劉新江 鄭 勇 李崇輝

(1 戰(zhàn)略支援部隊信息工程大學地理空間信息學院鄭州450001)

(2 61365部隊天津300140)

(3 地理信息工程國家重點實驗室西安710054)

(4 西安測繪研究所西安710054)

1 引言

天文方位角測量以大地水準面和鉛垂線為參考基準, 目前在可直接作為方位基準應用于工程測量的地面絕對定向方法中精度最高[1–2]. 在已知坐標的測站上, 觀測任意一顆識別天體的水平角和天頂距(天頂距法), 或者觀測水平角的同時記錄測瞬時刻(時角法), 都可以進行天文定向[3–5]. 天頂距法受大氣垂直折光影響大, 精度偏低, 高等級天文方位角測量采用時角法. 北極星亮度高, 赤緯接近90?, 視運動幅度很小, 因此, 北半球中緯度地區(qū)多采用北極星任意時角法測量天文方位角[6–9]. 但由于北極星并不正好位于北天極, 測量天文方位角之前必須已知測站的精確天文經(jīng)緯度. 此外, 低緯度和南半球地區(qū)根本無法觀測北極星. 有學者提出在低緯度地區(qū)采用子午星對法測量天文方位角, 每個星對為子午圈上南、北兩顆赤緯余弦與天頂距正弦之比相等或相近的恒星. 此方法測量精度較高, 但由于受配對條件限制, 在中、高緯度地區(qū)可觀測星對少, 等星時間較長[10]. 本文在分析中天星測定方位角的主要誤差后提出多星中天時角法, 只需已知測站的概略坐標即可, 省卻了復雜而精密的天文定位觀測; 不需要選星配對, 視域內(nèi)的全部中天天體均可用于觀測; 針對測站經(jīng)度誤差和計時誤差的影響, 建立回歸模型精密確定出測站至某一地面目標的天文方位角.

2 時角法測定天文方位角

在地平坐標系中, 地平經(jīng)度也稱方位角, 指測站子午面與天體垂直面之間的夾角. 在大地天文學中, 天文方位角特指測站所在子午面與通過地面上另一點(目標)的垂直面之間的夾角, 自正北方向起順時針量算, 值域范圍[0?, 360?). 因此, 天文方位角可以分解為某一天體與測站子午面間的夾角(即天體方位角)和天體與地面目標間的水平夾角, 概略定位定向后重復觀測地面目標和選定天體. 天體為運動目標, 其測量精度決定了天文方位角的精度水平.

2.1 時角法測定天體方位角誤差分析

時角法測定天體方位角A的基本公式:

式中,δ為天體赤緯,t為天體時角,φ為測站緯度.

不考慮恒星星表誤差, 僅考慮本地緯度誤差和時角測量誤差, 誤差方程為:

用q表示星位角,z表示天頂距, ?λ和?φ分別表示測站經(jīng)度誤差和緯度誤差, ?T表示計時誤差, 時角誤差?t=?T+?λ, 上式簡化后得

當A=0?或180?時, 測站緯度誤差對定向沒有影響; 當δ=90?或q=90?時, 測站經(jīng)度誤差和計時誤差對定向沒有影響.

2.2 北極星任意時角法

北極星任意時角法只觀測北極星, 忽略時角差異, 取各測回測量值的均值作為最終成果. 由于北極星并不恰好在北天極上, 其赤緯約為89?16′, 如果測站位置誤差和計時誤差較大, 仍會給定向帶來較大的影響. 圖1給出了北緯20?、45?和70?的測站上定向誤差隨時角的變化(令測站經(jīng)度誤差和計時誤差之和為5′′, 測站緯度誤差為5′′). 可以看出: (1)緯度越高, 定向誤差越大. 在低、中、高緯度測站上, 定向誤差從±0.1′′以內(nèi)到接近±0.2′′, 最大可達±0.6′′; (2)測站位置誤差和計時誤差對定向精度的影響隨時角變化,為了避免各測回都在同一時角觀測, 造成所有結果均偏大或偏小一定數(shù)值成為系統(tǒng)誤差, 規(guī)范中要求在不同時間段(傍晚和夜晚)觀測[11].

