蘇海亮 蘭鳳崇 賀裕雁 陳吉清?

(1.華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510640;2.華南理工大學(xué) 廣東省汽車工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510640；3.華南理工大學(xué) 工商管理學(xué)院，廣東 廣州 510640)

拓?fù)鋬?yōu)化方法為探索理想和優(yōu)化的結(jié)構(gòu)提供了可能，并在諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。對(duì)于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化而言，可以將結(jié)構(gòu)視為離散體或連續(xù)體結(jié)構(gòu)，其本質(zhì)是通過(guò)迭代計(jì)算，在給定的約束條件下以最優(yōu)化性能的方式計(jì)算設(shè)計(jì)域內(nèi)材料的最佳布局[1]。在過(guò)去的幾十年里，關(guān)于連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的研究大多建立在所有參數(shù)都是確定性的這一假設(shè)的基礎(chǔ)上，而在設(shè)計(jì)的整個(gè)生命周期中，材料參數(shù)(楊氏模量、許用應(yīng)力等)、外載荷、制造誤差、邊界條件和幾何尺寸等設(shè)計(jì)變量都具有結(jié)構(gòu)固有的本質(zhì)不確定性[2]。確定性假設(shè)可能導(dǎo)致設(shè)計(jì)不能滿足預(yù)期的性能目標(biāo)，最終導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不可行。因此，為了對(duì)工程系統(tǒng)進(jìn)行真實(shí)的可靠性評(píng)估，在優(yōu)化過(guò)程的數(shù)值建模中，定量考慮不確定性是很有必要的。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于不確定參數(shù)建模及可靠性評(píng)估進(jìn)行了大量的研究，這種尋找不確定性的優(yōu)化設(shè)計(jì)被稱為基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì)(RBDO)[3]。基于可靠性的設(shè)計(jì)優(yōu)化理念是一種在考慮不確定性影響的情況下確定最優(yōu)設(shè)計(jì)方案的工程設(shè)計(jì)方法，它將不確定性作為一個(gè)量化的失效概率方式，優(yōu)化結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)，保持各種設(shè)計(jì)約束滿足預(yù)期的可靠性水平。在傳統(tǒng)的可靠性分析方法中，不確定參數(shù)通常被設(shè)定為隨機(jī)變量處理，其概率分布是基于完整數(shù)據(jù)信息定義的。然而，由于工程問(wèn)題存在的多樣復(fù)雜性，確定某種精確的概率分布形式非常費(fèi)時(shí)，甚至是一項(xiàng)不可能完成的任務(wù)。在這樣的情況下，可以使用基于非概率概念的分析方法來(lái)量化和處理這種不確定性，例如目前研究較多的凸模型、區(qū)間模型、模糊集理論等[4- 6]。區(qū)間分析作為一種特殊的凸集模型已成功地應(yīng)用于一系列具有不確定但有界參數(shù)的工程設(shè)計(jì)問(wèn)題中，近年來(lái)在學(xué)術(shù)界和工程界引起了越來(lái)越多的關(guān)注[7- 9]?；趨^(qū)間分析的非概率可靠度方法在測(cè)量、建模思想、評(píng)估方式等方面與傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)概率可靠度方法類似，已有相關(guān)學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了多方面的比較分析。Ben-Haim等[6]于1990年提出了基于凸模型的結(jié)構(gòu)非概率可靠度概念，此后，基于凸模型的非概率可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化作為可選擇的RBDO方法得到了廣泛應(yīng)用。Kang等[10]提出了一種基于性能的方法，這種方法避免了基于多橢球凸模型的方法在非概率可靠性指標(biāo)求解過(guò)程中所需的冗長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間。Jiang等[11]基于凸模型提出一種不確定性的優(yōu)化方法，這種方法將約束以顯式形式來(lái)表達(dá)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，能夠有效地計(jì)算約束區(qū)間。Au等[12]利用凸模型提出一種結(jié)構(gòu)魯棒可靠性方法，引入不滿意度函數(shù)將各種不確定變量映射為無(wú)量綱量來(lái)實(shí)現(xiàn)基準(zhǔn)測(cè)試，通過(guò)最小化最差的不滿意度來(lái)求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值。Meng等[13]提出一種基于單橢球凸模型的混合非概率方法，研究了單橢球凸模型的搜索過(guò)程，并利用粒子群優(yōu)化算法來(lái)保證全局優(yōu)化設(shè)計(jì)。

