陳 果，梁 雪

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州215009）

養(yǎng)老基金行業(yè)面臨著死亡率風(fēng)險(xiǎn)，也就是未來(lái)死亡率的發(fā)展趨勢(shì)和當(dāng)前假設(shè)不相符的風(fēng)險(xiǎn)。傳統(tǒng)上，對(duì)死亡率的建模是確定性建模。但是，死亡率在近幾十年不斷攀升，使得人壽保險(xiǎn)公司面臨著壽命風(fēng)險(xiǎn)，因此，建立更加有效的模型來(lái)預(yù)測(cè)死亡率是十分必要的。到目前為止，隨機(jī)死亡率模型在學(xué)術(shù)界和從業(yè)者中得到了越來(lái)越多的關(guān)注。

馬爾可夫機(jī)制轉(zhuǎn)換模型被廣泛地應(yīng)用于金融保險(xiǎn)領(lǐng)域，如梁雪[1]在機(jī)制轉(zhuǎn)換模型下考慮可違約權(quán)益的對(duì)沖問(wèn)題；Milidonis A 等[2]在馬爾可夫機(jī)制轉(zhuǎn)換隨機(jī)模型下對(duì)死亡率進(jìn)行了研究，研究結(jié)果顯示馬爾可夫機(jī)制轉(zhuǎn)換模型優(yōu)于諸如Lee-Carter[3]和Lin-Cox 等[4]一些重要模型。他們還在馬爾可夫機(jī)制轉(zhuǎn)換模型下考慮與死亡率相關(guān)的證券產(chǎn)品的定價(jià)，由此發(fā)現(xiàn)機(jī)制轉(zhuǎn)換隨機(jī)模型可以修正部分不合理的定價(jià)。事實(shí)上，許多保險(xiǎn)產(chǎn)品是長(zhǎng)期合約，因此，將市場(chǎng)制度和環(huán)境狀況的變化納入死亡率動(dòng)態(tài)模型中是有實(shí)際需求的。受文獻(xiàn)[1]的啟發(fā)，筆者建立了一個(gè)馬爾可夫機(jī)制轉(zhuǎn)換隨機(jī)模型來(lái)對(duì)涉及多個(gè)生命的保險(xiǎn)產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)。文中建立的這一模型考慮了經(jīng)濟(jì)環(huán)境狀況的變化對(duì)隨機(jī)死亡率動(dòng)態(tài)過(guò)程的影響，死亡率的動(dòng)態(tài)演化是通過(guò)機(jī)制轉(zhuǎn)換雙散粒噪聲過(guò)程來(lái)描述的，其中純跳過(guò)程可以捕捉到突發(fā)性災(zāi)害對(duì)死亡率的影響。Luciano 和Vigna[5]以及Cox等[6]發(fā)現(xiàn)在死亡率模型校準(zhǔn)中帶跳過(guò)程優(yōu)于擴(kuò)散過(guò)程。

跳擴(kuò)散模型一直活躍于各種風(fēng)險(xiǎn)模型中，例如，Ma Y[7]等在描述違約聚集性時(shí)提出了一種新的跳擴(kuò)散模型；劉孔潔等[8]在超指數(shù)跳擴(kuò)散模型下考慮了動(dòng)態(tài)保護(hù)基金的定價(jià)問(wèn)題；Wang Y[9]等用跳擴(kuò)散模型來(lái)刻畫(huà)投保人的財(cái)富過(guò)程。散粒噪聲過(guò)程是一種純跳模型，此模型下能夠得到金融中許多重要量的顯式表達(dá)式[10]。在信用風(fēng)險(xiǎn)中，散粒噪聲過(guò)程可以用來(lái)刻畫(huà)重大事件對(duì)違約產(chǎn)生的影響。Artzner 和Delbaen[11]提出保險(xiǎn)產(chǎn)品和信用衍生品之間存在著相似之處，用來(lái)刻畫(huà)違約的方法也可以用于描述死亡率。通過(guò)對(duì)這些過(guò)程進(jìn)行適當(dāng)?shù)財(cái)U(kuò)展，筆者用帶有機(jī)制轉(zhuǎn)換散粒噪聲的二維跳擴(kuò)散過(guò)程對(duì)兩個(gè)個(gè)體的死亡率進(jìn)行建模。

文章結(jié)構(gòu)如下：第一部分給出死亡率的動(dòng)態(tài)演化過(guò)程；第二部分討論一種取決于已婚夫婦的相依死亡率過(guò)程的保險(xiǎn)產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題；第三部分給出數(shù)值結(jié)果；第四部分是全文總結(jié)。

