趙正祥，李曉艷，劉 松

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

0 引 言

眾所周知，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的可控性問(wèn)題被廣泛用于控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中。如果可以通過(guò)某個(gè)控制器，在相應(yīng)的時(shí)間影響或控制與該過(guò)程相對(duì)應(yīng)的每個(gè)狀態(tài)，則可以說(shuō)系統(tǒng)都是可控制的?？捎^性是通過(guò)了解系統(tǒng)的外部輸出從而很好地推斷系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的一種度量。系統(tǒng)的可觀測(cè)性和可控制性是數(shù)學(xué)對(duì)偶關(guān)系。Kalm針對(duì)線性動(dòng)力系統(tǒng)引入了可觀性和可控性的概念。文獻(xiàn)[1-3]等對(duì)整數(shù)階線性和非線性動(dòng)力系統(tǒng)的可控性及可觀性進(jìn)行了研究，并有了較為豐富的研究結(jié)果。對(duì)分?jǐn)?shù)線性系統(tǒng)的可觀性和可控性研究結(jié)果也在不斷豐富。[4-7]學(xué)者M(jìn). Fabrizio[8]和A. Atangana以及D. Baleanu[9]在2016年提出新兩種有非奇異核的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，分別為Caputo-Fabrizio分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Atangana-Baleanu分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，對(duì)于含有這兩類方程的解的表達(dá)式及性質(zhì)等問(wèn)題的研究仍在進(jìn)行中，但對(duì)含有非奇異核分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)線性系統(tǒng)的可觀性和可控性研究卻少之又少。[10]本文將從非奇異核分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)Caputo-Fabrizio分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)出發(fā)對(duì)Caputo-Fabrizio分?jǐn)?shù)階線性動(dòng)力系統(tǒng)的可觀測(cè)性和可控制性進(jìn)行研究，并通過(guò)Grammian控制觀測(cè)矩陣給出并證明系統(tǒng)可觀測(cè)和可控制性的充分必要條件。

本文將考慮如下Caputo-Fabrizio分?jǐn)?shù)階線性動(dòng)力系統(tǒng)方程[11]

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)介紹與論文有關(guān)Caputo-Fabrizio分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義及相關(guān)引理。

定義1函數(shù)x∈H1(a,b),b>a≥0,α∈[0,1]，定義為

(2)

其中H1(a,b)表示希爾伯特空間，B(α)表示歸一化函數(shù)，滿足B(0)=B(1)=1。

定義2函數(shù)x的Laplace變換定義為

定義3X的反Laplace變換定義為

這里c0位于拉普拉斯積分的絕對(duì)收斂的右半平面。

定義4單位脈沖函數(shù)δ(t)定義為

并且單位脈沖函數(shù)的Laplace變換

2 系統(tǒng)(1)的解的表達(dá)式

本節(jié)利用對(duì)Caputo-Fabrizio分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Laplace變換,并借助單位脈沖函數(shù)δ(t)給出系統(tǒng)(1)解的表達(dá)式。

引理1Caputo-Fabrizio分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Laplace變換結(jié)果為

定理1設(shè)[B(α)I-(1-α)A]是滿秩的，那么系統(tǒng)方程(1)的解的表達(dá)式為

x(t)=B(α)[B(α)I-(1-α)A]-1eαA[B(α)I-(1-α)A]-1tx(0)+

證明將(2)式代入系統(tǒng)方程(1)可以得到

對(duì)等式兩邊同時(shí)使用Laplace變換根據(jù)引理2.1可得

這里X(s)=L[x(t);s]，U(s)=L[u(t);s]，x(0)=x0。整理(11)式得到

(3)

分別對(duì)(3)式兩端使用反Laplace變換得到方程的解的表達(dá)式

x(t)=B(α)[B(α)I-(1-α)A]-1eαA[B(α)I-(1-α)A]-1tx0+

(4)

對(duì)(4)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，令R=[B(α)I-(1-α)A]-1有

(5)

3 系統(tǒng)(1)可控制性

定義5系統(tǒng)(1)在區(qū)間[t0,t1]是可控的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意一對(duì)向量x0,x1∈Rn，存在控制元u(t)使得系統(tǒng)(1)的解x(t)滿足x(t0)=x0，x(t1)=x1?；蚍Q之為在區(qū)間[t0,t1]上，控制元u(t)使系統(tǒng)從x0狀態(tài)轉(zhuǎn)化為x1。