針對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題涉及不確定性參數(shù)的情形，基于數(shù)值理論的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法(RTOD)被提出。Eigel等[14]考慮隨機(jī)材料屬性和隨機(jī)力，建立了一種不確定性情況下的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法，采用相場(chǎng)方法使得材料分布可以在迭代優(yōu)化期間有任意拓?fù)渥兓?。Jalalpour等[15]基于隨機(jī)擾動(dòng)方式估計(jì)不確定性參數(shù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效模式，提出一種基于可靠性的拓?fù)鋬?yōu)化算法。Liu等[16]考慮了載荷方向不確定性的概率性和模糊性質(zhì)，并應(yīng)用云模型描述這種不確定性，提出了體積約束的不確定拓?fù)鋬?yōu)化方法。Keshavarzzadeh等[17]將非侵入式多項(xiàng)式混沌擴(kuò)展與可靠性相結(jié)合，提出一種在不確定性下進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化的系統(tǒng)方法，從而準(zhǔn)確且有效地估計(jì)統(tǒng)計(jì)矩、失效概率及其靈敏度。Luo等[18- 20]提出了一種基于非概率多橢球凸模型的拓?fù)鋬?yōu)化方法，該模型表示有界參數(shù)的不確定性。McWilliam[21]采用區(qū)間有理系列展開(kāi)策略來(lái)評(píng)估區(qū)間位移和應(yīng)力的下界和上界，從而進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。Wu等[22]將Chebyshev區(qū)間方法應(yīng)用于具有區(qū)間不確定性的車輛動(dòng)力學(xué)優(yōu)化，并通過(guò)案例證明該方法可進(jìn)行有效估計(jì)，并避免優(yōu)化中出現(xiàn)嵌套雙環(huán)。雖然RTOD是一個(gè)具有學(xué)術(shù)研究?jī)r(jià)值且迅速發(fā)展的活躍領(lǐng)域，但具有區(qū)間參數(shù)的約束函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化集成仍是當(dāng)前值得探索且極具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。目前，RTOD在工程上的應(yīng)用相對(duì)比較少，其主要限制之一是優(yōu)化過(guò)程中難以保證計(jì)算精度與計(jì)算效率的平衡。RTOD的實(shí)質(zhì)是一種內(nèi)外層嵌套優(yōu)化問(wèn)題，可靠性分析嵌入優(yōu)化循環(huán)中，優(yōu)化過(guò)程中需要多次計(jì)算約束函數(shù)的可靠度，致使整個(gè)優(yōu)化過(guò)程的計(jì)算效率較低，導(dǎo)致無(wú)法在實(shí)際工程中應(yīng)用。

鑒于此，文中在傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上，基于變密度法提出了一種有效的計(jì)算方法來(lái)解決結(jié)構(gòu)可靠性拓?fù)鋬?yōu)化中的重要問(wèn)題：找到使剛度和質(zhì)量達(dá)到最佳平衡的材料分布，這可以表示為受應(yīng)變能約束的最小化體積(最輕量化)。針對(duì)實(shí)際應(yīng)用中難以獲得足夠的不確定參數(shù)信息的情況，應(yīng)用區(qū)間變量來(lái)表示文中所描述的參數(shù)不確定性，采用非概率凸模型建模方法研究具有區(qū)間特性的設(shè)計(jì)參數(shù)與結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的映射關(guān)系?？紤]到Chebyshev多項(xiàng)式在區(qū)間范圍內(nèi)具有最佳一致逼近的性質(zhì)，利用Chebyshev級(jí)數(shù)逼近多項(xiàng)式函數(shù)求解函數(shù)關(guān)系，建立Chebyshev多項(xiàng)式模型。通過(guò)引進(jìn)區(qū)間數(shù)定義進(jìn)一步計(jì)算結(jié)構(gòu)的可靠性指標(biāo)，采用分解技術(shù)來(lái)提高計(jì)算效率。通過(guò)內(nèi)循環(huán)是單獨(dú)進(jìn)行可靠性分析、外循環(huán)是考慮可靠性的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)這種雙層分離尋優(yōu)策略實(shí)現(xiàn)對(duì)考慮不確定性的結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化研究。為了驗(yàn)證所提方法的可行性和適用性，文中還通過(guò)二維和三維模型算例進(jìn)行了探討。