1 帶散粒噪聲的二維機(jī)制轉(zhuǎn)換跳擴(kuò)散模型

考慮在有限時(shí)間T =[0，T*]（T*＜∞）范圍內(nèi)的連續(xù)時(shí)間模型，令（Ω，F(xiàn)，F(xiàn)，P）為一個(gè)完備概率空間，過(guò)濾滿足通常條件，假設(shè)所有的隨機(jī)變量和隨機(jī)過(guò)程都定義在這個(gè)概率空間上，并且是FT*可測(cè)的，P 是風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度。令X:={Xt|t∈T }是一個(gè)連續(xù)時(shí)間的有限狀態(tài)的齊次馬爾可夫鏈，其生成的過(guò)濾記為具有生成元Q=qij，i，j=1，2，…，N。不失一般性，把X 的狀態(tài)空間取為單位向量的集合其中符號(hào)“′”表示向量或矩陣的轉(zhuǎn)置，馬氏鏈X 刻畫(huà)了經(jīng)濟(jì)環(huán)境因素。Elliott R J[12]和Elliott R J[13]等為馬爾可夫鏈提供了半鞅分解

考慮兩個(gè)當(dāng)前年齡為yi（i=1，2）的投保人，他們的隨機(jī)剩余壽命為隨機(jī)強(qiáng)度λyi的F-停時(shí)τyi。此處所考慮的個(gè)體是同質(zhì)隊(duì)列的代表性代理人，在這一隊(duì)列中的人的年齡和健康狀態(tài)相同，且剩余壽命同分布。

其中ai＞0 是常數(shù)，σi（t）由下式給出其中和W2（t）是相關(guān)系數(shù)為κ 的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，它們與其他隨機(jī)變量獨(dú)立。對(duì)i=1，2，純跳過(guò)程由給出，其中Ni:={Ni（t）|t∈T }（i=1，2，3）是隨機(jī)強(qiáng)度為ρi:={ρti|t∈T }的Cox 過(guò)程。給定HX，假定N1，N2和N3是相互獨(dú)立的，且對(duì)每一個(gè)i=1，2，3，跳躍尺度是獨(dú)立同分布的，其密度函數(shù)為和是相互獨(dú)立的。

bi＞0 是指數(shù)衰減率是機(jī)制轉(zhuǎn)換的復(fù)合Poisson 過(guò)程，即其中是機(jī)制轉(zhuǎn)換的Poisson 過(guò)程，強(qiáng)度為其中對(duì)i=1，2，3，j=1，2，…，N，跳 躍 尺 度有 定 義 在（0，∞）上 的 密 度 函 數(shù)其 中（gi1（·），…，giN（·））′∈RN。給定HX，假定和是相互獨(dú)立的和是相互獨(dú)立的且與其他隨機(jī)變量是獨(dú)立的。進(jìn)一步，假定也是相互獨(dú)立的。

對(duì)i=1，2，3，強(qiáng)度過(guò)程ρi生成的過(guò)濾記為令是一個(gè)二維馬爾可夫過(guò)程，記

注1在這里，死亡率過(guò)程是帶散粒噪聲的機(jī)制轉(zhuǎn)換跳躍擴(kuò)散過(guò)程，它描述了諸如瘟疫、自然災(zāi)害或創(chuàng)傷性事件等突發(fā)事件對(duì)死亡率的影響。當(dāng)突發(fā)事件發(fā)生時(shí)，死亡率會(huì)增加，然后會(huì)持續(xù)下降到前一個(gè)水平，直到另一突發(fā)事件發(fā)生，這將導(dǎo)致死亡率發(fā)生正的跳躍。從直觀上來(lái)說(shuō)，假設(shè)突發(fā)事件的到達(dá)強(qiáng)度可以根據(jù)經(jīng)濟(jì)環(huán)境因素進(jìn)行切換是合理的。另一方面，在突發(fā)事件發(fā)生后，其再次發(fā)生的可能性在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)通常會(huì)降低。例如，一場(chǎng)大地震發(fā)生后，一般在短時(shí)間內(nèi)不太可能再次發(fā)生另一場(chǎng)大地震。因此，帶散粒噪聲的機(jī)制轉(zhuǎn)換跳躍擴(kuò)散過(guò)程可以很好地刻畫(huà)突發(fā)事件對(duì)死亡率的影響。

