姜強(qiáng) 劉天才 楊宏偉

摘 ? 要：本文以1/8堆芯子通道模型作為COBRA計(jì)算實(shí)例，以通道冷卻劑入口溫度、通道平均入口質(zhì)量流速、系統(tǒng)壓力等參數(shù)作為輸入不確定性源，選擇燃料最大溫度作為模型響應(yīng)值。使用UQLab，得到了不同抽樣樣本數(shù)下模型響應(yīng)值的概率密度分布、可能的范圍;同時(shí)應(yīng)用不同的敏感性分析方法，定量描述了模型響應(yīng)值受每個(gè)輸入變量不確定性影響的大小。

關(guān)鍵詞：UQLab ?COBRA ?不確定性量化

中圖分類號：TL333 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2020）02（b）-0076-04

Abstract： This paper uses a 1/8 core subchannel model as a COBRA calculation example. Channel inlet coolant temperature， average inlet mass flow rate， system pressure， and other parameters are used as the sources of input uncertainty. The maximum fuel temperature is taken as the model response. The probability density distribution and the possible range of the model response under different samples were obtained based on UQLab. At the same time， different sensitivity analysis methods were applied to quantitatively describe the influence of each input uncertainty on model response.

Key Words： UQLab; COBRA; Uncertainty Quantification

核能開發(fā)與應(yīng)用領(lǐng)域擁有大量不同規(guī)模的數(shù)值模擬軟件，并被廣泛應(yīng)用于模擬核電站、反應(yīng)堆等安全攸關(guān)系統(tǒng)，具體包括反應(yīng)堆設(shè)計(jì)、正常工況模擬、事故序列預(yù)測等方面。評估軟件計(jì)算的可靠性、模型響應(yīng)的穩(wěn)健性、可能的結(jié)果范圍，對于反應(yīng)堆工程設(shè)計(jì)至關(guān)重要，需要有科學(xué)、完善的不確定性量化技術(shù)。本文以COBRA軟件作為UQLab的分析算例，有效地量化了COBRA感興趣輸出參數(shù)的不確定性。

1 ?不確定性量化分析概述

主流不確定性量化分析的技術(shù)路線分為兩種：輸入不確定性傳播方法和輸出不確定性的推斷方法。前者主要思路是使用少量的不確定輸入?yún)?shù)，將主觀概率范圍和概率分布分配給這些參數(shù)，通過核心模型傳播不確定性來確定輸出參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性;后者的主要思路是使用一組相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為大量輸入?yún)?shù)建立不確定性數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)庫，再創(chuàng)建表征各種條件、瞬態(tài)等物理參數(shù)的超立方體，通過比較導(dǎo)出輸出參數(shù)的誤差帶。

通常，輸出不確定性的推斷方法要求有一個(gè)大型而全面的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)庫可用，輕水堆和沸水反應(yīng)堆的不確定性研究可以使用這種方法。但是，在高溫反應(yīng)堆或者快堆領(lǐng)域，只有非常有限的實(shí)驗(yàn)和運(yùn)行數(shù)據(jù)存在，輸入不確定性傳播方法往往是唯一可行的方法。

輸入不確定性傳播方法由于其較好的普適性，在國內(nèi)外得到了較為廣泛的應(yīng)用：德國GRS（Gesellschaft für Anlagen-und Reaktorsicherheit）基于輸入不確定性傳播方法，開發(fā)了SUSA（Software for Uncertainty and Sensitivity Analyses）不確定性分析軟件，廣泛地應(yīng)用于核反應(yīng)堆不確定性分析計(jì)算中。美國SANDIA國家實(shí)驗(yàn)室開發(fā)的多級并行面向?qū)ο罂蚣蹹AKOTA可用于設(shè)計(jì)優(yōu)化、參數(shù)估計(jì)、不確定性量化和靈敏度分析等領(lǐng)域，其可嵌入的特性在SNAP、TRACE等軟件中得到了廣泛的應(yīng)用。

