孟 宗, 呂 蒙, 殷 娜, 李 晶

(燕山大學(xué) 河北省測(cè)試計(jì)量技術(shù)及儀器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 河北 秦皇島 066004)

1 引 言

滾動(dòng)軸承在各種旋轉(zhuǎn)機(jī)械中應(yīng)用廣泛,其運(yùn)行狀態(tài)往往影響整臺(tái)機(jī)器的性能,對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行狀態(tài)監(jiān)測(cè)以及故障診斷具有重要意義。當(dāng)軸承發(fā)生損傷時(shí),其振動(dòng)信號(hào)表現(xiàn)為非線性、非平穩(wěn)、非高斯特征,且信號(hào)微弱、調(diào)制性強(qiáng)、背景噪聲大,使故障特征淹沒在強(qiáng)背景噪聲中,難以提取[1,2]。目前常見的非線性非平穩(wěn)處理方法有:經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition,EMD)、局部均值分解(local mean decomposition,LMD)等。以上方法在軸承故障信號(hào)處理中都得到了良好的效果[3],但也有各自的局限性。EMD分解缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),容易產(chǎn)生模態(tài)混疊、端點(diǎn)效應(yīng)[4],并且存在算法效率低等問題;LMD分解存在迭代計(jì)算量大、由解調(diào)引起的信號(hào)突變等問題[5]。變分模態(tài)分解(variational mode decomposition,VMD)是最近提出的一種信號(hào)分解方法,該方法具有較好的抗噪性和更高的頻域分辨力,能夠提取出較微弱的信號(hào)成分[6]。然而VMD分解必須提前設(shè)定分解層數(shù),層數(shù)設(shè)置不當(dāng)會(huì)引起模態(tài)混疊或者大量虛假分量的產(chǎn)生[7]。文獻(xiàn)[8]使用蛙跳算法搜索VMD算法的最優(yōu)參數(shù),文獻(xiàn)[9]通過粒子群算法搜索VMD分解的最佳參數(shù),以上方法都以包絡(luò)熵作為判斷標(biāo)準(zhǔn)。這些方法不但計(jì)算繁瑣,其效果在很大程度上受到優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)定的影響,并且沒有足夠的理論依據(jù)。

本文利用改進(jìn)的奇異值分解(singular value decomposition, SVD)對(duì)故障信號(hào)降噪[10～12],通過奇異值平均下降速度法確定有效奇異值個(gè)數(shù);并通過能量占比確定VMD分解的最佳分解層數(shù),將根據(jù)相關(guān)系數(shù)判斷為分解自同一調(diào)頻部分的分量信號(hào)作為一個(gè)整體處理,最后對(duì)分解得到的IMF分量進(jìn)行包絡(luò)解調(diào)提取故障特征,判斷故障類型。

2 改進(jìn)變分模態(tài)分解方法

2.1 變分模態(tài)分解原理

VMD算法通過不斷地迭代搜索變分模態(tài)最優(yōu)解來確定每個(gè)分量的中心頻率和帶寬。將原信號(hào)非遞歸地分解為一系列限帶寬的固有模態(tài)函數(shù),最終得到的分量信號(hào)在頻域中具有一定的稀疏特性。進(jìn)行K階分解時(shí)(K是分解層數(shù)),產(chǎn)生的約束變分問題為:

(1)

式中:∑kuk=f為約束條件;{uk}={u1,…,uK}和{ωk}={ω1,…,ωK}為所有的分量和中心頻率,k=1,…,K。引入增廣拉格朗日函數(shù)來求解以上約束變分問題[13],即:

L({uk},{ωk},λ)=

(2)

利用交替方向乘數(shù)法(ADMM)求上述拉格朗日函數(shù)的鞍點(diǎn),詳細(xì)步驟如下。

2)令n=n+1,進(jìn)行K次循環(huán),先對(duì)uk更新,隨即更新相應(yīng)的ωk,直到K個(gè)分量全部更新完畢;

