48′=-950°12′+3×360°].所以在[0°～360°]范圍內(nèi)，與[-950°12′]角終邊相同的角是[129°48′]，它是第二象限角.

于是教師示范解題步驟（略）.

在拓展創(chuàng)新環(huán)節(jié)，教師給出變式1（寫出與100°角終邊相同的角的集合[S]，并把[S]中在[-360°～720°]范圍內(nèi)的角寫出來），讓學(xué)生自行解決;學(xué)生展示答案，教師適時點撥.

之后是出示例2（寫出終邊在[y]軸上的角的集合[S]）.教師引導(dǎo)學(xué)生先在[0°～360°]中找到滿足條件的角，再寫出終邊在[y]軸上的角的集合.兩個學(xué)生給出了兩個答案，生1的答案是[S={β | β=90°+k·360°，k∈Z}]，生2的答案是[S={β | β=][270°+k·360°，k∈Z}].教師再次點撥：集合化簡的目標是形式上統(tǒng)一，以上兩個集合求并集的關(guān)鍵是把270°改寫成[90°+180°].

點評：概念應(yīng)用，一是從靜態(tài)角度鞏固理解“終邊相同的角”的表示方法，二是從動態(tài)角度體會角的終邊旋轉(zhuǎn)180°后得到[α=90°+k×180°（k∈Z）]的過程，運用了由形到數(shù)、由數(shù)到形的數(shù)形結(jié)合思想方法，順利突破了教學(xué)難點，很好地順應(yīng)了學(xué)生的思維.

（四）課堂小結(jié)，課后作業(yè)

在課堂的最后，教師本想引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)“本課學(xué)習(xí)了角的哪些相關(guān)知識”，在學(xué)生短暫語滯后，便自行總結(jié)包括任意角的概念，正角、負角、零角、象限角、軸線角的定義，終邊相同的角及其表示等相關(guān)知識了;最后是布置課后作業(yè)（過程略）.

二、總評及概念教學(xué)的深度思考

如何讓概念教學(xué)的過程由抽象變具體、由枯燥變生動，使學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)概念，這是當前中小學(xué)數(shù)學(xué)教師必須認真思考的問題.在上面的課堂教學(xué)中，教師通過創(chuàng)設(shè)問題情境，以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生展開學(xué)習(xí)過程，問題導(dǎo)學(xué)特征明顯：從反思初中所學(xué)角的定義的局限性，激發(fā)學(xué)生擴充角的定義的欲望，進而得出任意角的概念，再在探究研究角的方法的過程中發(fā)現(xiàn)角的終邊重復(fù)出現(xiàn)的特點，最終在直角坐標系中得到象限角和終邊相同的角的表示方法，一步一步地將學(xué)生引入本節(jié)知識的核心內(nèi)容，整個教學(xué)設(shè)計自然、流暢.但是，執(zhí)教者因過度關(guān)注課堂進程能否按預(yù)設(shè)順暢進行、能否在規(guī)定時間內(nèi)完成課前預(yù)設(shè)，導(dǎo)致課堂教學(xué)多個環(huán)節(jié)有意無意地忽略了學(xué)生真實的思維狀態(tài)，教師以自己內(nèi)心深處的有序思維“順走了”學(xué)生的無序思維.我們認為，課堂教學(xué)尤其是概念課教學(xué)順應(yīng)學(xué)生思維，是2017年版高中課標要求的發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn).

根據(jù)皮亞杰的觀點，順應(yīng)是主體的圖式不能同化客體，必須建立新圖式或調(diào)整原有圖式，引起圖式的質(zhì)的變化，使主體適應(yīng)環(huán)境的過程.在課堂教學(xué)中，我們倡導(dǎo)教師順應(yīng)學(xué)生的思維展開教學(xué)，確保學(xué)生最終都能夠用數(shù)學(xué)的方式去發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，從中發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).本課教學(xué)在順應(yīng)學(xué)生思維方面，需要努力做到以下幾點.