2 ?UQLab簡介

UQLab是蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院（瑞士）開發(fā)的基于MATLAB的通用不確定性量化框架。由開源科學(xué)模塊組成，基于輸入不確定性傳播方法，通過蒙特卡羅采樣、敏感性分析、可靠性分析、構(gòu)建替代模型等進(jìn)行不確定性量化。

3 ?COBRA簡介

COBRA是歐洲研究人員于開發(fā)的子通道分析程序，并成功應(yīng)用到輕水堆計(jì)算程序NORMA、QUARK以及NORMA-FP的熱工水力計(jì)算部分。程序能夠進(jìn)行堆芯分析和子通道分析，在反應(yīng)堆工程熱工水力的設(shè)計(jì)中，COBRA使用極為廣泛。

COBRA程序采用固定格式的輸入文件，輸入?yún)?shù)包括堆芯線功率、通道冷卻劑入口溫度、通道平均入口質(zhì)量流速、系統(tǒng)壓力等。通過計(jì)算可得到燃料最大溫度、燃料平均溫度、冷卻劑平均溫度、堆芯入口到出口的平均壓降等結(jié)果。

4 ?COBRA計(jì)算不確定性量化

4.1 堆芯子通道計(jì)算模型

本文以1/8堆芯子通道模型作為COBRA計(jì)算實(shí)例。如圖1所示，所用主要參數(shù)見表1。在堆芯子通道計(jì)算的計(jì)算結(jié)果中，選擇燃料最大溫度作為感興趣輸出參數(shù)，初始參數(shù)下，計(jì)算結(jié)果為421.01K。

4.2 基于UQLab的不確定性量化

UQLab的不確定性量化使用的是參數(shù)不確定性的傳播方法，如圖2所示。本文使用腳本語言連接COBRA與UQLab，選擇通道冷卻劑入口溫度、線功率、系統(tǒng)壓力、格架位置、平均入口質(zhì)量流速作為不確定性源，人為指定各不確定性源概率分布函數(shù)，見表2。其中，X1表示平均值，X2表示標(biāo)準(zhǔn)差，各不確定性源的標(biāo)準(zhǔn)差均取平均值的1%。

首先分別使用蒙特卡洛抽樣（MC，Monte Carlo Sampling）、拉丁超立方抽樣（LHS，Latin Hypercube Sampling）得到10、50、100、300、1000、3000個(gè)樣本，再使用蒙特卡洛模擬方法估計(jì)燃料最大溫度的概率密度分布，如圖3所示。根據(jù)概率密度分布，統(tǒng)計(jì)各樣本數(shù)下概率密度極值及其對應(yīng)的燃料最大溫度，如圖4所示。

在圖3中，燃料最大溫度的概率密度分布隨著樣本數(shù)的增加趨于平滑、穩(wěn)定。其中，LHS抽樣方法1000個(gè)樣本與3000個(gè)樣本得到的概率密度分布幾乎完全重合，MC抽樣方法相同樣本的概率密度分布重合度略差。隨著樣本數(shù)的增加，LHS抽樣方法與MC抽樣方法得到的概率密度分布趨于一致，可以認(rèn)為，在模型設(shè)置的條件下，1000個(gè)抽樣樣本得到的分析結(jié)果已具有足夠的置信度。

在圖4中，隨著樣本數(shù)的增加，LHS抽樣和MC抽樣方法的概率密度極值及其對應(yīng)的燃料最大溫度趨于穩(wěn)定并重合。最終，MC抽樣方法的概率密度極值為0.1315，對應(yīng)的燃料溫度為421.02K;LHS抽樣方法的概率密度極值為0.1303，對應(yīng)的燃料溫度為420.86K。在初始參數(shù)下，模型的計(jì)算結(jié)果421.01K，說明COBRA子通道模型計(jì)算有較好的穩(wěn)健性。