1 基于凸模型的非概率可靠性指標(biāo)定義

(1)

(2)

式中，Xi為第i個(gè)不確定變量X的歸一化變量，w表示具不確定性的參數(shù)。

超橢球(凸)模型思想是利用超橢球定義不確定參數(shù)的波動(dòng)區(qū)域，因其不需要精確的信息就能定義不確定性而被廣泛使用。文獻(xiàn)[24- 25]中總結(jié)了超橢球面的測(cè)定方法，同時(shí)也說(shuō)明了區(qū)間變量與凸集模型之間的聯(lián)系。二維超橢球模型如圖1所示。根據(jù)文獻(xiàn)[19- 20]提出的橢球凸模型非概率可靠度指標(biāo)的定義，所有不確定參數(shù)的可能值都可以假設(shè)為一個(gè)多維(超)橢球。因此，不確定參數(shù)向量w的界限范圍用一個(gè)超橢球集合來(lái)界定，表示為

w∈(Q,ε)={w:wTQw≤ε2}

(3)

式中，Q為超橢球面的特征矩陣，ε為定義參數(shù)變異性大小的實(shí)數(shù)。

圖1 二維超橢球模型Fig.1 Two-dimension super ellipsoid model

假設(shè)不確定參數(shù)采用k個(gè)橢球體集合表示，則

(4)

對(duì)于每組參數(shù)wi(i=1,2,…,k)，分別由一組橢球無(wú)量綱形式有界表示為

wi∈

(5)

通過(guò)引入向量定義

(6)

(7)

式中，E為標(biāo)準(zhǔn)空間下的單位超球體(如圖2所示)，q為不確定參數(shù)在標(biāo)準(zhǔn)空間的標(biāo)準(zhǔn)化向量。經(jīng)過(guò)式(7)所表示的歸一化后，極限狀態(tài)函數(shù)g(X)同樣可以轉(zhuǎn)變?yōu)間(q)。此時(shí)將q空間劃分為一個(gè)安全區(qū)域(對(duì)應(yīng)g(q)> 0)和一個(gè)失效區(qū)域(對(duì)應(yīng)g(q)<0)，則極限狀態(tài)函數(shù)的失效概率Pf同樣可以表示為

Pf=Pr{g(q)≤0}

(8)

圖2 單橢球模型非概率可靠性指標(biāo)的定義

Fig.2 Definition of non-probabilistic reliability index of single ellipsoid model

根據(jù)可靠性指標(biāo)的意義，定義結(jié)構(gòu)單橢球模型的可靠性指標(biāo)γ為

(9)

式中，sgn(υ)是實(shí)數(shù)υ的sgn函數(shù)，定義為

(10)

之所以存在sgn函數(shù)，是因?yàn)楫?dāng)不確定性變量對(duì)應(yīng)的名義值處所求極限狀態(tài)函數(shù)為負(fù)時(shí)，產(chǎn)生的可靠性指標(biāo)應(yīng)為負(fù)值。圖3展示了如何用單橢球模型來(lái)描述參數(shù)的不確定性。在變換后的標(biāo)準(zhǔn)空間中，不確定性參數(shù)以一個(gè)單位球?yàn)榻鐏?lái)呈現(xiàn)。圖中單位圓能夠很好地反映這種參數(shù)不確定結(jié)構(gòu)的可靠度。根據(jù)圖3所示，從原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面上任意點(diǎn)的向量的最小無(wú)窮大范數(shù)能夠度量結(jié)構(gòu)的非概率可靠性，因此，非概率可靠性指標(biāo)γ定義為