3)采用對(duì)偶上升法更新λ:

(3)

判斷是否滿足收斂條件:

(4)

若不滿足則返回步驟(2),滿足則循環(huán)停止,得到最終的K個(gè)分量。

2.2 能量占比確定分解層數(shù)

VMD分解需要提前設(shè)定分解層數(shù),理想情況下的分解層數(shù)恰好等于信號(hào)中包含的窄帶分量個(gè)數(shù)。分解層數(shù)與衰減因子α共同作用,對(duì)分解效果產(chǎn)生影響[14]:

1)層數(shù)太少導(dǎo)致分解不徹底,某些頻帶內(nèi)的有效信息包含在其他分量中從而產(chǎn)生模態(tài)混疊(α偏小)或作為“噪聲”丟棄(α偏大);

2)太多的分解層數(shù)會(huì)將噪聲作為有效分量分離出來(α偏小),或者使得若干分量的中心頻率重合(α偏大)。

VMD分解得到的全部分量的能量之和與原信號(hào)能量接近程度,稱作能量占比,反映了VMD分解效果。能量占比的定義如下:

(5)

式中:uk為第k個(gè)分量信號(hào);f為原信號(hào)。由于VMD本質(zhì)上是一種維納濾波,遠(yuǎn)離分量中心頻率的頻段會(huì)產(chǎn)生衰減,因此總有能量占比P<1。

能量占比隨分解層數(shù)的變化情況如下:

1)當(dāng)分解層數(shù)K設(shè)置偏小時(shí),無論α的值如何,都會(huì)導(dǎo)致能量的較大幅度丟失,此時(shí)的能量占比小于理想情況,分解層數(shù)越接近理想情況,則能量占比越大;

2)當(dāng)K設(shè)置偏大,α也偏大時(shí),也會(huì)導(dǎo)致原信號(hào)能量的損失,能量占比再次下降;

3)而當(dāng)α偏小時(shí),部分噪聲會(huì)作為有效分量被分解出來,但由于噪聲信號(hào)在頻帶上能量分散,因此分解自噪聲的分量一般能量很小,此時(shí)能量占比相對(duì)最佳分解層數(shù)時(shí)會(huì)略微增大。

因此,在分解前對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪,并合理設(shè)置α的前提下,能量占比首次達(dá)到極值時(shí)的分解層數(shù)就是最佳分解層數(shù)。

2.3 相關(guān)系數(shù)識(shí)別調(diào)頻成分

實(shí)際采集到的信號(hào)大多為調(diào)制信號(hào),存在調(diào)幅調(diào)頻成分,相對(duì)于單一頻率的信號(hào),調(diào)頻信號(hào)的頻譜較寬,由于VMD算法只能保證分量的準(zhǔn)正交性,因此VMD分解時(shí)有可能將信號(hào)中的調(diào)頻成分分解到多個(gè)分量之中[15]。當(dāng)α較大時(shí),導(dǎo)致IMF分量的頻帶較寬,更容易識(shí)別調(diào)頻成分,但也容易產(chǎn)生模態(tài)混疊;α較小時(shí),模態(tài)混疊較少,但調(diào)頻成分更容易被分解到多個(gè)分量之中。

由于實(shí)際信號(hào)中既有頻率接近并互相獨(dú)立的單一頻率成分,又有占頻帶較寬的調(diào)頻成分,因此不存在一個(gè)α的最優(yōu)值能夠兼顧頻域分辨力和保留調(diào)頻成分的能力。

本文通過將α設(shè)置為歸一化采樣頻率的2倍,保留了VMD的頻域分辨力,對(duì)于調(diào)頻分量是否被分解到不同分量中,通過中心頻率相鄰的分量間的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行判斷并作出修正,相關(guān)系數(shù)為:

(6)