第一，尊重學(xué)生的思維現(xiàn)狀.本課問題導(dǎo)學(xué)特征十分明顯，但是，面對學(xué)生在課堂教學(xué)中各種始料不及的反應(yīng)或作答，教師應(yīng)尊重學(xué)生的思維現(xiàn)狀，通過洞察學(xué)生的思考過程，敏銳地捕捉到稍縱即逝的課程資源并對這些資源進行合理、有效的挖掘，讓自己的問題更能體現(xiàn)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的學(xué)科教學(xué)要求，進而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會積極、主動、有建設(shè)性地思考.比如在本課“數(shù)形結(jié)合、概念深化”環(huán)節(jié)，當教師與學(xué)生共同校準鐘表后，教師不應(yīng)硬拉著學(xué)生給出角的定義，而應(yīng)順應(yīng)學(xué)生的思維，有梯度地展開追問（見上文點評），這樣才能更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維.置學(xué)生的思維現(xiàn)狀于不顧，生拉硬扯地往預(yù)設(shè)環(huán)節(jié)上走，長此以往，必然會消磨學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，泯滅學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的智慧，阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功體驗.

第二，留給學(xué)生思考的空間.楊振宇教授在對比中美學(xué)生的差異時談道：“中國學(xué)生學(xué)得多，悟得少;美國學(xué)生則學(xué)得少，悟得多.”剖析其中的原因，我們認為是我們的教學(xué)把課堂塞得過滿，學(xué)生根本沒有時間去體悟自己所學(xué)的東西.要學(xué)生悟，就要給學(xué)生一些啟發(fā)、一些思考的余地和能夠自由控制的時間[1].目前我們的教學(xué)現(xiàn)狀基本上還是教師講、學(xué)生練，也就是學(xué)生學(xué)得多、悟得少，教師為了完成教學(xué)任務(wù)總是用自己的思考替代學(xué)生的思考.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個充滿價值判斷的過程，學(xué)生面臨困難時，首先有一段含有價值判斷的“嘗試推理，窺測方向”，然后才是帶著一定邏輯意義的行為，并用可以言傳的方式表達出來.比如本課在“概念應(yīng)用，拓展創(chuàng)新”環(huán)節(jié)讓學(xué)生探究終邊相同的角之間的關(guān)系以及探究例1解題方法的過程中，執(zhí)教者便有意無意地取代了學(xué)生面臨問題時“窺測方向”的過程，也就是忽視了學(xué)生面臨問題時的原創(chuàng)思維，造成了學(xué)生思維的斷層.課后與執(zhí)教教師交流，的確是“為了盡快完成預(yù)設(shè)的教學(xué)任務(wù)”.其實，不給學(xué)生時間、空間，學(xué)生的思維得不到啟發(fā)，當再次遇到問題時，便容易造成思維等待，而不是主動去思考問題解決的方法，從而阻礙了學(xué)生思維的自主發(fā)展.

第三，激發(fā)學(xué)生交流的需求.心理研究表明：學(xué)生的思維活動總是由問題開始，又在解決問題的過程中得以發(fā)展.問題導(dǎo)學(xué)的重點在“學(xué)”，當教師提出問題以后，一定要給學(xué)生思考和說的機會，有時還要刻意激發(fā)學(xué)生“有話要說”的需求[2].在本課課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師設(shè)計了幾個問題讓學(xué)生對課堂所學(xué)內(nèi)容進行歸納，但因為時間和學(xué)生反應(yīng)較慢的關(guān)系，最后全部變成了教師來說.其實，教師過多地遵循自己的預(yù)設(shè)，或者過早地以“正確觀點”結(jié)束自己所提出的問題，都是對師生間客觀差異的否定，也是對學(xué)生主體的漠視.我們認為，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生發(fā)表自己的看法、闡述自己的理由、傾聽他人的想法，在大膽的交流、辯論、分析中發(fā)展自己的學(xué)科核心素養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)思維走向深刻.

參考文獻：

[1]劉玉蘭，蘇忠菊.課堂教學(xué)要“順應(yīng)”學(xué)生的思維——以《平行四邊形的面積》教學(xué)為例[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計，2014.

[2]張莉.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)順應(yīng)學(xué)生的思維規(guī)律[J].青海教育，2018.

（責(zé)編 白聰敏）