γ=sgn(g(0))·min(max(|q1|,|q2|))

(11)

s.t.g(q)=0。

式中，qi(i=1,2)為第i組不確定變量wi的歸一化向量。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)多橢球集合的邊界形狀，將其推廣到多橢球凸模型，即存在多橢球體模型的k組不確定性。由此，將γ推廣至多維空間下的變量可靠性指標(biāo)，表示為

(12)

s.t.gj(q)=0。

式中的γ受制于對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)。式(12)表明，可靠性指標(biāo)γ=1時(shí)，極限狀態(tài)曲面與單位圓凸模型存在著相交邊界，這種相交意味著凸模型與設(shè)定結(jié)構(gòu)波動(dòng)性的極限狀態(tài)函數(shù)處于一種臨界狀態(tài)。γ>1時(shí)，所有存在的不確定性變量都處于可靠的結(jié)構(gòu)域和相應(yīng)的安全裕度，此時(shí)結(jié)構(gòu)被認(rèn)為是可靠的。γ值越大表明結(jié)構(gòu)將會(huì)被允許有更大程度的參數(shù)波動(dòng)。

圖3 兩個(gè)區(qū)間參數(shù)的不確定可靠性量化標(biāo)準(zhǔn)

Fig.3 Reliability quantification criteria for two interval uncertain parameters

2 區(qū)間Chebyshev多項(xiàng)式逼近函數(shù)模型

極限狀態(tài)函數(shù)的定義在可靠性評(píng)估中非常重要，由于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化分析中的目標(biāo)函數(shù)或約束函數(shù)不能明確表達(dá)，導(dǎo)致進(jìn)行RTOD分析時(shí)會(huì)產(chǎn)生高昂的費(fèi)用甚至無(wú)法實(shí)施這樣的分析。因此，可考慮在優(yōu)化過(guò)程中使用精確的多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)顯性表達(dá)性能與變量之間的關(guān)系。變量在某一范圍內(nèi)波動(dòng)的目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)同樣是一個(gè)難點(diǎn)?；趨^(qū)間概念并考慮計(jì)算效率，文中使用Chebyshev多項(xiàng)式擬合變量與性能之間的隸屬關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)精確的區(qū)間函數(shù)擬合。文獻(xiàn)[26]表明，Chebyshev多項(xiàng)式在區(qū)間函數(shù)逼近方面比泰勒展開(kāi)式具有更高的精度。

考慮到Chebyshev多項(xiàng)式在區(qū)間范圍內(nèi)具有最佳一致逼近的性質(zhì)，假設(shè)存在一維函數(shù)，該函數(shù)可近似通過(guò)一維k階Chebyshev多項(xiàng)式逼近：

(13)

式中：pk為k階Chebyshev多項(xiàng)式；f表示多項(xiàng)式的系數(shù)，其計(jì)算公式為

(14)

m為插值點(diǎn)數(shù)目；θj=arccosxj，x為變量；Cj(x)為構(gòu)造Chebyshev多項(xiàng)式的向量，定義為

Cj(x)=cos(jθ)

(15)

(16)

式中，xL和xR分別表示變量x的上界和下界，x∈[-1,1]，設(shè)xj為Chebyshev插值點(diǎn)，其可以通過(guò)下式計(jì)算得到：

(17)