式中:ui、ui+1為中心頻率相鄰的2個(gè)分量信號(hào),其中Cov(ui,ui+1)為ui與ui+1的協(xié)方差,D(ui)為ui的方差。相關(guān)系數(shù)越大,說明兩者在頻域上有更多的重疊,ρ>0.1時(shí),認(rèn)為兩分量分解自同一調(diào)頻部分,相加作為一個(gè)分量處理。

3 基于SVD和改進(jìn)VMD的故障診斷方法

本文使用奇異值分解中的奇異值平均下降速度法對(duì)原信號(hào)進(jìn)行降噪處理,對(duì)于以N個(gè)點(diǎn)組成的采樣時(shí)間序列f構(gòu)造的Hankel矩陣Am×n,其中m為最接近N/2的整數(shù)[16],必然存在兩正交矩陣U∈Rm×m和V∈Rn×n,其中Rm×m表示m×m維的歐氏空間,使得:

A=UDVT

(7)

式中: 方陣D=(diag(σ1,σ2,…,σq),0)或其轉(zhuǎn)置;0表示零矩陣,q=min(m,n),σ一般按降序排列。

為合理描述奇異值的變化,本文引入奇異值平均下降速度的概念,前k個(gè)奇異值的平均下降速度vk為:

(8)

實(shí)際下降速度的累計(jì)量為:

dk=vk×(k-1)=σ1-σk

(9)

總體平均下降速度累計(jì)量定義為:

(10)

實(shí)際信號(hào)分解得到的奇異值的下降速度整體上是逐漸減小的,并且有關(guān)系式:

c=dk-d0k>0, 1

(11)

在定義域(1,N)內(nèi)存在最大值cmax,以cmax對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)kc為界,取前kc-1個(gè)奇異值重新構(gòu)造矩陣,得到降噪后的信號(hào)。

用SVD對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪,提高信號(hào)的信噪比,然后將降噪后的信號(hào)用VMD進(jìn)行分解。針對(duì)VMD分解過程中的分解層數(shù)難以確定的問題,通過能量占比來評(píng)價(jià)分解效果,從而選取最優(yōu)分解層數(shù),并利用分量信號(hào)間的相關(guān)系數(shù)判斷分量是否屬于同一調(diào)頻分量。其診斷流程圖如圖1所示。

圖1 故障診斷框圖

4 仿真實(shí)驗(yàn)

構(gòu)造仿真信號(hào)f0(t)=f1(t)+f2(t),其中f1(t)和f2(t)的表達(dá)式為:

f1(t)=sin(4 π t)×sin(240 π t)

(12)

f2(t)=(1+cos(7 π t))cos(290 π t+2cos(10 π t))

(13)

該仿真信號(hào)由一個(gè)調(diào)頻調(diào)幅部分和一個(gè)調(diào)幅部分組成,n(t)為加性高斯白噪聲,服從正態(tài)分布:

n(t)～N(0,σ2)

(14)

其中σ為n(t)的標(biāo)準(zhǔn)差,這里令σ的值等于f0(t)的標(biāo)準(zhǔn)差,構(gòu)造帶噪聲信號(hào)f(t):

f(t)=f0(t)+n(t)

(15)

對(duì)f(t)進(jìn)行SVD降噪,用奇異值平均下降速度法確定有效奇異值個(gè)數(shù),并重構(gòu)信號(hào)。降噪前后的信號(hào)時(shí)域波形如圖2所示。

圖2 降噪前后仿真信號(hào)的時(shí)域波形

從圖2(a)可以看到,信號(hào)的上下包絡(luò)并不關(guān)于x軸對(duì)稱,說明仿真信號(hào)f(t)中除了一個(gè)調(diào)頻調(diào)幅成分和一個(gè)調(diào)幅成分外,還摻雜有隨機(jī)噪聲。通過奇異值平均下降速度法對(duì)f(t)降噪,降噪后的信號(hào)頻譜如圖2(b)所示,對(duì)比圖2(a)和圖2(b),經(jīng)過降噪有效去除了信號(hào)中的隨機(jī)噪聲和脈沖干擾。