天文測量目前多采用電子經(jīng)緯儀加導航衛(wèi)星授時技術[8–9,12–13], 可以很方便地獲得較為精確的測站大地經(jīng)緯度. 如果沒有精確的本地垂線偏差模型, 測站位置誤差會達數(shù)角秒至十幾角秒, 必然引起較大的定向誤差. 因此, 該方法測量天文方位角之前需精密測定測站的天文經(jīng)緯度.

圖1 測站位置誤差和計時誤差對北極星定向的影響Fig.1 Influence of station position error and timing error on the orientation by Polaris

2.3 單星中天時角法

天體經(jīng)過測站所在子午圈稱作中天. 每個天體1 d中兩次經(jīng)過子午圈, 離天頂較近的一點稱作上中天, 離天頂較遠的一點稱作下中天. 若天體在天頂以北過中天, 稱為北星;反之, 稱為南星. 顯然, 南北星的赤緯和天頂距與本地緯度滿足簡單的線性關系, 以南點為起始方向, 南星的方位角AS和北星的方位角AN分別近似為0?和180?. 實際測量中很難保證恰在中天時刻觀測, 只能做到t ≈0. (1)式簡化為[14]:

本方法計算簡單, 但測站經(jīng)度誤差和計時誤差全部包含在時角誤差內(nèi), 天體赤緯越大, 天頂距越大, cosδ/sinz的數(shù)值越小, 時角誤差引起的天體方位角誤差就越小. 因此,應盡可能觀測靠近天極的中天天體.

2.4 子午星對法

采用中天時角法定向, sinA ≈0, cosq=±1, (3)式簡化為

如果在同一測站上連續(xù)觀測南、北兩顆中天天體, 組成一個子午星對[10], 方位角誤差取均值得

式中, 下標N和S分別表示北星和南星.

顯然, 最佳配對條件為:

此時, (?T+?λ)對天體方位角沒有影響.

圖2為在北半球不同緯度測站上, 南北星天頂距在[20?, 70?]區(qū)間內(nèi)的cosδ/sinz值.為了方便對比, 南星的天頂距用負值表示. 南半球同理. 可以看出, 在20?N測站上, 南北兩星的cosδ/sinz值重合區(qū)間較大; 在45?N測站上, 南北兩星的cosδ/sinz值重合區(qū)間很小, 但上中天北星和下中天北星有一段重合區(qū)間; 在70?N測站上, 不再有重合區(qū)間. 因此, 子午星對法主要適用于低緯度地區(qū).

圖2 南北星cos δ/sin z在北半球不同緯度測站上隨天頂距的變化Fig.2 cos δ/sin z variation of south and north stars according to the zenith distance at different latitudes in the northern hemisphere

由于自然天體在天球上的分布不均勻, 即使在低緯度地區(qū)也很難在短時間內(nèi)連續(xù)觀測到嚴格符合最佳配對條件的兩顆子午星. 為了觀測到足夠數(shù)量的星對, 只能放寬限制條件, 將(7)式左側數(shù)值限制在設定閾值m以內(nèi), 一個子午星對測站經(jīng)度誤差和計時誤差對計算方位角引起的最大誤差為(?T+?λ)m/2.

3 多星中天時角法

若已知測站經(jīng)度誤差和計時誤差之和(?T+?λ), 則觀測任意一顆中天天體的方位角及其與地面目標之間的水平夾角, 都可以獲得準確的測站至地面目標的天文方位角.本文提出的多星中天時角法, 就是觀測多顆中天天體和地面目標后通過回歸模型估計出(?T+?λ)的方法.

3.1 分析變量關系

通過觀測某顆中天天體及其與地面目標的水平夾角, 獲得的測站至地面目標的天文方位角Ai中(下標i代表第i次觀測, 下同), 包含由于測站經(jīng)度誤差和計時誤差給天體方位角帶來的系統(tǒng)誤差?Ai和水平夾角觀測中的偶然偶差εi,

其中A?表示天文方位角的最佳擬合值,εi為零均值隨機誤差.

