李曉然 劉曉婉 岳芹

摘 要：由于猶豫模糊語言能更精確地表達(dá)決策者意見，引起了很多研究者興趣，越來越多的研究涉及猶豫模糊語言集結(jié)技術(shù)以及猶豫模糊語言多屬性決策方法.本文首先基于Frank t-范數(shù)和t-余模，定義出猶豫模糊語言的Frank運(yùn)算法則.并在此基礎(chǔ)上，提出猶豫模糊語言Frank加權(quán)算術(shù)平均算子和猶豫模糊語言Frank加權(quán)幾何平均算子.新算子是HFLWA和HFLWG算子的推廣，并含有一個(gè)能體現(xiàn)決策者情感的參數(shù)，使得決策過程更加靈活.最后提出一種猶豫模糊語言多屬性決策方法，綠色供應(yīng)商選取案例表明方法的可行性和有效性.

關(guān)鍵詞：多屬性決策;Frank t-范數(shù);Frank t-余模;猶豫模糊語言;集結(jié)算子

中圖分類號：F274? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 文章編號：1673-260X（2020）05-0051-05

1 引言

科學(xué)合理表述決策者對候選方案的評價(jià)，在多屬性決策問題處理中至關(guān)重要.在實(shí)際決策中，由于決策對象的模糊性和復(fù)雜性，決策者在很多場合難以用定量的方式進(jìn)行評價(jià).此時(shí)選擇語言術(shù)語來進(jìn)行描述，更貼近人類的認(rèn)知過程.最早使用的語言信息建模技術(shù)是Zadeh提出的模糊語言方法[2]，盡管不能像數(shù)值變量那樣精確建模，但這種語言建模技術(shù)增加了決策模型的靈活性與可靠性，因而得到廣泛應(yīng)用.為豐富和完善語言建模技術(shù)，一些學(xué)者進(jìn)一步提出2-tuple模糊語言[3]、不確定模糊語言[4]、直覺模糊語言[5]等建模方法.

但當(dāng)決策者在幾個(gè)語言術(shù)語間猶豫不決時(shí)，上述方法難以準(zhǔn)確進(jìn)行建模.為解決這一情況，Rodriguez et al.將猶豫模糊數(shù)和模糊語言相結(jié)合，提出一種新的方法——猶豫模糊語言[6]，概念一經(jīng)提出就受到廣泛關(guān)注.目前，已有一些文獻(xiàn)用集結(jié)算子來求解猶豫模糊語言信息集結(jié)問題.Liu等人將猶豫模糊語言轉(zhuǎn)化為模糊區(qū)間數(shù)并結(jié)合OWA算子求解多屬性決策問題[7];Wei等人將猶豫模糊語言轉(zhuǎn)化為不確定語言，在此基礎(chǔ)上給出其排序方法和有序加權(quán)平均算子求解多屬性決策問題[8];Zhang等人在保留猶豫模糊語言結(jié)構(gòu)的前提下，提出猶豫模糊語言加權(quán)算術(shù)平均算子和幾何平均算子，用來求解多屬性決策問題[9];Xu等人將冪平均算子引入到猶豫模糊語言環(huán)境中，并給出猶豫模糊語言有序冪平均算子求解多屬性群決策問題[10].

上述猶豫模糊語言集結(jié)算子都是建立在代數(shù)和及代數(shù)積的基礎(chǔ)上，而這2種運(yùn)算是t-范數(shù)和t-余模的特例.Frank算子簇是目前僅有的滿足相容定律的算子簇，并具有Einstein以及Hamacher t-范數(shù)和t-余模的特性[11].更重要的是，F(xiàn)rank t-范數(shù)和t-余模含有一個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)，因而比其他范數(shù)和余模更具靈活性.Yager將Frank t-范數(shù)和t-余模應(yīng)用于近似推理[12];Wang和He在Frank t-范數(shù)和t-余模基礎(chǔ)上定義了一系列的概率邏輯算子[11];Qin等人給出了Type-2型區(qū)間三角模糊數(shù)的Frank集結(jié)算子，并應(yīng)用于多屬性群決策問題求解[13];Zhang等人定義了直覺模糊集的Frank運(yùn)算法則，進(jìn)而提出直覺模糊Frank非線性加權(quán)平均算子[14].但至今還未有文獻(xiàn)討論猶豫模糊語言環(huán)境下的Frank運(yùn)算法則以及相應(yīng)的信息集結(jié)算子.本文將Frank運(yùn)算引入到猶豫模糊語言環(huán)境下，并提出相關(guān)的集結(jié)算子，討論其相關(guān)性質(zhì)以及與現(xiàn)有算子的關(guān)系.此外本文還提出一種基于Frank猶豫模糊語言集結(jié)算子的多屬性決策方法，并運(yùn)用于綠色供應(yīng)商推薦系統(tǒng)中，對手機(jī)電池供貨商進(jìn)行排序.