處理多維不確定參數(shù)問(wèn)題時(shí)，引入張量積可以直接構(gòu)造多維Chebyshev插值點(diǎn)。如一維插值點(diǎn)節(jié)點(diǎn)基為X={x1,x2,…,xm}，為了平衡效率與精度的關(guān)系，插值點(diǎn)數(shù)目m=ki+1，基于張量積構(gòu)造的L維插值多項(xiàng)式節(jié)點(diǎn)集合為X=X1?X2?…?Xl，從而可知，L維問(wèn)題的插值點(diǎn)總數(shù)Ntotal應(yīng)為

Ntotal=(k1+1)×(k2+1)×…×(kL+1)

(18)

因此，Chebyshev級(jí)數(shù)略去高階的k階多項(xiàng)式可近似表示為

(19)

式中，r表示下標(biāo)等于0的總數(shù)，Ci1…ik為k維Chebyshev多項(xiàng)式向量，fi1…ik為k維系數(shù)。

對(duì)每一維積分采用插值積分公式計(jì)算，則Chebyshev多項(xiàng)式的每個(gè)系數(shù)都可通過(guò)相應(yīng)的積分公式計(jì)算得到：

(20)

式中，k為數(shù)值積分公式的階數(shù)，每個(gè)維的插值點(diǎn)都是k+1次Chebyshev多項(xiàng)式的零點(diǎn)。為了計(jì)算的便利性，同樣可以用最小二乘法來(lái)計(jì)算Chebyshev多項(xiàng)式的系數(shù)[22]，將式(19)轉(zhuǎn)化為

(21)

β=[β1…βs]T=[f0,…,0…fii,…,ik]T

(22)

δ=[δ1…δs]T=[C0,…,0…Cii,…,ik]T

(23)

式中，0≤i1+…+ik≤n，s表示系數(shù)向量中系數(shù)的數(shù)量，也是多項(xiàng)式基向量δ中Chebyshev多項(xiàng)式的數(shù)量。拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)由于其域的幾何形狀變化復(fù)雜，概率約束往往是隱式的，計(jì)算起來(lái)也比較困難，而采用逼近函數(shù)方法進(jìn)行近似，計(jì)算起來(lái)就容易得多，成本也低。通過(guò)Chebyshev代理模型替換有限元模型進(jìn)行計(jì)算，僅需采用有限的樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造Chebyshev多項(xiàng)式，就能夠針對(duì)RTOD進(jìn)行可靠性分析。

3 基于非概率可靠性的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 確定性拓?fù)鋬?yōu)化

連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題通常是通過(guò)有限元方法求解，其中元素體積分?jǐn)?shù)用于指示每一個(gè)元素域內(nèi)的材料分布。在一個(gè)典型的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題中，目標(biāo)通常是通過(guò)確定材料的分布來(lái)獲得性能最佳的結(jié)構(gòu)。因此，文中所建立的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)模型表達(dá)為在剛度約束下最小化體積V，以應(yīng)變能作為約束的形式，其表達(dá)式為

(24)

s.t.K(ρ)d(ρ)=F;

gi(ρ)=CT-Ci(ρ)≥0,i=1,2,…,N;

0≤ρmin≤ρe≤1。

上述公式中，ρ為材料密度，V為結(jié)構(gòu)材料體積，ve為單元體積，ρe為單元密度，K(ρ)、d(ρ)、F為整體剛度矩陣、位移矩陣以及有限元離散得到的力向量，N為位移約束的個(gè)數(shù)，CT為ρ在第i個(gè)應(yīng)變能約束Ci下的上限值，ρmin為單元密度的下限。使用常用的固體各向同性材料懲罰(SIMP)方法[27]懲罰單元設(shè)計(jì)域中體積分?jǐn)?shù)和驅(qū)動(dòng)單元0-1分布進(jìn)行求解。在SIMP[28]插值下，單元?jiǎng)偠染仃嚍镵e表示如下：

(25)

3.2 非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

利用區(qū)間變量不確定性的概率定義，基于凸模型非概率可靠性指標(biāo)，將可靠性約束作為結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題的約束條件，以應(yīng)變能作為約束問(wèn)題的一般RTOD公式的形式如下：

(26)

s.t.K(ρ)d(ρ)=F;