注2死亡率過(guò)程中跳尺度的密度函數(shù)f（y）也可以進(jìn)一步假設(shè)為與表示經(jīng)濟(jì)環(huán)境因素的馬爾可夫鏈相關(guān)，但這會(huì)導(dǎo)致解析性的喪失。從直觀上看，經(jīng)濟(jì)環(huán)境因素更有可能影響諸如地震、洪水等突發(fā)事件的發(fā)生頻率，而對(duì)由此所引發(fā)的死亡率跳躍大小的影響是不大的。因此，文中只是將經(jīng)濟(jì)環(huán)境因素對(duì)突發(fā)事件到達(dá)強(qiáng)度的影響納入到定價(jià)模型，而忽略它對(duì)死亡率跳躍大小的影響。

對(duì)任意li≥0，mi≤0，nj≤0，i=1，2，j=1，2，3，記

定理1對(duì)任意li≥0，mi≤0，nj≤0，i=1，2，j=1，2，3，有

其中，

矩陣W1（t，T），W2（t，T），…，WN（t，T）滿足下述關(guān)系式

證明記令

令

令A(yù)i（T，T）=mi，Bi（T，T）=ni，W（T，T，x）=x，求解方程（10）-（13）即得到結(jié)論。

2 養(yǎng)老保險(xiǎn)產(chǎn)品的定價(jià)

現(xiàn)在考慮一個(gè)取決于已婚夫婦的生命存續(xù)期的養(yǎng)老保險(xiǎn)產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題，其在T時(shí)刻的保費(fèi)可表示為

其中K＞0 是一個(gè)常數(shù)，τy1和τy2分別代表了當(dāng)前年齡為y1和y2的個(gè)體（一對(duì)已婚夫婦）的剩余壽命。假定τy1和τy2關(guān)于H 條件獨(dú)立，也就是，對(duì)任一t1＞0，t2＞0，τy1和τy2的聯(lián)合生存分布為

根據(jù)定理1，利用條件期望的塔式性質(zhì)，易得τy1和τy2的聯(lián)合生存分布。于是這項(xiàng)保險(xiǎn)產(chǎn)品的凈保費(fèi)為

根據(jù)Buffington 和Elliott[14]中的Lemma A.1 有

利用定理1，有

其中參數(shù)同式（3）-（8），li=1，mi=0，nj=0，i=1，2，j=1，2，3。

注3由式（1）、（2）以及式（14）所建立的死亡率相關(guān)結(jié)構(gòu)可以擴(kuò)展到多變量情況。

3 數(shù)值結(jié)果

該節(jié)對(duì)取決于已婚夫婦生命存續(xù)期的養(yǎng)老保險(xiǎn)產(chǎn)品的凈保費(fèi)進(jìn)行了一些數(shù)值分析，以說(shuō)明文中的理論結(jié)果。

為了便于說(shuō)明，文中考慮N＝2 的情況，即X只在兩種狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換，其中和分別代表“好”的經(jīng)濟(jì)環(huán)境和“壞”的經(jīng)濟(jì)環(huán)境。對(duì)于凈保費(fèi)CT的計(jì)算，除非另有說(shuō)明，將參數(shù)設(shè)置如下：K＝1，

圖1 顯示了凈保費(fèi)C10和q之間的關(guān)系，可以看到，當(dāng)初始經(jīng)濟(jì)環(huán)境處于好的狀態(tài)時(shí)，即X0＝e→1時(shí)，C10是q的一個(gè)遞增函數(shù)，這是因?yàn)閝越高，轉(zhuǎn)換到狀態(tài)e→2的概率就越大。從圖1 還可以看到α越大，凈保費(fèi)C10越小；圖2 顯示β 越大，C10越??；從圖3 可以看到C10隨著a的增加而減少，這些變化趨勢(shì)都符合實(shí)際情況。

圖1 不同α 和q 下的凈保費(fèi)C10

圖2 不同β 和b 下的凈保費(fèi)C10

圖3 不同X0 和a 下的凈保費(fèi)C10

4 結(jié)語(yǔ)

建立了帶有散粒噪聲的二維機(jī)制轉(zhuǎn)換跳擴(kuò)散模型。在該模型中，利率、死亡率與一個(gè)由連續(xù)時(shí)間有限狀態(tài)的馬爾可夫鏈刻畫(huà)的經(jīng)濟(jì)環(huán)境狀況密切相關(guān)，已婚夫婦的死亡率相依結(jié)構(gòu)由此模型刻畫(huà)。最后運(yùn)用鞅理論推導(dǎo)出取決于已婚夫婦生命存續(xù)期的養(yǎng)老保險(xiǎn)產(chǎn)品的凈保費(fèi)的指數(shù)仿射解。