2 預(yù)備知識

模糊語言決策是一種用語言變量來近似代替定量描述的方法.設(shè)S={s？琢|？琢=0，1，…，t}是一個(gè)有限的有序語言評估標(biāo)度集，其中s？琢表示可能的語言術(shù)語.通常要求S滿足下列條件：

但上述評估標(biāo)度集S是由離散的語言變量組成，不利于計(jì)算和決策分析，同時(shí)在決策過程中容易引起初始信息流失，因此徐[15]將上述離散的語言標(biāo)度集推廣至連續(xù)的語言標(biāo)度集S={s？琢|？琢∈[0，p]}，其中p（p>t）為足夠大的正整數(shù).若s？琢∈S則稱之為原術(shù)語，否則稱s？琢為拓展術(shù)語.原術(shù)語用來評估決策對象，拓展術(shù)語只出現(xiàn)在信息的集結(jié)過程中.設(shè)s？琢，s？茁，∈S，？姿，？姿1，？姿2∈[0，1]，連續(xù)語言標(biāo)度集的運(yùn)算法則定義如下[18]：

當(dāng)決策中出現(xiàn)決策者對元素的隸屬度在幾個(gè)數(shù)值間猶豫不決時(shí)，Torra提出猶豫模糊集來處理這種情況.而類似情況可能會出現(xiàn)在定性描述中，即決策者在幾個(gè)語言術(shù)語間猶豫不決.為此，Rodriguez et al.定義了猶豫模糊語言術(shù)語集.

定義1[6] S={s？琢|？琢=0，1，…，t}是一個(gè)有限的有序語言評估標(biāo)度集.稱Hs={|xi∈X，i=1，…，n}為論域X上的猶豫模糊語言術(shù)語集（Hesitant Fuzzy Linguistic Term Set，HFLTS），hs（xi）表示語言評估標(biāo)度S的某個(gè)子集，記為HFLE（Hesitant Fuzzy Linguistic Element，HFLE），hs（xi）={s？濁l（xi）|s？濁l（xi）∈S，l=1，2，…，L}，其中L表示hs（xi）的元素個(gè)數(shù).

例1 質(zhì)量管理是以質(zhì)量為核心的策劃、協(xié)調(diào)和控制的一系列復(fù)雜活動，其中許多因素很難定量刻畫，定性描述是人們常用的一種表述方式.某決策者為評價(jià)2臺自動化操作系統(tǒng)x1與x2的復(fù)雜性，建立了語言評估標(biāo)度S={s0：非常復(fù)雜，s1：復(fù)雜，s2：稍復(fù)雜，s3：正常，s4：稍簡單，s5：簡單，s6：非常簡單}.決策者最后得出的評價(jià)Hs={，

3 猶豫模糊語言Frank加權(quán)平均算子

定義2 設(shè)S={s0，s1，…，st}為語言評估標(biāo)度，h1，h2，…，hn為定義在S上的HFLEs且權(quán)重向量為{w1，w2，…，wn}T，wi∈[0，1]，wi=1.有映射HFLFWA：hn→h，若

HFLFWA（h1，h2，…，hn）=w1·Fh1？茌Fw2·Fh2？茌F…

？茌Fwn·Fhn

則稱HFLFWA為n維猶豫模糊語言的Frank加權(quán)算術(shù)平均算子.特別的，若wi=1/n，i=1，…，n，則有

稱為n維猶豫模糊語言的Frank算術(shù)平均算子.

