李 慶， 韋錫峰， 陳婳怡， 鞏 彪， 張佳龍

(1.上海衛(wèi)星工程研究所， 上海 201109； 2.中國電子科技集團公司第三十八研究所， 安徽合肥 230088)

0 引言

縱觀國內外現(xiàn)役主戰(zhàn)裝備雷達和在研新型雷達，有源相控陣已成為現(xiàn)代雷達技術的主流體制[1]。有源相控陣雷達的一個重要優(yōu)勢是具有較高的任務可靠性，這是由于在雷達天線陣中設置了若干冗余的射頻收發(fā)組件(T/R組件)，即使有部分組件失效或不能正常工作對雷達系統(tǒng)的性能影響不大。

關于有源相控陣雷達天線的任務可靠性模型，一直是工程領域關注的焦點。目前常用的是表決模型[2]，即將構成天線陣面的主要單元進行表決冗余后再串聯(lián)，該方法沒有考慮失效T/R組件在天線陣列中所處的物理位置對于天線性能的影響，為此，丁定浩等[3]提出在表決模型中增加失效單元的最小間距約束，從而對表決模型的冗余量進行壓縮；熊年生等[4]則通過對天線方向圖的仿真分析，在天線副瓣下降允許范圍內確定了失效T/R組件的位置分布要求。但是，對于星載有源相控陣雷達而言，其有源通道數(shù)量多且設備間的控制關系復雜，上述表決模型忽略了系統(tǒng)中單元間的故障相關性，若簡單地在失效獨立的假設下進行系統(tǒng)可靠性分析，常常會產(chǎn)生較大的誤差，甚至得出錯誤的結論[5-8]。

鑒于此，本文結合星載有源相控陣天線的原理和特點，對天線系統(tǒng)的失效判據(jù)進行了分析，在以控制T/R組件失效數(shù)為系統(tǒng)正常的度量指標框架下，建立了能夠全面體現(xiàn)其“冗余性、層次化及故障相關性”等特點的系統(tǒng)可靠性模型?；谠撃Ｐ停o出了系統(tǒng)可靠度計算的解析法和蒙特卡洛模擬方法。最后，通過具體案例對本文所提模型及算法進行了驗證。

1 天線陣系統(tǒng)失效判據(jù)

有源相控陣天線系統(tǒng)的可靠性問題較為特殊，其與傳統(tǒng)天線通信系統(tǒng)相比，不是通過雙機冷/熱備份工作模式提高可靠性，而是在系統(tǒng)設計時留有一定的通道余量。因此，為準確評估相控陣系統(tǒng)的可靠性，首先需要確定通道的冗余量，即雷達系統(tǒng)能夠完成預定任務，組件允許的合理失效范圍。

圖1 有源相控陣天線系統(tǒng)組成示意圖

以線性相控陣天線為例，如圖1所示，相控陣有N個天線單元，相鄰單元的間距為d，天線波束的最大指向為θB。當天線陣列接收到偏離陣列法線θ角方向來的波長為λ的信號時，信號到達相鄰天線單元的路程差為dsinθ，相應地，由該路程差引入的相位差為

(1)

即每個單元的相位都比其右邊的單元滯后Δφ，則線性相控陣天線的方向函數(shù)可表示為

(2)

為簡化分析，對均勻分布照射函數(shù)，取ai=1，由此推導出相控陣幅度方向圖的辛格函數(shù)為

(3)

為形象化描述，利用MATLAB軟件對相控陣幅度方向圖進行仿真計算，假設信號頻率為10 GHz，相鄰天線單元間距為30 mm，單元數(shù)量分別為12，24，36時，方向圖如圖2所示，可見有源相控陣天線單元數(shù)量對其輻射強度和波束寬度影響很大，同一頻率下陣元數(shù)量和天線間距越大波束就越窄。對于相控陣雷達而言，輻射功率和波束寬度是重要的功能指標，而輻射功率又與有源相控陣的功率源T/R組件及陣元數(shù)量相關。因此，在評估相控陣天線系統(tǒng)可靠性時，可使用T/R組件允許失效數(shù)作為系統(tǒng)功能正常與否的判據(jù)。一般而言，對于地面相控陣天線，其組件的冗余量設置為10%，而星載相控陣天線該比例通常為5%[3]。

圖2 不同單元數(shù)量下的天線方向圖仿真

2 天線陣系統(tǒng)可靠性建模

目前，對有源相控陣天線系統(tǒng)進行任務可靠性建模通常采用n中取k的表決模型的串聯(lián)形式，即將圖1中的每一類組成單元都作為串聯(lián)模型中的一項，而每一項中的表決器可根據(jù)T/R組件允許的失效數(shù)等效獲得，該模型的計算公式如下[2]：

(4)

式中，Rs(t)為天線陣的系統(tǒng)可靠度,Ri(t)為組成系統(tǒng)的單元可靠度,M為組成系統(tǒng)的單元種類,Ni為每一類單元的總數(shù)量，Oi為保證天線陣實現(xiàn)規(guī)定功能須正常工作的單元數(shù)量。