不同的分解層數(shù)下,分解得到的能量占比如表1所示。發(fā)現(xiàn)分解層數(shù)K=3時(shí)能量占比最高,分解層數(shù)K>3時(shí)能量占比開始下降,這是由于在分解層數(shù)設(shè)置過高時(shí),導(dǎo)致若干分量的中心頻率向同一個(gè)值收斂,使能量占比下降。

表1 不同K值下仿真信號(hào)分解結(jié)果的能量占比

根據(jù)表1,設(shè)置分解層數(shù)為3層對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行VMD分解,然后計(jì)算中心頻率相鄰的分量信號(hào)的相關(guān)系數(shù)。如表2所示,分量的序號(hào)按其中心頻率從小到大確定。

表2 相鄰分量的相關(guān)系數(shù)

根據(jù)表2,ρ23>0.1,判斷2號(hào)分量和3號(hào)分量分解自同一調(diào)頻部分,即由f2(t)分解而來。1號(hào)分量分解自相對(duì)獨(dú)立的f1(t)。為驗(yàn)證以上判斷,求取u1與f1的瞬時(shí)頻率以及u23與f2的瞬時(shí)頻率分別進(jìn)行比較,如圖3所示。

圖3 分量與原信號(hào)成分瞬時(shí)頻率

從圖3可以看出,分量信號(hào)與原信號(hào)中對(duì)應(yīng)的頻率成分的瞬時(shí)頻率基本重合,圖3(b)驗(yàn)證了根據(jù)相關(guān)系數(shù)得出的第2和第3分量分解自原信號(hào)中同一調(diào)頻成分的判斷。通過分量信號(hào)的瞬時(shí)頻率,不僅可以判斷出原信號(hào)由一個(gè)調(diào)幅調(diào)頻部分和一個(gè)調(diào)幅部分組成,甚至可以進(jìn)一步估算兩者的解析式。而圖中存在的幾處分量與原信號(hào)成分的瞬時(shí)頻率曲線不重合的地方,其在很短的時(shí)間內(nèi)瞬時(shí)頻率變化很大,可以判斷為沖激噪聲殘留,并不影響最終的結(jié)果。

5 實(shí)測(cè)信號(hào)分析

本實(shí)驗(yàn)所用數(shù)據(jù)采自美國(guó)SQI公司生產(chǎn)的機(jī)械故障綜合模擬試驗(yàn)臺(tái),實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖4所示。

圖4 故障診斷實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

5.1 內(nèi)圈故障分析

滾動(dòng)軸承轉(zhuǎn)速為1 200 r/min, 人為在軸承內(nèi)圈上設(shè)置故障點(diǎn), 經(jīng)計(jì)算得到其故障特征頻率為98.3 Hz, 采樣頻率12.8 KHz,采樣點(diǎn)數(shù)4 096,用1號(hào)傳感器采集振動(dòng)信號(hào),其時(shí)域波形如圖5所示。

圖5 內(nèi)圈故障信號(hào)時(shí)域波形

首先對(duì)原始信號(hào)使用改進(jìn)的SVD降噪處理,根據(jù)奇異值平均下降速度法,選取2 048個(gè)奇異值的前347個(gè)進(jìn)行重構(gòu)。經(jīng)過降噪處理后,信號(hào)充分濾除了雜波,然后對(duì)降噪后的信號(hào)進(jìn)行VMD分解,首先確定分解層數(shù)。經(jīng)過試驗(yàn),當(dāng)分解層數(shù)K=5時(shí),分解結(jié)果的能量占比基本不再上升,然后開始緩慢下降。選擇5層作為分解層數(shù),對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行VMD分解,將各分量按中心頻率從小到大排列,并求取中心頻率相鄰的分量信號(hào)間的相關(guān)系數(shù),能量占比如表3所示,相關(guān)系數(shù)如表4所示。

表3 不同K值下仿真信號(hào)分解結(jié)果的能量占比

表4 相鄰分量的相關(guān)系數(shù)