定義3 設(shè)S={s0，s1，…，si}為語言評估標(biāo)度，h1，h2，…，hn為定義在S上的HFLEs且權(quán)重向量為{w1，w2，…，wn}，wi∈[0，1]，wi=1.有映射HFLFWG：hn→h，若

則稱HFLFWA為n維猶豫模糊語言的Frank加權(quán)幾何平均算子.特別的，若wi=1/n，i=1，…，n，則有

稱之為n維猶豫模糊語言的Frank幾何平均算子.

4 猶豫模糊語言多屬性決策方法

設(shè)X={x0，x1，…，xn}為離散的方案集，相應(yīng)的屬性集為G={g0，g1，…，gl}，屬性權(quán)重向量為w={w1，w2，…，wl}T，wi∈[0，1]，wi=1.決策者對備選方案給出猶豫模糊語言評價(jià)，得到猶豫模糊語言決策矩陣H=（hij）n×l.

針對上述多屬性決策問題，利用前文所定義的Frank集結(jié)算子，給出如下的求解步驟.

步驟1 給出猶豫模糊語言決策矩陣H=（hij）n×l的規(guī)范化矩陣H=（hij）n×l，其中

hij=hij? gj為效益型屬性N（hij） gj為成本性屬性

步驟2 利用猶豫模糊語言Frank集結(jié)算子對候選方案的屬性值hij，j=1，2，“，l進(jìn)行集結(jié)，得到候選方案xi的綜合評價(jià)值：

hi=HFLFWA（hi1，hi2，…，hij），i=1，2，…，n

步驟3 假定hi={s？濁l|s？濁l∈S，l=1，2，…，L}，計(jì)算候選方案的得分值？滋（hi）=？濁i和方差值v（hi）=

步驟4 利用下述規(guī)則對方案xi的綜合評價(jià)值hi（i=1，2，…，n）進(jìn)行排序.

（i）若v（h1）=v（h2），則h1=h2;

（ii）若v（h1）>v（h2），則h1

（iii）若v（h1）h2.

步驟5 依據(jù)hi的大小順序?qū)Q策方案進(jìn)行排序并選擇最優(yōu)方案，hi越大表示決策方案越好.

5 實(shí)例分析

例2[17] 隨著科技的飛速發(fā)展以及民眾生活水平的提高，智能電子數(shù)碼產(chǎn)品走進(jìn)了人們的生活，并給人們帶來了極大的便利，其中手機(jī)更是成為生活和工作必不可少的工具.工信部2015年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，我國移動電話總戶已經(jīng)超過13億，伴隨著手機(jī)更新?lián)Q代的頻率加快，廢舊手機(jī)電池對環(huán)境造成了極大的危害.因此，為手機(jī)制造商尋求綠色電池供應(yīng)商尤為重要.某品牌手機(jī)公司有五個(gè)可供選擇的電池貨源，為選擇出最佳綠色供應(yīng)商，該公司結(jié)合自身情況制定了五個(gè)評價(jià)指標(biāo)：產(chǎn)品質(zhì)量（g1）、使用環(huán)境友好型的材料與生產(chǎn)技術(shù)（g2）、創(chuàng)新能力（g3）、產(chǎn)品價(jià)格（g4），其權(quán)重向量為w=（0.4，0.2，0.2，0.2）T.決策專家建立了語言評估標(biāo)度集：S={s0：極差，s1：差，s2：有點(diǎn)差，s3：正常，s4：有點(diǎn)好，s5：好，s6：極好}，在此基礎(chǔ)上，給出如下的猶豫模糊語言評價(jià).

下面用本文的決策方法，為手機(jī)生產(chǎn)廠家提供供應(yīng)商的排序.

步驟1 本題涉及的4個(gè)屬性都是效益型的指標(biāo)，因此不需要進(jìn)行規(guī)范化.

步驟2 利用猶豫模糊語言Frank集結(jié)算子對候選方案的綜合屬性值進(jìn)行集結(jié)，結(jié)果如表2和3所示.