利用上述模型計算系統(tǒng)可靠度是假設各單元失效是互相獨立的，這一假設在天線陣系統(tǒng)規(guī)模較小時可近似認為是正確的，但當系統(tǒng)規(guī)模較大，特別是隨著現(xiàn)代有源相控陣天線多通道技術的應用，上述模型的計算誤差會顯著增大。根據(jù)故障相關理論[9-12]，系統(tǒng)單元間相互影響的方式一般有三類：Ⅰ類為故障相關；Ⅱ類為故障率相關；Ⅲ類為沖擊損傷相關。對于星載有源相控陣天線系統(tǒng)而言，顯然屬于第Ⅰ類系統(tǒng)，即當一個部件發(fā)生故障，會以一定概率引發(fā)系統(tǒng)中其他部件發(fā)生故障。

為此，這里依據(jù)層次建模的思想[13]，提出一種表決冗余的故障相關系統(tǒng)“樹聯(lián)”可靠性模型。該模型利用樹形結構描述有源相控陣天線系統(tǒng)中各單元的層級關聯(lián)，同時通過樹結構中的父、子節(jié)點約束系統(tǒng)中各單元間的控制范圍。如圖3所示為天線陣的系統(tǒng)可靠性框圖，圖中M為系統(tǒng)總層數(shù)；Ni為第i層單元的總數(shù)量(該層單元按順序編號記為i-1到i-Ni)；Ri為第i層單元的可靠度；Ki為第i層單元與其父節(jié)點單元數(shù)量的比值。

圖3 有源相控陣天線“樹聯(lián)”可靠性模型

“樹聯(lián)”可靠性模型構建順序為自頂向下，模型具備以下特點：

1) 冗余性：系統(tǒng)功能正常的判據(jù)為最底層單元正常工作的最小數(shù)量應滿足特定比例；

2) 層次化：模型拓撲結構為樹狀、多層、分布式結構；

3) 故障相關性：樹中節(jié)點間存在關聯(lián)性，即父節(jié)點失效則其控制范圍內的子節(jié)點全部失效，反之，若子節(jié)點正常則其父節(jié)點一定正常。

模型的基本假設如下：

1) 不失一般性，假設系統(tǒng)不會發(fā)生共因失效，且組成系統(tǒng)的相同層級各單元在獨立失效情況下，其壽命具有相同的概率分布；

2) 單元和系統(tǒng)都只考慮兩種狀態(tài)，即正常或故障。

3 天線陣系統(tǒng)可靠性計算及仿真

3.1 解析法

這里采用遞歸方法計算“樹聯(lián)”模型的可靠度，首先選取圖3所示模型的最底層和次底層，若已知最底層T/R組件數(shù)量為NM，同時可靠度為RM(t)；次底層驅動器數(shù)量為NM-1，可靠度為RM-1(t)，且每一個驅動器控制KM個T/R組件。

假設在t時刻，將天線陣面能正常工作(等價于有不少于C%的T/R組件能正常工作)記為事件A，其概率為P(A)；正好有i個驅動器能正常工作記為事件Bi(i=0，1，…，NM-1)，其概率為P(Bi)；在正好有i個驅動器能正常工作的條件下，有不少于C%的T/R組件能正常工作的條件概率記為P(A|Bi)。根據(jù)全概率公式有

(5)

式中，P(A)，P(Bi)，P(A|Bi)都是時間t的函數(shù)。P(A)即為天線陣面的可靠度，該模型的求解關鍵是計算出P(Bi)和P(A|Bi)。

由于每一個驅動器控制KM個T/R組件，因此當t時刻可正常工作的驅動器數(shù)量為i時(i∈[0，NM-1])，T/R組件可正常工作的數(shù)量為j，j的取值范圍為[0，KM·i]。再考慮不少于C%的T/R組件能正常工作的約束條件，i和j的取值范圍將進一步縮小。即當所有的驅動器都正常工作，而T/R正常工作的數(shù)量小于C%時，判定系統(tǒng)失效；另外，即使所有的T/R組件均無故障，但控制T/R組件的驅動器可正常工作的數(shù)量小于C%時，同樣判定系統(tǒng)失效，此時的P(A|Bi)=0。因此，要使天線陣面正常工作，i和j的取值范圍分別為i∈[OM-1，NM-1]，j∈[OM，KM·i]，其中OM-1=ceil(NM-1×C%)，Om=ceil(NM×C%)(ceil()為向上取整運算)。

由此，在t時刻，NM-1個驅動器中有i個可正常工作的概率為

i∈[OM-1,NM-1]

(6)

在有i個驅動器正常工作的條件下，最多有KM·i個T/R組件可正常工作，此時要求天線陣面能正常工作，則構成了KM·i個T/R組件中取OM個的表決模型，其概率為

i∈[OM-1,NM-1]

(7)

將式(6)、式(7)代入式(5)中，可得到兩層“樹聯(lián)”模型的可靠度為

(8)

