勾習(xí)睿

(沃金森學(xué)校，美國 哈特福德 53027)

測控系統(tǒng)中，頻率源短穩(wěn)會(huì)引起系統(tǒng)的測速誤差。頻率源短穩(wěn)的時(shí)域描述是用阿倫方差表示，頻域描述在實(shí)際測量時(shí)用相位噪聲表示，而在理論分析中常用相位起伏譜密度表示。因此，在工程核算系統(tǒng)頻率源短穩(wěn)引入的系統(tǒng)誤差時(shí)，需要進(jìn)行相位噪聲、相位起伏譜密度和阿倫方差之間的換算。本文討論了阿倫方差、相位起伏譜密度和相位噪聲的關(guān)系，并給出了工程核算時(shí)使用的簡化算法。

1 阿倫方差

David Allan 于1966年提出了Allan方差，最初該方法用于分析振蕩器的相位和頻率不穩(wěn)定度。假設(shè)頻率源輸出的信號(hào)為：

V(t)=[V0+A(t)]sin[ω0t+φ(t)]

(1)

(2)

式中，〈〉表示T=τ的無限時(shí)間平均，σ2(2,τ,τ)表示無間隙阿倫方差。

若相鄰兩次測量存在時(shí)間間隙，則兩次測得的相對頻率的方差稱為有間隙阿倫方差σ2(2,T,τ)(T≠τ)，有間隙阿倫方差和無間隙阿倫方差用巴納斯(Barnes)偏移函數(shù)相聯(lián)系。

2 相位起伏譜密度

式(1)中，A(t)和φ(t)分別代表隨機(jī)因素所產(chǎn)生的幅度調(diào)制和相位調(diào)制。幅度調(diào)制不影響頻率穩(wěn)定度，其所產(chǎn)生的噪聲遠(yuǎn)小于相位調(diào)制產(chǎn)生的噪聲，因此常用邊帶的相位起伏譜密度表述頻率穩(wěn)定度。當(dāng)調(diào)制由噪聲產(chǎn)生時(shí)，Δφrms決定于噪聲電壓有效值，其值可能隨偏離載頻的頻率不同而異,即是fm的函數(shù)，因此，相位起伏譜密度定義為[2]：

(3)

在式(3)中，Δφrms(fm)表示偏離載波頻率fm處的相位起伏大小的有效值，通常記為Rad，Bn表示計(jì)算等效噪聲的分析帶寬，其單位為Hz，因此相位起伏譜密度的單位為rsd2/Hz。

3 相位噪聲

相位噪聲是指系統(tǒng)在各種外部環(huán)境噪聲的作用下，所引起的頻率源輸出信號(hào)相位的隨機(jī)變化。目前工程中，由美國國家標(biāo)準(zhǔn)協(xié)會(huì)(ANSI)所定義的單邊帶相位噪聲L(fm)為相位噪聲較為廣泛的表征形式[3]，其定義如下所示：

(4)

或者以分貝形式表示如下：

(5)

其中PSSB(fm)表示偏離載波Δf處1 Hz帶寬內(nèi)信號(hào)的噪聲調(diào)制邊帶功率，P0表示載波信號(hào)的總功率，圖1為單邊帶相位噪聲功率譜L(fm)的示意圖。

4 阿倫方差、相位起伏譜密度、相位噪聲的關(guān)系

4.1 相位起伏譜密度和相位噪聲的關(guān)系

對于正弦頻率調(diào)制信號(hào)而言，其瞬時(shí)頻率與瞬時(shí)相位分別表示為:

f(t)=f0+Δfvcos(2πft)

(6)

(7)

式中Δfv表示最大頻偏，f則為調(diào)制頻率，令Δφ=Δfv/f表示最大相位偏移或者叫做調(diào)制指數(shù)，因此可得到相位調(diào)制信號(hào)為：

V(t)=V0cos(2πf0t+Δφsin(2πft))

(8)

用貝塞爾函數(shù)將(8)式展開為級數(shù)表達(dá)式為：

(9)

通常情況下有Δφ1rad，因此式(9)可以被簡化為：

(10)

由式(10)可知，相位調(diào)制信號(hào)與載波信號(hào)的相位正交。并且兩個(gè)邊帶信號(hào)間是互為反向的，邊帶信號(hào)的幅度與載波信號(hào)的幅度之比可以表示為：

(11)

通過公式(11)可知，邊帶信號(hào)與載波信號(hào)的功率之比可以表示為：

(12)

(13)

對數(shù)表達(dá)式為：

(14)

式(14)中單位為dBc/Hz。

4.2 相位起伏譜密度和阿倫方差的關(guān)系

很多文獻(xiàn)都給出了相位起伏譜密度和阿倫方差的關(guān)系[4-6]:

(15)

