梁燕

【摘要】在數(shù)學(xué)中，規(guī)律探究是一種題型，是根據(jù)特殊的一列數(shù)字或一組圖形進(jìn)行類比、歸納、猜想找出存在的一般關(guān)系，從而列出代數(shù)式。規(guī)律探究題在歷年的中考題中屢見(jiàn)不鮮，題型可涉及填空選擇或解答題，它是近幾年中考試題的命題熱點(diǎn)。規(guī)律探究更是一種能力的體現(xiàn)，不僅考查了學(xué)生的分析觀察和總結(jié)歸納的能力，更是考查了學(xué)生的探究創(chuàng)新和解決問(wèn)題的能力。本文主要圍繞七年級(jí)數(shù)學(xué)規(guī)律題的常見(jiàn)類型和解題策略兩方面來(lái)進(jìn)行探究，引導(dǎo)七年級(jí)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)規(guī)律題的解題方法。

【關(guān)鍵詞】規(guī)律探究;數(shù)字圖形計(jì)算

學(xué)生由小學(xué)升入中學(xué)后，不僅學(xué)科的數(shù)量增加了，而且所學(xué)知識(shí)的廣度和深度也在增加，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科。例如，在抽象的代數(shù)世界里，奇妙的字母可以幫助我們方便地表達(dá)無(wú)數(shù)多的研究對(duì)象，在七年級(jí)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)后，把數(shù)字發(fā)展到了符號(hào)，因此，求解規(guī)律題的難度更是加大了。同時(shí)，七年級(jí)學(xué)生理性思維存在局限性，探究知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)不足，會(huì)導(dǎo)致有些七年級(jí)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律題感到困難，因此，如何引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變思維和掌握探索方法，是七年級(jí)數(shù)學(xué)教師面臨的重要任務(wù)。七年級(jí)數(shù)學(xué)的規(guī)律題大部分是數(shù)字中的規(guī)律和圖形中的規(guī)律，下面將圍繞這兩類常見(jiàn)的題型進(jìn)行解題策略的探究。

一、數(shù)字中的規(guī)律

1.按某種算法排列

例1：在如圖所示的數(shù)據(jù)運(yùn)算程序中，當(dāng)?shù)谝淮屋斎氲膞的值為2，結(jié)果輸出的是1，返回進(jìn)行第二次運(yùn)算則輸出的是6……，求第2019次輸出的結(jié)果。

解：把x=2代入得×2=1;把x=1代入得1+5=6;

把x=6代入得×6=3;把x=3代入得3+5=8;

把x=8代入得×8=4;把x=4代入得×4=2;

把x=2代入得×2=1;…

以此類推，由2019÷6=336…3，可得第2019次輸出的結(jié)果為3。

分析：規(guī)律通常隱藏在求解數(shù)列的過(guò)程中。此題把x=2代入程序中計(jì)算，當(dāng)把前7次的結(jié)果求出來(lái)后，則發(fā)現(xiàn)所有結(jié)果組成的數(shù)列具有周期性，以6個(gè)數(shù)字為一組，只要算出2019中有多少組，即可確定出第2019次輸出的結(jié)果。在這類型的規(guī)律題中，弄清題中的程序圖是解題的關(guān)鍵，程序圖中隱藏著代數(shù)式的求值，只要把求值的結(jié)果列出來(lái)，就可以快速地找出周期并得到一般性規(guī)律。

2.按某種形狀排列

例2：有一組數(shù)排成如圖（1）的形式，若繼續(xù)排下去，求第8行從左邊數(shù)第14個(gè)數(shù)。

解：觀察圖中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)：奇數(shù)是負(fù)數(shù)，偶數(shù)是正數(shù);每行最后一個(gè)數(shù)是這個(gè)行數(shù)（偶數(shù)）的平方或是這個(gè)行數(shù)（奇數(shù)）的平方的相反數(shù)。因此，第7行最后一個(gè)數(shù)字是﹣7×7=﹣49，那么第8行從左邊第14個(gè)數(shù)是：﹣（49+14）=﹣63。

分析：這種規(guī)律題的圖形往往隱藏著很多信息。首先此題所有的數(shù)都是按照“塔形”來(lái)排列;數(shù)列中還隱藏著符號(hào)的規(guī)律，奇數(shù)是負(fù)數(shù)，偶數(shù)是正數(shù);除此之外，隨著行數(shù)的增加，數(shù)列的排列個(gè)數(shù)等于行數(shù)的2倍減1，找出數(shù)字排列的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵。

另外，此題非常容易進(jìn)行變式，例如：如圖（2），將從1開(kāi)始的自然數(shù)按以下規(guī)律排列，位于第3行第4列的數(shù)是12，求位于第45行第1列的數(shù)和第7列的數(shù)。同樣的，仔細(xì)觀察數(shù)字排列的特點(diǎn)可知：第n行第一個(gè)數(shù)是n2，可得第45行第1列數(shù)是2025，推出第45行第7列的數(shù)是2025﹣6=2019。

3.按某種定義排列

例3：符號(hào)“a”，“b”分別表示一種運(yùn)算，它對(duì)一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：

（1）a（1）=0，a（2）=1，a（3）=2，a（4）=3，…，a（10）=9，…;

（2）b（）=2，b（）=3，b（）=4，b（）=5，…，b（）=11，…。

利用以上規(guī)律計(jì)算：b（）﹣a（2017）=（）

解：觀察運(yùn)算結(jié)果，設(shè)m、n為正整數(shù)，則有：a（m）=m﹣1;b（）=n?？傻茫篵（）﹣a（2017）=2017﹣（2017﹣1）=1。