在兩層“樹聯(lián)”模型的基礎上，逐層遞歸，即可得到如圖3所示完整模型的可靠度為

(9)

式中：t為任務時間；Rs(t)為天線陣系統(tǒng)在t時刻的可靠度；M為層級數(shù)；Ni為第i層的單元數(shù)量；Ki為第i層與第i-1層單元數(shù)量的比值；Ri為第i層單元在t時刻的可靠度；Oi為滿足任務要求第i層正常工作的最少單元數(shù)，通常規(guī)定最底層T/R組件的正常數(shù)量，而其他層級單元的該數(shù)值可根據(jù)層級比例逐層進行等效。

3.2 蒙特卡洛法

當有源相控陣天線系統(tǒng)層級和單元數(shù)量較多或層間控制比例不定時，利用式(9)計算天線陣的任務可靠度計算量較大，這里提供一種基于蒙特卡洛的天線系統(tǒng)可靠性模擬方法。其基本思路是先根據(jù)天線陣單元可靠度構建符合該概率分布的單元隨機樣本，再進行抽樣、組裝成若干系統(tǒng)樣本，最后利用系統(tǒng)失效判據(jù)統(tǒng)計正常系統(tǒng)的數(shù)量并計算系統(tǒng)可靠度，具體流程如圖4所示。

圖4 基于蒙特卡洛的星載有源相控陣天線可靠性預計流程

通過蒙特卡洛仿真，得到相控陣天線的系統(tǒng)可靠度為

R′s=NF/NS

(10)

式中，NF為失效的系統(tǒng)樣本數(shù)，NS為系統(tǒng)樣本總數(shù)。這里需要說明的是任務時間對系統(tǒng)可靠度的影響體現(xiàn)在單元的隨機樣本中，即隨著任務時間的增加，單元可靠度降低，相應地，單元樣本中失效單元的數(shù)量增多。另外，隨著系統(tǒng)樣本數(shù)量的增加，仿真結果將趨近于解析值。

4 應用實例

某星載相控陣雷達的天線陣面由二次電源、波控單元、延時放大組件以及T/R組件(單通道)構成，各組成單元的數(shù)量、失效率如表1所示。根據(jù)衛(wèi)星總體設計，以衛(wèi)星在軌2年為例，壽命期內雷達系統(tǒng)總開機時間為1 460 h(每天工作2 h)，同時，要滿足雷達系統(tǒng)的成像指標則有源通道的失效數(shù)不能超過總數(shù)的5%，在該條件下，計算天線陣面壽命末期的可靠度。

表1 某天線陣面的單元信息

首先，自頂向下建立“樹聯(lián)”可靠性模型，模型參數(shù)分別為：系統(tǒng)層數(shù)M=4；每層的單元數(shù)為N1=24，N2=48，N3=240，N4=1 920；層間控制比例為K2=2，K3=5，K4=8；維持系統(tǒng)正常工作的最少單元數(shù)量為O1=23，O2=46，O3=228，O4= 1 824；各層單元可靠度按指數(shù)分布計算為R1= 0.997，R2=0.997，R3=0.998，R4=0.994。將上述參數(shù)代入式(9)，計算得到系統(tǒng)可靠度的解析值為0.966。

接著，利用蒙特卡洛方法進行系統(tǒng)可靠性仿真，系統(tǒng)樣本數(shù)設置為2×104個，重復進行104次仿真，結果如圖5所示。可見當抽樣次數(shù)足夠多時，系統(tǒng)可靠性符合均值為0.966，標準差為1.3×10-3的正態(tài)分布，該結果與采用“樹聯(lián)”模型計算的解析值一致。而采用式(4)傳統(tǒng)模型計算的系統(tǒng)可靠度為0.997，相比新模型存在較大偏差。

圖5 系統(tǒng)可靠度蒙特卡洛仿真結果

最后，進一步對比了3種方式計算的衛(wèi)星在軌不同時期天線陣面的可靠度，結果如表2所示。可見傳統(tǒng)模型因未考慮各組成單元之間的故障相關性，導致對系統(tǒng)可靠性存在明顯高估，而采用“樹聯(lián)”模型計算的系統(tǒng)可靠度和采用蒙特卡洛仿真獲得的結果具有較好的一致性。

表2 不同方法計算的5年壽命期間天線陣面可靠度

5 結束語

天線陣面是大型相控陣雷達的重要組成部分，它的可靠性對雷達系統(tǒng)至關重要。本文針對星載相控陣天線的特點，構建了可以準確表達天線陣各單元間相互關系的可靠性模型，并基于該模型，給出了兩種系統(tǒng)可靠性預計方法：一種為解析法，另一種為蒙特卡洛法。經(jīng)實例分析，新模型更適合在系統(tǒng)組件數(shù)量較多的情況下進行可靠度的計算。本文研究不僅可為天線陣面的方案論證工作提供有力的數(shù)據(jù)支持，也可為雷達整機制定維修保障方案提供重要的指導。