【摘 要】探索規(guī)律是2011年版課程標(biāo)準(zhǔn)提出的基本課程內(nèi)容之一，是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的重要組成部分。蘇教版教材從三年級上冊開始就逐步安排探索規(guī)律的專題活動(dòng)，側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)由特殊到一般、具體到抽象的歸納過程。五年級上冊“釘子板上的多邊形”是一節(jié)典型的規(guī)律探索類課型，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的“皮克定理”，教學(xué)難度較大。筆者經(jīng)實(shí)踐探究，提出將學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體，并以此為前提，通過課前思考、課中“一波三折”的規(guī)律探索教學(xué)以及課后反思，使學(xué)生獲得學(xué)習(xí)樂趣，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，鍛煉數(shù)學(xué)思維，希望為小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)律探索實(shí)踐教學(xué)提供參考和借鑒。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);探索規(guī)律;釘子板多邊形;皮克定理

【中圖分類號】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）34-0170-02

數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好到數(shù)學(xué)家的紙簍里去找材料，不要只看書上的結(jié)論，他在書上寫給你看的結(jié)論不過兩三行，可是他寫這個(gè)兩三行以前，不知花了多少心血，經(jīng)歷了多少困難和挫折，稿紙不知用去了多少張，他成功的歷程，就是用這些稿紙記錄下來的?！泵恳晃粩?shù)學(xué)家都是經(jīng)歷了無數(shù)次的失敗后才有了數(shù)學(xué)史上的重大發(fā)現(xiàn)。所以，學(xué)生探索規(guī)律的過程一定是困難重重、有錯(cuò)可尋的。

1? ?課前思考

1.1? 探索什么規(guī)律

本節(jié)課要探索的規(guī)律是釘子板上多邊形的面積（S）與多邊形邊上的釘子數(shù)（n）以及內(nèi)部釘子數(shù)（a）之間的關(guān)系，即著名的“皮克定理”：S=n÷2+a-1。

1.2? 怎樣探索規(guī)律

回顧以往的探索規(guī)律教學(xué)課堂可知，學(xué)生雖進(jìn)行了猜測、探索、驗(yàn)證這一系列操作，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，得出了結(jié)論，但這是在教師的“有意”引導(dǎo)下順利進(jìn)行的，缺乏試誤的過程，這樣毫無懸念的教法雖然能讓學(xué)生快速得出結(jié)論并增強(qiáng)自信心，但因?yàn)槿鄙賹陀^事實(shí)求證的艱難過程，難以實(shí)現(xiàn)對學(xué)生探索能力的培養(yǎng)[1]。

1.3? 研究方法是什么

釘子板上多邊形的面積與邊上釘子數(shù)和內(nèi)部釘子數(shù)有關(guān)。這里涉及兩個(gè)變量，因此需要用到“控制變量法”來研究其規(guī)律。但這種分離變量的研究方法是學(xué)生陌生的，他們并不具備這方面的經(jīng)驗(yàn)。所以課堂上得出結(jié)論固然重要，但教師更應(yīng)注重學(xué)生對這種研究方法的感悟和體會(huì)。

2? ?課中實(shí)踐

2.1? 滲透數(shù)學(xué)文化，明確研究方向

萬事開頭難，如何才能順利進(jìn)入新課？考慮到學(xué)生心中有種種疑惑：求多邊形面積的方法有很多種，為什么要放在釘子板上研究？研究的背景是什么？因此課堂開始，先設(shè)問：當(dāng)多邊形遇到釘子板，你想研究哪些問題？然后通過錄音和圖片介紹數(shù)學(xué)家皮克的故事，以此明確研究方向。這樣學(xué)生能明白之所以要把多邊形放到釘子板上研究，源于皮克當(dāng)年的發(fā)現(xiàn)。

片段一：

師：本節(jié)課我們要一起研究釘子板上的多邊形。在低年級時(shí)，我們就在釘子板上圍過多邊形。當(dāng)多邊形遇到釘子板，你想研究什么問題？

生：多邊形的周長、面積、形狀……

師：有個(gè)數(shù)學(xué)家曾經(jīng)也研究過釘子板上的多邊形。

播放錄音：喬治·皮克是奧地利著名的數(shù)學(xué)家，出生于1859年。不知從什么時(shí)候開始，皮克對多邊形的面積產(chǎn)生了濃厚的興趣。他平時(shí)喜歡在釘子板上圍大大小小、各種各樣的多邊形，并對其進(jìn)行研究，最終獲得了重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。

師：當(dāng)年，皮克研究的是釘子板上多邊形的面積，我們也來做一回小皮克，探索其中的奧秘，好嗎？

這樣的數(shù)學(xué)文化氛圍，能喚起學(xué)生的研究欲望，無形之中促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

2.2? 鎖定研究問題，掌握探究方法

影響釘子板上多邊形面積的變量有兩個(gè)：多邊形邊上的釘子數(shù)和內(nèi)部的釘子數(shù)[2]。教材降低了研究難度，對內(nèi)部釘子數(shù)這種因素進(jìn)行了“遮蓋”，把“內(nèi)部釘子數(shù)”作為常量來處理。從簡單入手，先研究多邊形內(nèi)部只有1枚釘子的情況。

2.2.1? 研究 a=1 的情況

首先，出示幾個(gè)內(nèi)部釘子數(shù)都為1的多邊形（如圖1）。引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)方格、面積計(jì)算公式、圖形分割等方法計(jì)算多邊形面積，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。接著借助核心問題推動(dòng)研究過程：你覺得皮克的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中，多邊形的面積會(huì)與什么有關(guān)？引導(dǎo)學(xué)生初步感知：多邊形邊上的釘子數(shù)越多，多邊形的面積越大。讓學(xué)生帶著這樣的感知繼續(xù)思考：皮克會(huì)怎樣開展研究？