在觀測時段內(nèi), ?λ為常數(shù), ?T與時鐘的精度相關, 假設初始比時誤差為a, 初始頻率偏差為b, 頻率漂移率為c, 則?T與觀測時長l之間的關系為

?λ、a、bl、cl2的單位均轉換為角秒, 代入(8)式, 令±(cosδi/sinzi)=pi, 得

假設獨立觀測了n組數(shù)據(jù),令回歸變量為x=(x1,x2,x3)T=[(p1,...,pn),(p1l1,...,pnln),(p1l21,...,pnl2n)]T, 響應變量為y=(A1,A2,...,An)T, 回歸參數(shù)β=(β0,β1,β2,β3)T=[A?,(?λ+a),b,c]T顯著, 則可以建立n個回歸方程:

3.2 確定回歸模型

精密天文測量中采用的時鐘精度和穩(wěn)定性都很高, (10)式中的a、b、c數(shù)值很小, 采用大地經(jīng)度作為近似天文經(jīng)度時?λ在幾角秒到十幾角秒量級, 通過仿真數(shù)據(jù)對?λ+a、b、c進行顯著性檢驗.

假設在4 h內(nèi)等間隔觀測200組數(shù)據(jù),l為等差數(shù)列,p值在[?2,2]區(qū)間內(nèi)均勻分布,?λ+a=5,b=0.001,c=0.001, 隨機誤差服從正態(tài)分布ε～N(0,32)[16],A?= 0. 變量p、pl、pl2、A之間的簡單相關系數(shù)矩陣為[17]

進一步計算變量p、pl、pl2、A之間的偏相關系數(shù)(固定其余變量的影響)矩陣為

從簡單相關系數(shù)來看, 回歸變量p、pl、pl2與響應變量A的相關性均較強, 但回歸變量之間也存在著很強的相關性. 偏相關系數(shù)矩陣中則只有p與A的相關性較強,pl和pl2對回歸的貢獻很小. 令b、c分別取相同值0.001、0.01和0.1, 進行多元回歸和一元回歸分析, 每種情況模擬100次. 表1列出了擬合參數(shù)的均值(括號內(nèi)為參數(shù)均值標準差), 可以看出, 由于多元回歸變量間存在較強的復共線性, 擬合得到的參數(shù)標準差較大. 一元回歸與多元回歸擬合得到的A?幾乎沒有差別,b、c的數(shù)值一般遠小于0.01 (目前的天文大地測量系統(tǒng)多使用計算機守時, 鐘速中誤差小于0.1 mas·h?1, 幾天內(nèi)鐘速變化小于5 mas·h?1[8]), 此時?λ+a的差異也很小. 因此, 一元回歸模型更為適用.

表1 多元回歸和一元回歸參數(shù)比較Table 1 Parameter comparison of multivariate and univariate regressions

3.3 確定樣本數(shù)量

從b、c取值0.001的仿真數(shù)據(jù)中, 分別隨機選取不同數(shù)量的樣本, 進行一元線性回歸.當樣本數(shù)達到30以上時, 回歸參數(shù)?λ+a與設定值的差值均小于0.05′′. 圖3中每個數(shù)據(jù)點表示不同樣本數(shù)量計算得到的擬合方位角A?的標準差, 可以看出隨著樣本數(shù)量的增大標準差逐漸減小. 設σA?為擬合方位角標準差,k為樣本數(shù)量, 由散點圖得到擬合曲線:

如果所需的成果精度為σA?, 觀測樣本數(shù)量k的參考值為:

4 實驗結果分析

在20?N附近某地區(qū)選取相距2–3 km的5個地面點, 進行了7個方向的方位角測定. 采用Y/JGT-01型天文測量系統(tǒng), 其中觀測儀器為TS30全站儀, GPS導航衛(wèi)星授時, 筆記本電腦守時, 星表系統(tǒng)采用依巴谷星表.