步驟3 利用方案x1的綜合屬性值對決策方案進(jìn)行排序（如表4所示），并選擇最優(yōu)方案.

由此可見，無論？姿如何變化，兩種算子所得排序結(jié)果始終保持不變，均認(rèn)為x3是最佳手機(jī)供應(yīng)商.從表2、表3可見，隨著？姿的增大，HFLFWA算子給出的信息集結(jié)值逐漸減小，而HFLFWG算子給出的信息集結(jié)值逐漸增大.事實(shí)上，我們可以證明HFLFWA算子是關(guān)于？姿的單增函數(shù)，HFLFWG算子是關(guān)于？姿的單減函數(shù).故在決策過程中，可以將？姿看成決策者的情感指數(shù).在悲觀的情緒下，HFLFWA算子選擇較大的？姿，而HFLFWG算子選擇選擇較小的？姿;在樂觀的情緒下，HFLFWA算子選擇較小的？姿，而HFLFWG算子選擇選擇較大的？姿.

6 比較分析

自2012年猶豫模糊語言這一概念提出至今，已引起眾多研究者的興趣，并提出一些猶豫模糊語言多屬性決策方法.現(xiàn)有的方法大致可劃分為三類：第一類是利用經(jīng)典的排序算法進(jìn)行排序，例如王堅(jiān)強(qiáng)等人利用ELECTRE排序方法給出決策方案，廖虎昌等人利用VIKOR

排序方法給出決策方案;第二類以引言部分所描述的文獻(xiàn)[7]和[8]為代表，在決策過程中將猶豫模糊語言轉(zhuǎn)化成區(qū)間值的形式進(jìn)行信息集結(jié);第三類和本文的方法相同，在信息集結(jié)過程中保留猶豫模糊語言的結(jié)構(gòu)，兼顧每一個(gè)語言元素.這里我們在三種方法中各選取一種較為典型的方法與本文給出的方法進(jìn)行對比.

通過表4可知4種方法主要區(qū)別在決策途徑和運(yùn)算法則.文獻(xiàn)[18]使用ELECTRE排序方法，這種方法雖然能極大保留原有決策信息，但不便于計(jì)算，尤其是屬性較多時(shí)更為突出;正如文獻(xiàn)[18]所指出文獻(xiàn)[8]在利用算子集結(jié)的過程中，將猶豫模糊語言轉(zhuǎn)化為區(qū)間值，這種方式容易丟失決策信息，使得決策結(jié)果可信度降低;文獻(xiàn)[9]和本文的方法克服了文獻(xiàn)[8]的缺點(diǎn)，但文獻(xiàn)[9]采用的算子是普通代數(shù)運(yùn)算，是Frank運(yùn)算法則的特例，本文的決策方法更具有普遍性.同時(shí)Frank算子中含有的參數(shù)？姿，可體現(xiàn)決策者的情感因素，從而使決策過程更加靈活，在實(shí)際應(yīng)用中更為方便.

任何一種方法都不可能在一切情形下占有優(yōu)勢，方法都有優(yōu)缺點(diǎn).例如文獻(xiàn)[8]的方法盡管易導(dǎo)致信息丟失，但計(jì)算簡潔、效率高.我們所要做的是針對不同的決策環(huán)境和決策問題，選擇合理的決策方法.

7 結(jié)論

在多屬性決策過程中，由于事物的復(fù)雜性和不確定性，越來越多的人使用猶豫模糊語言來建模.盡管已有一些猶豫模糊語言的集結(jié)算子，但它們大都是建立在普通的代數(shù)運(yùn)算上，在集結(jié)的過程中缺乏靈活性.本文在Frank t-范數(shù)和t-余模的基礎(chǔ)上，給出了猶豫模糊語言Frank加權(quán)算術(shù)平均算子和猶豫模糊語言的Frank加權(quán)幾何平均算子，并探討了算子的相關(guān)性質(zhì)，給出了一種求解猶豫模糊語言多屬性問題的方法，實(shí)驗(yàn)證明新方法的有效性與可行性.下一步的工作是探討算子在區(qū)間猶豫模糊語言信息集結(jié)以及多屬性群決策問題求解中的應(yīng)用.

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