0≤ρmin≤ρe≤1。

γ=sgn(gj(0))·min{max(|q1|,|q2|,…,|qk|)}

(27)

s.t.gj(q)=0。

γ越大意味著結(jié)構(gòu)允許的參數(shù)變化越大。

3.3 基于Chebyshev多項(xiàng)式的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化

本節(jié)基于Chebyshev代理模型來(lái)解決上述區(qū)間不確定情形下的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。在優(yōu)化過(guò)程中，將Chebyshev零點(diǎn)作為不確定設(shè)計(jì)向量的初始樣本，然后利用Chebyshev多項(xiàng)式模型建立不確定參數(shù)約束條件的近似模型。因此，式(26)可轉(zhuǎn)變?yōu)橄率剑?/p>

(28)

(29)

(30)

s.t.wTw≤(γ*)2。

當(dāng)區(qū)間極限狀態(tài)函數(shù)引起的目標(biāo)可靠性指標(biāo)存在區(qū)間范圍時(shí)，式(30)同樣可以描述為

(31)

圖4 區(qū)間約束可能的取值范圍Fig.4 Possible value range of interval constraint

采用Karush-Kuhn-Tucker(KKT)最優(yōu)性條件求解約束優(yōu)化問(wèn)題，于是有

(32)

(33)

s.t.Zk(u*(ρ),x*(ρ))≥0,k=1,2,…,m。

式中：Zk為目標(biāo)性能值，對(duì)應(yīng)于規(guī)定的目標(biāo)可靠性指標(biāo)γ；k代表第k種失效模式。因此，約束條件關(guān)于最佳設(shè)計(jì)點(diǎn)的問(wèn)題可以通過(guò)下面這個(gè)最小化問(wèn)題求解：

(34)

對(duì)于這種最小化問(wèn)題，可通過(guò)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)中比較常見(jiàn)的性能度量方法求解。

在求解RTOD問(wèn)題的過(guò)程中，需構(gòu)建Chebyshev多項(xiàng)式模型，包括兩個(gè)主要步驟：獲取采樣所需的數(shù)據(jù)，計(jì)算模型的系數(shù)。采樣點(diǎn)是Chebyshev多項(xiàng)式的零點(diǎn)，其數(shù)量主要由區(qū)間變量的維數(shù)和所構(gòu)建多項(xiàng)式的階數(shù)來(lái)決定。在得到足夠采樣數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，可利用最小二乘法求解系數(shù)，之后構(gòu)建函數(shù)的替代模型。Chebyshev代理模型能夠與外環(huán)優(yōu)化相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)不確定優(yōu)化的求解(式(34)的解析)?；趨^(qū)間Chebyshev模型函數(shù)的主要優(yōu)點(diǎn)是所建立的約束函數(shù)的近似模型精度高，優(yōu)化結(jié)果更加可靠。

3.4 迭代機(jī)制流程

可靠性分析方法是指用于計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)值在參數(shù)波動(dòng)影響下滿足某種約束條件的可靠度的方法。文中的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是以約束條件滿足給定的可靠性指標(biāo)為前提的搜索尋優(yōu)問(wèn)題，在優(yōu)化方程(33)中，將不確定參數(shù)確定為一種目標(biāo)非概率可靠性的確定性形式，所得結(jié)果用作拓?fù)鋬?yōu)化的輸入變量進(jìn)行新的確定性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，這樣設(shè)計(jì)的結(jié)果可滿足結(jié)構(gòu)的可靠度設(shè)計(jì)要求。其主要步驟如下：

步驟1 針對(duì)結(jié)構(gòu)建立有限元模型，定義加載工況，構(gòu)建非概率凸模型；

步驟2 進(jìn)行單元敏感度分析，基于Chebyshev零點(diǎn)原理構(gòu)造初始樣本點(diǎn)；

步驟3 根據(jù)樣本點(diǎn)進(jìn)行有限元分析，建立Chebyshev多項(xiàng)式模型；

步驟4 利用Chebyshev多項(xiàng)式模型結(jié)合非概率凸模型進(jìn)行可靠性分析，求解式(34)使用式(32)的迭代機(jī)制，得出給定目標(biāo)可靠性指標(biāo)下的性能最佳設(shè)計(jì)參數(shù)；