根據(jù)(5)式可以將系統(tǒng)方程的解進(jìn)一步簡(jiǎn)化

x(t)=B(α)ReαARtx0+

這里令

可以得到

定理2系統(tǒng)(1)在區(qū)間[t0,t1]是可控的充分必要條件是可控Grammian矩陣

是正定的，這里T表示矩陣的轉(zhuǎn)置。

證明假設(shè)M是正定的，那么M是非奇異的且M的逆存在，即M-1存在且有意義。給定輸入控制元

u(t)=BTZTM-1[x1-B(α)ReαAR(t1-t0)x0].

(6)

給定系統(tǒng)(1)解x(t)的初始條件x(t0)=x0，那么方程解的表達(dá)式為

(7)

把(6)式代入(7)式可得

B(α)ReαAR(t1-t0)x0+MM-1[x1-B(α)ReαAR(t1-t0)x0]=x1.

也就是說(shuō)系統(tǒng)(1)是可控的。

另一方面，假設(shè)M是非正定的，那么必存在一個(gè)非零元y滿足

yTMy=0，

也就是說(shuō)

這表示在區(qū)間[t0,t1]上yTZ(t1-s)B=0。令x0=[B(α)ReαAR(t1-t0)]-1y。根據(jù)假設(shè)存在控制元u(t)在區(qū)間[t0,t1]上將系統(tǒng)狀態(tài)由x0轉(zhuǎn)化到原點(diǎn)

將x0=[B(α)ReαAR(t1-t0)]-1y代入并且等式兩邊同時(shí)左乘yT可得

由前文知，上式的第二項(xiàng)是零，若要等式成立則yTy=0，但是y是非零元即y≠0。所以M是正定的。

4 系統(tǒng)(1)的可觀測(cè)性

在判斷系統(tǒng)(1)的可觀測(cè)性時(shí)，無(wú)須考慮控制元u(t)的影響，系統(tǒng)將變成如下形式

(8)

這里α∈[0,1]，x(t)∈Rn，A是一個(gè)n×n的常矩陣。

根據(jù)定理2可得

x(t)=B(α)ReαAR(t-t0)x0。

(9)

令Q(t-t0)=B(α)ReαAR(t-t0)，原式化簡(jiǎn)為

x(t)=Q(t-t0)x0。

(10)

在區(qū)間[t0,t1]上存在一個(gè)觀測(cè)函數(shù)h(t)，h(t)∈Rm，H是一個(gè)m×n的常矩陣，滿足

h(t)=Hx(t)。

(11)

定義6如果

h(t)=Hx(t)=0,t∈[t0,t1],

并且

x(t)=0,t∈[t0,t1],

那么在區(qū)間[t0,t1]上系統(tǒng)(8)和系統(tǒng)(11)是可觀測(cè)的。

定理2系統(tǒng)(8)和系統(tǒng)(11)在區(qū)間[t0,t1]上是可觀測(cè)的充分必要條件是觀測(cè)Grammian矩陣

是正定矩陣。

證明給定初始條件x(t0)=x0，根據(jù)(9)式和(10)式可得

h(t)=Hx(t)=HB(α)ReαAR(t-t0)x0=HQ(t-t0)x0，

那么h模的平方為

5 結(jié) 論

可觀性是通過(guò)了解系統(tǒng)的外部輸出進(jìn)而很好地推斷系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的一種度量，而可控性則告訴我們有關(guān)更改系統(tǒng)狀態(tài)以在給定時(shí)間間隔內(nèi)采用預(yù)定值的能力。對(duì)分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)的可觀性和可控性的研究對(duì)于許多實(shí)際日常應(yīng)用都是重要的問(wèn)題。我們通過(guò)使用Grammian控制觀測(cè)矩陣證明了Caputo-Fabrizio分?jǐn)?shù)階線性動(dòng)力系統(tǒng)的可觀性和可控性有關(guān)的兩個(gè)新的主要結(jié)果。對(duì)非奇異核分?jǐn)?shù)階微分方程有關(guān)控制觀測(cè)理論方面提供一些參考。