根據(jù)表4可知,分量1與分量2、分量3與分量4分解自同一調(diào)頻部分,分別合并這些分量,然后用Hilbert變換求取各個(gè)有效分量的包絡(luò)譜,由于分量信號(hào)能量相差很大,取包含能量最多的3個(gè)IMF分量信號(hào)的包絡(luò)譜進(jìn)行分析。如圖6所示。

圖6 改進(jìn)方法下內(nèi)圈故障數(shù)據(jù)主要分量包絡(luò)譜

然后使用EMD分解算法對(duì)降噪后的信號(hào)進(jìn)行分解,與本文方法進(jìn)行對(duì)比。將分解得到的IMF分量按能量從大到小排列,選取包含能量最多的3個(gè)IMF分量求包絡(luò)譜,如圖7所示。

在圖7(b)中,特征頻率處不存在峰值,說明這是一個(gè)虛假分量;而圖6中,根據(jù)本文方法分解得到的全部3個(gè)分量的包絡(luò)譜中都出現(xiàn)了特征頻率峰值。這是因?yàn)樵诜纸膺^程中,部分頻率成分被分解到了多個(gè)分量之中,本文方法通過合并這部分相鄰分量,有效避免了虛假分量的產(chǎn)生。

5.2 外圈故障分析

外圈故障的時(shí)域波形如圖8所示。

對(duì)該信號(hào)使用文中方法進(jìn)行處理,首先使用SVD降噪,選取前311個(gè)奇異值重構(gòu)信號(hào),然后根據(jù)能量占比,確定分解層數(shù)K=6,包含能量最多的3個(gè)分量的包絡(luò)譜如圖9。滾動(dòng)軸承內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)頻率為20 Hz,經(jīng)計(jì)算得知滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障特征頻率為60.96 Hz。在圖9(c)分量的包絡(luò)譜中,60.6 Hz處有明顯的峰值,即為故障信號(hào)的特征頻率。

圖9 改進(jìn)方法下外圈故障數(shù)據(jù)主要分量包絡(luò)譜

同樣對(duì)外圈故障信號(hào)使用EMD方法進(jìn)行分解,同樣選取包含能量最多的3個(gè)分量求包絡(luò)譜,如圖10所示。

圖10 EMD方法下外圈故障EMD主要分量包絡(luò)譜

可以看到,在圖10中EMD方法得到的主要分量包絡(luò)譜在故障特征頻率處不存在峰值,因此無法通過該方法判斷故障類型。

由此可見,相對(duì)傳統(tǒng)方法而言,本文方法得到的包絡(luò)譜中干擾峰值更少,主要特征頻率更加突出,參數(shù)優(yōu)化的VMD方法能夠在濾除噪聲的基礎(chǔ)上,有效地提取出軸承故障信號(hào)的故障頻率。

6 結(jié) 論

1)軸承故障信號(hào)多為非平穩(wěn)、非線性的復(fù)雜信號(hào)。在對(duì)此類信號(hào)降噪時(shí),必須要考慮到信號(hào)的細(xì)節(jié)部分。本文通過奇異值平均下降速度來選擇有效奇異值個(gè)數(shù),將軸承故障信號(hào)中的噪聲濾除,充分保留了信號(hào)中的有效信息。

2)引入能量占比對(duì)信號(hào)分解效果進(jìn)行評(píng)價(jià),以確定最佳分解層數(shù),解決了VMD分解層數(shù)難以確定的問題,避免了分解過程中分解層數(shù)設(shè)置過少導(dǎo)致模態(tài)混疊或分解層數(shù)過多導(dǎo)致虛假分量現(xiàn)象的出現(xiàn)。

3)通過將彼此相關(guān)系數(shù)大于閾值的分量信號(hào)相加,作為一個(gè)分量處理,有效避免了信號(hào)中調(diào)頻成分被分解成若干分量的情況,結(jié)合包絡(luò)解調(diào),使故障特征頻率在包絡(luò)譜中更加突出。