步驟5 將步驟4所得參數(shù)值返回拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)模型，建立新的拓?fù)鋬?yōu)化模型來(lái)尋找最佳的材料分布，直到滿足拓?fù)鋬?yōu)化收斂條件為止，最終獲得RBDO拓?fù)鋯?wèn)題的最優(yōu)解。

基于非概率可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì)是一種嵌套的雙優(yōu)化問(wèn)題，其中可靠性分析和優(yōu)化是嵌套的。文中使用分離解耦方式，使得評(píng)估約束的可靠性與最小化目標(biāo)函數(shù)單獨(dú)進(jìn)行，從而精確、有效地得到不確定性結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。

4 算例分析

在算例分析中，都是假定材料的楊氏模量在整個(gè)域中是不確定的。設(shè)計(jì)目標(biāo)是使受應(yīng)變能約束的結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小化，其中包含不同可靠性指標(biāo)下的材料體積最小值。文中分別提供了二維和三維的數(shù)值算例來(lái)說(shuō)明所提方法的有效性和適用性，以及在結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中考慮不確定性的重要性。

4.1 算例1

圖5 L形結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)區(qū)域Fig.5 Design field of L-shaped structure

設(shè)計(jì)目標(biāo)是在應(yīng)變能約束下找到使材料總體積最小的最優(yōu)拓?fù)湫螤?。采用三階Chebyshev多項(xiàng)式擬合變量與應(yīng)變能之間的關(guān)系。按照Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)抽樣法則，每個(gè)變量抽取4個(gè)樣本點(diǎn)，故在變量區(qū)間內(nèi)共抽取64(43=64)個(gè)樣本點(diǎn)，即采用有限元模型計(jì)算64組樣本數(shù)據(jù)，并基于這些樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建約束函數(shù)的Chebyshev多項(xiàng)式模型。對(duì)考慮確定性(DTO)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)和文中所提出的RTOD進(jìn)行了結(jié)果分析與對(duì)比。從圖6可以看出，與確定性拓?fù)鋬?yōu)化所得模型相比，RTOD的解具有不同的結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤?。毫無(wú)疑問(wèn)，這種優(yōu)化設(shè)計(jì)的模型結(jié)構(gòu)是采用確定性變量進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)所不能實(shí)現(xiàn)的。

圖6 結(jié)構(gòu)確定性與不確定性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

Fig.6 Results of structural deterministic and uncertain topology optimization

表1 算例1中不確定參數(shù)在標(biāo)準(zhǔn)化空間的最優(yōu)值

Table 1 Optimal values of uncertain parameters in the norma-lized space in example 1

設(shè)計(jì)方法E?F?xF?yRBTO,γ=1.0-0.5497-0.5589-0.6208RBTO,γ=1.2-0.6692-0.6663-0.7404RBTO,γ=1.4-0.7917-0.7722-0.8584RBTO,γ=1.6-0.9171-0.8766-0.9749

圖7顯示了不同可靠性指標(biāo)的迭代過(guò)程，由圖可見(jiàn)，RTOD所需的拓?fù)鋬?yōu)化迭代次數(shù)比基于確定性的拓?fù)鋬?yōu)化迭代次數(shù)更少。從數(shù)值算例中可以看出，該方法在求解整體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)將拓?fù)渑c可靠性分析解耦分離，通過(guò)將變量與目標(biāo)函數(shù)映射成顯式呈現(xiàn)，再經(jīng)過(guò)可靠性分析，即可求得指定可靠性指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的可靠性能值。