在交流中，教師不能僅讓學(xué)生完成表格（如表1）的記錄，還應(yīng)注重讓學(xué)生感受表格的形成過程以及學(xué)習(xí)解決問題過程中所用到的方法。如追問：“多邊形的面積已經(jīng)知道了，還需要知道什么？這些數(shù)據(jù)怎么處理比較合適？”最后，引導(dǎo)學(xué)生注意得出結(jié)論后還需驗(yàn)證規(guī)律。

片段二：

師：你覺得皮克的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中，多邊形的面積會(huì)與什么有關(guān)？

生：釘子數(shù)。（感覺多邊形邊上的釘子數(shù)越多，它的面積就越大。）

師：有了感覺，還要實(shí)踐。你覺得他會(huì)怎樣研究？

生：數(shù)一下邊上釘子的數(shù)，再與面積作比較，看有沒有規(guī)律。

師：面積已經(jīng)知道了，還需要知道什么？

生：多邊形邊上的釘子數(shù)。

師：這些數(shù)據(jù)怎么處理比較合適？

生：整理在表格中，更容易觀察比較。

師：觀察表中數(shù)據(jù)，多邊形的面積和邊上釘子數(shù)之間有什么關(guān)系？

生：多邊形的面積是它邊上釘子數(shù)的一半。

師：若用字母 S 表示多邊形的面積，字母n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，該怎樣用公式表示它們之間的關(guān)系？

生：S=n÷2。

師：這個(gè)規(guī)律是否對釘子板上所有的多邊形都適用，還需要進(jìn)一步驗(yàn)證。

接著，再出示一些多邊形供學(xué)生驗(yàn)證（如圖2）。此時(shí)，很多學(xué)生都提出疑問：怎么錯(cuò)了？為什么有的符合規(guī)律，有的卻不符合？教師再引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)研究、解決問題。最后，學(xué)生豁然開朗，原來影響多邊形面積的因素除了有邊上釘子數(shù)，還有內(nèi)部釘子數(shù)，繼而根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)完善規(guī)律。

在學(xué)生以為探究結(jié)束的時(shí)候，教師需要繼續(xù)追問：“大家都發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律，那之前的結(jié)論就一定正確嗎？”學(xué)生會(huì)馬上反應(yīng)過來，不一定，還要驗(yàn)證。于是在這樣“一波三折”的規(guī)律探索中，學(xué)生不斷經(jīng)歷“觀察、比較、猜想、驗(yàn)證”的過程。（教師引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)核查，使學(xué)生通過前后對比發(fā)現(xiàn)問題在于內(nèi)部釘子數(shù)的不同）

2.2.2? 研究a>1的情況

在有內(nèi)部釘子數(shù)是1枚的規(guī)律探索的經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)之上，對多邊形內(nèi)部釘子數(shù)是2枚的規(guī)律的探索就能水到渠成。以小組形式讓學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立研究，如果學(xué)生在探索中遇到困難，教師可幫學(xué)生“鋪一層臺階”：先用多邊形邊上的釘子數(shù)，觀察的商與多邊形面積有什么關(guān)系。當(dāng)學(xué)生得出結(jié)論后，再要求學(xué)生驗(yàn)證，經(jīng)歷完整的探究過程。

舉一反三，由扶到放，對于內(nèi)部釘子數(shù)是3、4、5枚的情況，就可以完全放手讓學(xué)生自主設(shè)計(jì)研究方案，開展小組合作，以此積累探索規(guī)律活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。在整個(gè)教學(xué)中，需讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷“觀察、比較、猜想、驗(yàn)證”的過程。

最后在兩個(gè)問題的推動(dòng)下，讓學(xué)生的探究繼續(xù)向“高峰”攀登。教師提出問題：“當(dāng)a=0時(shí)， S 與 n 是什么關(guān)系？”，更進(jìn)一步提出：“你能用一個(gè)公式歸納出以上所有規(guī)律嗎？”在此過程中，注重培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。

3? ?課后反思

整堂課中，從簡單情況入手，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過數(shù)一數(shù)、算一算和觀察比較，初步發(fā)現(xiàn)了 S=n÷2 這一規(guī)律，而在驗(yàn)證規(guī)律時(shí)，又發(fā)現(xiàn)了問題，從而進(jìn)一步完善了規(guī)律。最后變化內(nèi)部釘子數(shù)，如2枚、3枚、4枚，引導(dǎo)學(xué)生依次深入研究較復(fù)雜的情況，反復(fù)觀察比較，得出一個(gè)適用于所有情況的規(guī)律，并用字母歸納表述。

以上是筆者通過“釘子板上的多邊形”的實(shí)踐教學(xué)研究產(chǎn)生的對數(shù)學(xué)規(guī)律探索教學(xué)的一些思考與認(rèn)識。教無止境，在今后的教學(xué)道路上，還需不斷探索，如此才能使小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)律探索教學(xué)有新的突破和進(jìn)步。

【參考文獻(xiàn)】

[1]強(qiáng)震球.《釘子板上的多邊形》教學(xué)實(shí)錄[J].教育視界，2016（20）.

[2]劉曉萍，曹志國.對“探索規(guī)律”教學(xué)的叩問——以“釘子板上的多邊形”教學(xué)為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2018（8）.

【作者簡介】

馬玉婷（1994～），女，漢族，江蘇蘇州人，本科，二級教師。研究方向：數(shù)學(xué)教育。