式中τ為測量阿侖方差的采樣間隔時(shí)間，單位為s；f為偏離載頻f0的頻率間隔，單位為Hz；Sφ(f)為相位起伏譜密度。

美國電子與電氣工程師學(xué)會(huì)IEEE推薦使用相位起伏譜密度Sφ(f)的冪率譜模型來描述振蕩器的相位噪聲特性，其包括疊加在一起的五種獨(dú)立噪聲過程，其模型為：

(16)

由于上式中的各項(xiàng)都正比于f的各次冪，故稱為冪率譜。

與頻域類似，在時(shí)域中，阿侖方差冪率表達(dá)式為：

(17)

其中μ為各次冪，μ=-α-1(當(dāng)α≥1時(shí)，μ=-2)，它在時(shí)域上表征了頻率起伏噪聲的類型，而Kα與hα相對應(yīng)，它表征了各類噪聲的強(qiáng)度。

這五種噪聲類型與譜密度的關(guān)系如表1所示。

表1 五種噪聲的譜密度

噪聲類型αSφ(f)μ阿倫方差調(diào)相白噪聲2h2f20-2K+2τ-2調(diào)相閃爍噪聲1h1f20f-1-2K+1τ-2調(diào)頻白噪聲0h0f20f-2-1K0τ-1調(diào)頻閃爍噪聲-1h-1f20f-30K-1τ0頻率隨機(jī)游動(dòng)-2h-2f20f-41K-2τ+1

5 工程估算

從上面的分析可以看出，通過相位起伏譜密度可以實(shí)現(xiàn)相位噪聲和阿倫方差之間的轉(zhuǎn)換。

工程上常將(16)式近似表示為下列對數(shù)表達(dá)

式：

(f1～f2為頻率隨機(jī)游動(dòng)噪聲)

(18)

(f2～f3為調(diào)頻閃變噪聲)

(19)

(f3～f4為調(diào)頻白噪聲)

(20)

(f4～f5為調(diào)頻閃爍噪聲)

(21)

(f5～f6為調(diào)相白噪聲)

(22)

冪律譜折線近似的曲線圖如圖2所示。圖中橫坐標(biāo)為f對數(shù)坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為Sφ(f)對數(shù)坐標(biāo)。

式(18)～(22)是工程中相噪指標(biāo)的近似表示方法，令lgf=0，即可求出式(18)～(22)中的h-2、h-1、h0、h+1、h+2等，即

上式中的k-2、k-1、k0、k+1、k+2分別為h-2、h-1、h0、h+1、h+2各類噪聲的近似折線與lgf=0時(shí)的縱坐標(biāo)軸的交點(diǎn)值。

(23)

式中f6為計(jì)算短穩(wěn)時(shí)積分運(yùn)算的截止頻率，它對應(yīng)于相噪可產(chǎn)生作用的有效帶寬，例如在鎖相接收機(jī)中，它為鎖相環(huán)的單邊帶寬。

(24)

同理可積分求出下列各項(xiàng)

調(diào)相閃爍噪聲：

(當(dāng)2πτ(f5-f4)>>1時(shí))

(25)

調(diào)頻白噪聲：

(26)

調(diào)頻閃變噪聲：

(27)

頻率隨機(jī)游動(dòng)：

(28)

求出5項(xiàng)阿侖方差后，總的阿侖方差為：

(29)

計(jì)算出阿倫方差后，便可以根據(jù)公式(30)[8]求出相位噪聲對測速的影響。

(30)

式中B2為巴納斯第二偏移函數(shù)，B2與μ和γ的關(guān)系如表2所示。其中μ為冪次，γ=T/τ(T為測控系統(tǒng)雙向距離測量的時(shí)間，τ為積分時(shí)間)

表2B2與μ和γ的關(guān)系表

下面舉例說明實(shí)際工程中相噪對測速誤差的影響。

實(shí)際S頻段測控系統(tǒng)中，系統(tǒng)頻率源相噪指標(biāo)如表3所示。

表3 系統(tǒng)頻率源相位噪聲

頻偏相位噪聲10 Hz-55d Bc/Hz100 Hz-70 dBc/Hz1 kHz-80 dBc/Hz10 kHz-90 dBc/Hz100 kHz-100 dBc/Hz

系統(tǒng)由式(29)～(32)和(35)～(38)得(系統(tǒng)頻率按2 200 MHz，τ為50 ms計(jì)算)：

σy(τ)+2=2.449×10-11

σy(τ)+1=2.2825×10-11

σy(τ)0=4.5455×10-11

σy(τ)-1=3.0096×10-11

測速誤差σR=0.995cm/s

6 結(jié)語

由于工程中，頻率源短穩(wěn)在時(shí)域很難測量，而使用頻譜分析儀可以簡便地測量頻率源的相位噪聲，因此，本文討論了頻率源短穩(wěn)時(shí)域和頻域的轉(zhuǎn)換關(guān)系，給出了工程計(jì)算的簡便估算方法，可以很方便地計(jì)算出頻率源短穩(wěn)對系統(tǒng)測速誤差的影響。