表2 非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

Table 2 Results of non-probabilistic reliability topology optimization design

設(shè)計(jì)方法材料體積/mm3總迭代次數(shù)可靠性分析評(píng)估次數(shù)拓?fù)鋬?yōu)化迭代次數(shù)DTO5.666×102——34RTOD,γ=1.07.636×102401228RTOD,γ=1.27.842×10235728RTOD,γ=1.48.083×10235728RTOD,γ=1.68.557×10230723

圖7 拓?fù)鋬?yōu)化迭代進(jìn)程Fig.7 Topology optimization iterative process

4.2 算例2

將應(yīng)變能約束下的可靠性應(yīng)用于如圖8所示的受變動(dòng)載荷影響的三維框架結(jié)構(gòu)(算例2)。結(jié)構(gòu)左側(cè)端面固定，隨機(jī)載荷作用于右側(cè)端面的中心。采用單元大小為4 mm的有限元方法，設(shè)計(jì)域包含4 961個(gè)節(jié)點(diǎn)和4 000個(gè)單元。所施加的載荷為均勻分布的隨機(jī)變量，平均載荷F1為200 N，F(xiàn)2為

圖8 三維框架設(shè)計(jì)區(qū)域Fig.8 3D frame design domain

表3 算例2中不確定參數(shù)在標(biāo)準(zhǔn)化空間的最優(yōu)值

Table 3 Example 2 optimal values of uncertain parameters in the normalized space

設(shè)計(jì)方法E?F?1F?2F?3RBTO,γ=1.0-0.50830.84470.10650.1292RBTO,γ=1.2-0.63171.00000.12960.1553RBTO,γ=1.4-0.93451.00000.18750.2271

表4 三維框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果Table 4 3D frame structure optimization results

圖9 結(jié)構(gòu)確定性與不確定性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果分析

Fig.9 Results analysis of structural deterministic and uncertain topology optimization

圖10 原始密度灰度圖Fig.10 Original density grayscales

在算例2中，內(nèi)優(yōu)化搜索在每個(gè)內(nèi)部循環(huán)中的迭代次數(shù)獨(dú)立于外部迭代次數(shù)，需調(diào)用函數(shù)的次數(shù)非常小，表明了這種性能函數(shù)評(píng)估方法所固有的穩(wěn)健特性。圖11、12所示為整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域優(yōu)化的迭代過(guò)程。整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中，目標(biāo)函數(shù)不斷下降，經(jīng)過(guò)25次迭代后逐漸達(dá)到穩(wěn)定，結(jié)構(gòu)的優(yōu)化迭代趨勢(shì)基本一致。

圖12 拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)變能迭代進(jìn)程Fig.12 Topology optimization iterative process of strain energy

5 結(jié)語(yǔ)

文中利用基于超橢球凸模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，結(jié)合區(qū)間Chebyshev多項(xiàng)式提出一種基于非概率模型的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法將RTOD問(wèn)題分離為獨(dú)立的可靠性分析與等價(jià)形式的確定性拓?fù)鋬?yōu)化，運(yùn)算中的迭代次數(shù)相比確定性拓?fù)鋬?yōu)化的迭代次數(shù)更少。本研究為參數(shù)具有隨機(jī)性但有界的結(jié)構(gòu)體的可靠性拓?fù)湓O(shè)計(jì)提供了一種有效的方法，并驗(yàn)證了材料和荷載的不確定性在應(yīng)變能約束問(wèn)題的拓?fù)湓O(shè)計(jì)中起著重要的作用。文中算例分析表明，基于可靠性的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)由于定量考慮了影響結(jié)構(gòu)性能的各種不確定因素，因此能更加有效地衡量結(jié)構(gòu)的安全性和經(jīng)濟(jì)性，使設(shè)計(jì)結(jié)果更加合理。

在拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中，載荷、邊界條件等因素可能會(huì)影響拓?fù)鋬?yōu)化的最終拓?fù)湫螤?，因此，后續(xù)研究中將深入探討拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)算法，并對(duì)同時(shí)存在隨機(jī)變量與區(qū)間變量的情形進(jìn)行討論。