分析：在這種規(guī)律題中，數(shù)列中的數(shù)字之間往往不存在很大的聯(lián)系，反而是與原數(shù)的關(guān)系密切。此題中的符號(hào)“a”“b”顯然是表示一種新定義運(yùn)算，要觀察每個(gè)數(shù)在新定義下的結(jié)果與原數(shù)之間的聯(lián)系與變化。例如，在m、n為正整數(shù)的前提下，對(duì)于運(yùn)算“a”是m與m﹣1的關(guān)系，對(duì)于運(yùn)算“b”是與n的關(guān)系，同時(shí)值得一提的是此題中的m與n并無(wú)聯(lián)系，但這一點(diǎn)往往是出題者進(jìn)行變式的依據(jù)。

二、圖形中的規(guī)律

1.求圖案中基礎(chǔ)圖形的個(gè)數(shù)

例4.下圖是一組有規(guī)律的圖案，求組成第（10）個(gè)圖案的基礎(chǔ)圖形的個(gè)數(shù)。

解：第（1）個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，4=3+1;第（2）個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，7=3×2+1;第（3）個(gè)圖案由10個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，10=3×3+1;…第（n）個(gè)圖案由（3n+1）個(gè)基礎(chǔ)圖形組成;所以，第（10）個(gè)圖案有10×3+1=31個(gè)基礎(chǔ)圖形。

分析：在圖形的規(guī)律題中，很顯然圖形是主角。這種類型規(guī)律題是求組成圖案的基礎(chǔ)圖形的個(gè)數(shù)問(wèn)題，每組圖案都按某種規(guī)律進(jìn)行變化，因此，仔細(xì)觀察每組圖案中基礎(chǔ)圖形數(shù)量的遞增變化是解題的關(guān)鍵。此題先寫(xiě)出前三個(gè)圖案中基礎(chǔ)圖形的個(gè)數(shù)，并得出后一個(gè)圖案比前一個(gè)圖案多3個(gè)基礎(chǔ)圖形，從而得出第（n）個(gè)圖案中基礎(chǔ)圖形的個(gè)數(shù)規(guī)律是（3n+1）個(gè)。

對(duì)于七年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，找出每組圖案中基礎(chǔ)圖形數(shù)量的遞增變化難度不大，但是有些題在計(jì)算上可能需要一些技巧。例如，把上題的圖案變?yōu)橄聢D，求第（10）個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)。此題不難發(fā)現(xiàn)圖案中正方形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，第（1）個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)為1;第（2）個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)為1+2=3;第（3）個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)為1+2+3=6;第（4）個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)為1+2+3+4=10;則第（10）個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)為1+2+3+…+10=55。對(duì)于七年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)列求和是高中代數(shù)的內(nèi)容，有一定難度，大部分?jǐn)?shù)列求和在計(jì)算上都需要一定的技巧。

2.求圖形分割后的個(gè)數(shù)

例5：將圖①中的正方形剪開(kāi)得到圖②;將圖②中的一個(gè)正方形剪開(kāi)得到圖③;將圖③中的一個(gè)正方形剪開(kāi)得到圖④……如此下去，求第2019個(gè)圖中共有多少個(gè)正方形。

解：觀察上圖，圖②中共有4個(gè)正方形，即3×0+4;圖③中共有7個(gè)正方形，即3×1+4;圖④中共有10個(gè)正方形，即3×2+4……圖n中共有正方形的個(gè)數(shù)為3（n﹣2）+4;所以，第2019個(gè)圖中共有正方形的個(gè)數(shù)為3（2019﹣2）+4=6055。

分析：例5與例4在圖形上形成鮮明對(duì)比，例4是“補(bǔ)”，例5是“割”。觀察圖案的變化，后一個(gè)圖案的正方形的個(gè)數(shù)都比前一個(gè)圖案的正方形的個(gè)數(shù)多3個(gè)，從而得到第（n）個(gè)圖案的正方形的個(gè)數(shù)為3（n﹣2）+4。此題的問(wèn)法和解法與上題非常相似，這兩個(gè)例題都是屬于“數(shù)”圖形的個(gè)數(shù)，把圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律，寫(xiě)出算式并觀察算式的基本結(jié)構(gòu)，通過(guò)比較算式中相同部分和不同部分的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)成用序號(hào)與變量表示的關(guān)系式。

除了利用數(shù)形結(jié)合的方法找出規(guī)律外，出題者往往會(huì)在問(wèn)法和解法這兩方面進(jìn)行變式，考查學(xué)生充分利用幾何圖形的特征和相關(guān)知識(shí)去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力。例如，將如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD紙片任意剪N刀，你能發(fā)現(xiàn)圖中的角存在什么數(shù)量關(guān)系嗎？此題借助添加輔助線，利用平行線的性質(zhì)可得：由圖1得∠1+∠3=∠2;由圖2得∠1+∠3+∠5=∠2+∠4;由圖3得∠1+∠3+∠5+∠7=∠2+∠4+∠6;則將矩形紙片任意剪N刀，會(huì)發(fā)現(xiàn)標(biāo)號(hào)為奇數(shù)的角的和等于標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的角的和。

探究數(shù)學(xué)規(guī)律題就是一個(gè)感受數(shù)學(xué)美的一個(gè)過(guò)程，不同類型的規(guī)律題都有各自不同的解題方法，只要我們不怕困難、積極探索，肯定能順利揭開(kāi)規(guī)律題的神秘面紗。

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