圖3 擬合方位角標準差隨樣本數(shù)量的變化Fig.3 The standard deviation of fitting azimuth varies with the number of samples

首先采用北極星任意時角法按照一等觀測綱要施測[11], 獲取7個方向的一等天文方位角成果, 作為中天時角法測量結果的評定基準. 然后在各測站上一南一北交替觀測中天星, 為了獲得±0.3′′精度水平的成果, 按照(13)式計算得出應觀測160組以上的數(shù)據(jù)(由于天氣原因, 5–2方向未能觀測到足夠的數(shù)據(jù)). 表2列出了每個方向觀測的中天星總數(shù)和匹配得到的子午星對數(shù), 每顆星連續(xù)觀測6次, 子午星對法的星對匹配閾值設定為±0.3((7)式左側計算值). 分別采用單星中天時角法、子午星對法和多星中天時角法, 選擇相應的數(shù)據(jù)進行處理.

表2 各方向測星數(shù)統(tǒng)計Table 2 Statistics of stars in each direction

表3為多星中天時角法回歸變量和響應變量的相關系數(shù)R及在0.01顯著性水平下的檢驗臨界值R0.99(n ?2)=表示0.01顯著性水平下自由度為(1,n?2)的F檢驗臨界值. 可以看出,所有方向上的R均遠大于R0.99(n?2),表明線性回歸效果極顯著.

表3 多星中天時角法相關系數(shù)檢驗Table 3 Correlation coefficient test of multi-star meridian hour angle method

3種方法計算天文方位角的標準差見圖4. 可以看出, 多星中天時角法的精度最高,標準差均小于0.4′′. 子午星對法次之, 單星中天時角法的精度最差. 5–2方向由于觀測數(shù)據(jù)量小, 精度明顯低于其他方向.

圖4 3種方法計算結果標準差比較Fig.4 Standard deviation comparison of three methods

圖5為3種方法計算結果與北極星任意時角法獲得的一等成果的差值. 可以看出, 單星中天時角法的計算結果明顯大于基準值, 這是由于觀測中天星的cosqcosδ/sinz值正負不對稱造成的. 子午星對法的計算結果在觀測數(shù)據(jù)量較少時(5–2方向)出現(xiàn)了較大的偏差. 多星中天時角法的計算結果最為穩(wěn)定, 與基準值的差值均小于0.5′′, 但全部為正值, 可能是由于自變量區(qū)間正負不對稱造成的. 由圖2可以看出, 測站位于20?N時, 南北兩顆等高星的cosδ/sinz不等, 導致自變量正值區(qū)間的數(shù)值大于負值區(qū)間的數(shù)值. 但在沒有粗差的情況下, 對回歸參數(shù)的影響應該很小, 這一點還有待通過更多的不同緯度測站上的實驗數(shù)據(jù)對回歸方法作進一步研究.

圖5 3種方法計算結果與一等成果的差值Fig.5 The results of three methods comparing with the first-order results

《大地天文測量規(guī)范》中規(guī)定: 一等天文方位角采用北極星任意時角法觀測18個測回, 每個測回照準北極星24次, 成果中誤差限差為±0.5′′. 本實驗中前6個方向的觀測量僅為規(guī)范要求的一半左右(5–2方向僅為1/4), 從成果標準差和與一等成果的差值兩項指標來看, 多星中天時角法計算結果已經(jīng)達到一等天文方位角精度要求.

5 結論

多星中天時角法通過回歸模型解算測站至地面目標的天文方位角, 理論上可以完全消除測站經(jīng)度誤差和計時誤差的影響, 觀測前不需再對測站進行精密天文定位, 可直接將通過導航衛(wèi)星測量得到的大地經(jīng)緯度作為概略天文經(jīng)緯度使用. 與北極星任意時角法測定一等天文方位角相比, 不需在多個時間段內(nèi)觀測, 即使減少一半觀測量, 仍能獲得精度相當?shù)某晒? 與子午星對法相比, 觀測星的中天位置沒有限制, 增加了可觀測星數(shù)量,并且不需要制作專用星表. 回歸分析具有探測粗差的功能, 因此多星中天時角法具有較強的魯棒性. 北極星任意時角法只能應用于北半球中緯度地區(qū), 子午星對法主要適用于低緯度地區(qū), 多星中天時角法將精密天文定向測量的工作范圍擴展至全球任意地區(qū).

致謝感謝信息工程大學杜蘭教授仔細審閱了論文初稿. 感謝審稿人提出的寶貴建議.