范旺

摘要：人教版高中物理必修Ⅱ中對(duì)于第二宇宙速度只進(jìn)行了簡(jiǎn)單的敘述，并沒有給出更多的解釋.本文通過介紹橢圓曲率半徑的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的動(dòng)力學(xué)知識(shí)導(dǎo)出這一結(jié)論.

關(guān)鍵詞：第一宇宙速度 第二宇宙速度 離心運(yùn)動(dòng)

在高中物理人教版必修Ⅱ《萬(wàn)有引力定律》一章的學(xué)習(xí)中，對(duì)人造衛(wèi)星的發(fā)射問題學(xué)生有普遍的認(rèn)識(shí)：“地球的第一宇宙速度值是7.9km/s，第二宇宙速度值是11.2km/s，當(dāng)發(fā)射衛(wèi)星的速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間時(shí)，衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，地球位于橢圓一個(gè)焦點(diǎn)上.”那么其中的道理何在呢？本文從動(dòng)力學(xué)角度來探討這一問題.

如圖1所示，圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星在圓軌道的A點(diǎn)點(diǎn)火加速后，衛(wèi)星將發(fā)生離心運(yùn)動(dòng)，只要速度合適衛(wèi)星就會(huì)圍繞地球沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，地球在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.

設(shè)衛(wèi)星沿圓軌道經(jīng)過A點(diǎn)的速度設(shè)為v1，沿橢圓軌道經(jīng)過A點(diǎn)速度設(shè)為v2，則沿圓軌道經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的向心加速度an1=v21r，其中r表示圓的半徑;沿橢圓軌道經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的法向加速度為an2=v22ρ，其中ρ為橢圓在A點(diǎn)的曲率半徑.根據(jù)牛頓第二定律，沿兩不同軌道經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)衛(wèi)星受到地球的引力大小、方向是一定的，因而an1=an2.因此要探討v1和v2的關(guān)系只需求出橢圓在該點(diǎn)的曲率半徑，問題就可迎刃而解.

一、求橢圓在點(diǎn)P處的曲率半徑

如圖2，設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸為a，橢圓的半短軸為b，焦距為2c.把橢圓投影在水平面上則投影圖形是圓，其半徑r=b.故圖中cos θ=ba.

設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿橢圓運(yùn)動(dòng)經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)速度為v，則質(zhì)點(diǎn)沿投影圓運(yùn)動(dòng)，在P點(diǎn)的速度也是v;另設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿橢圓經(jīng)過P點(diǎn)的法向加速度設(shè)為an1，沿圓經(jīng)過P點(diǎn)的向心加速度設(shè)為an2，可知：an2=an1·cos θ，而an2=v2r=v2b，an1=v2ρ，從而可以解出橢圓在P點(diǎn)的曲率半徑ρb2a，用同樣的方法也可求出橢圓在短軸兩端的曲率半徑.

二、討論在圖1中，v1和v2的關(guān)系

由an1=an2，其中r=a-c，ρ=b2a有：v21a-c=av22b2，由橢圓知識(shí)可知：a2=b2+c，故v2=a+cav1.而橢圓的離心率e=ca，0

若v1為地球的第一宇宙速度，則當(dāng)發(fā)射速度為7.9km/s

三、已知橢圓其中一個(gè)焦點(diǎn)、近拱點(diǎn)、離心率以

及表示橢圓在三維空間的傾向法向量，可以得到此橢圓的公式

1.根據(jù)焦點(diǎn)和近拱點(diǎn)，得到近拱點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離dp.

2.根據(jù)離心率、近拱點(diǎn)距離可以得到遠(yuǎn)拱點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離da.

3.根據(jù)近拱點(diǎn)、焦點(diǎn)以及遠(yuǎn)拱點(diǎn)距離，可以得到遠(yuǎn)拱點(diǎn)的坐標(biāo)值.

4.根據(jù)近拱點(diǎn)、遠(yuǎn)拱點(diǎn)即可得到橢圓的中心點(diǎn)坐標(biāo).

5.根據(jù)公式：半短軸=近拱點(diǎn)距離×遠(yuǎn)拱點(diǎn)距離，即可得到半長(zhǎng)軸b的長(zhǎng)度.

6.根據(jù)代表橢圓傾向的法向量n和長(zhǎng)軸方向的單位向量，兩者叉乘即可得到短軸方向上的單位向量，并且根據(jù)半短軸的長(zhǎng)度，即可得到半短軸向量.

7.已知半短軸向量、半長(zhǎng)軸向量，根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，即可得到橢圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)值.

四、結(jié)語(yǔ)

在人造地球衛(wèi)星軌道運(yùn)動(dòng)問題教學(xué)的過程中，常常會(huì)遇到一些教材討論較淺或沒有討論的實(shí)際問題，怎樣把這些疑難問題向?qū)W生講清楚，講得既生動(dòng)、有趣，又不犯科學(xué)性的錯(cuò)誤，這就要求我們教師必須 具有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，要不斷地學(xué)習(xí)，加深拓寬知識(shí)面，同時(shí)在設(shè)計(jì)教學(xué)方案時(shí)，恰當(dāng)?shù)貙⒁恍┫嚓P(guān)知識(shí)和處理問題的方法滲透到課堂教學(xué)中去，力求居高臨下，深入淺出地對(duì)問題進(jìn)行講解.

參考文獻(xiàn)：

[1] 嚴(yán)導(dǎo)淦主編，面向21世紀(jì)普通高等教育規(guī)劃教材物理學(xué)教程.上冊(cè) ，上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2002.8.

[2] 程稼夫編著，中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理（力學(xué)），合肥：中國(guó)科技大學(xué)出版社，2000.11.