4.3 基于UQLab的敏感性分析

UQLab提供多種敏感性分析方法，包括輸入/輸出相關(guān)性方法（Input/output correlation）、標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)方法（Standard Regression Coef?fcients）等。分別使用以上方法進(jìn)行堆芯子通道計(jì)算模型的敏感性分析，結(jié)果如表3所示，得到堆芯子通道計(jì)算模型敏感性指數(shù)如圖5。

在圖6中，通道冷卻劑入口溫度變化對堆芯子通道計(jì)算輸出的影響最為顯著，呈正相關(guān);通道平均入口質(zhì)量流速次之，呈負(fù)相關(guān);各方法對于通道冷卻劑入口溫度和通道平均入口質(zhì)量流速的分析結(jié)果相近。對于其他的輸入?yún)?shù)，各方法得到的敏感性指數(shù)的絕對值都較小，但相關(guān)性存在較大的區(qū)別?？梢哉J(rèn)為，在模型設(shè)置的條件下，某處線功率、系統(tǒng)壓力、格架位置的變化對輸出結(jié)果的影響是不顯著的，敏感性分析得到的相關(guān)性結(jié)果不具有置信度。

5 ?結(jié)語

本文以堆芯子通道模型作為COBRA計(jì)算實(shí)例，使用UQLab有效地量化了計(jì)算模型的不確定性與敏感性。在不確定性方面，使用蒙特卡洛模擬得到了不同抽樣樣本數(shù)下燃料最大溫度的概率密度分布、模型計(jì)算結(jié)果可能的范圍。在模型設(shè)置的條件下，1000個(gè)抽樣樣本分析得到的結(jié)果即具有較好的置信度;隨著樣本的增加，概率密度極值對應(yīng)的燃料最大溫度逐漸向初始參數(shù)下模型計(jì)算結(jié)果收斂，COBRA子通道模型計(jì)算的穩(wěn)健性較好。在敏感性方面，應(yīng)用輸入/輸出相關(guān)性方法、標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)方法、Morris方法定量評估了計(jì)算模型的敏感性。在模型設(shè)置的條件下，通道冷卻劑入口溫度和通道平均入口質(zhì)量流速對燃料溫度的影響最為顯著，其他輸入?yún)?shù)幾乎無影響且相關(guān)性結(jié)果不具有置信度。

在本計(jì)算實(shí)例中，輸入?yún)?shù)的概率分布函數(shù)類型、標(biāo)準(zhǔn)差均為人為指定，不能反映工程中的實(shí)際情況。輸入?yún)?shù)的分布類型、分布范圍對不確定性、敏感性分析結(jié)果都有顯著的影響。此外，在敏感性分析中，得到了不具有置信度的相關(guān)性結(jié)果，這不能被理解為所使用敏感性分析方法缺乏有效性，但表明了任何敏感性分析方法都不能在沒有專家指導(dǎo)的情況下運(yùn)行。

參考文獻(xiàn)

[1] Basile， D.， et al. "COBRA-EN， An Upgraded Version of the COBRA-3C/MIT Code for Thermal-Hydraulic Transient Analysis of Light Water Reactor Fuel Assemblies and Cores." Radiation Safety Information Computational Center， Oak Ridge National Lab （1999）. Ii

[2] Marelli S， Sudret B. UQLab： a framework for Uncertainty Quantification in MATLAB[J]. ETH-Zürich， 2015.

[3] Roderick O. Intrusive analysis for NEK5000： development of intrusive uncertainty quantification for high-dimensional， high-fidelity codes. [J]. Key Engineering Materials， 2012， 569-570：962-969.

[4] Abgrall R， Congedo P M， Corre C， et al. A simple semi-intrusive method for Uncertainty Quantification of shocked flows， comparison with a non-intrusive Polynomial Chaos method[J]. Ecomap Cfd， 2010.

[5] Abgrall R. A simple， flexible and generic deterministic approach to uncertainty quantifications in non-linear problems： application to fluid flow problems[J]. HAL - INRIA， 2008.