劉變紅，劉桂榮

(1.呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 離石 033001；2.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

0 引言

眾所周知，傳染病是一個全球性的公共衛(wèi)生問題.人們常用數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行數(shù)量預(yù)測和介入評估，如文[1-3].而在實際生活中，傳染病模型自然會受到外部環(huán)境的隨機(jī)干擾，因此對研究在隨機(jī)因素影響下的隨機(jī)傳染病模型所具有的性質(zhì)顯得尤為重要，見文[4-6].近期許多學(xué)者在隨機(jī)傳染病模型中加入一類媒體函數(shù)[7]來刻畫媒體報道對傳染病的影響，顯然這在傳染病的預(yù)防和控制中具有一定的實際意義.本文考慮了如下受媒體報道影響的隨機(jī)SIRI傳染病模型

(1)

關(guān)于模型(1)的特殊情形，許多文獻(xiàn)已作過研究.如文[9]研究了如下確定SIRI模型

的基本動力學(xué)性態(tài).隨后文[10]研究了如下具有媒介影響的隨機(jī)SIRI模型

全局正解的漸近性質(zhì).受以上結(jié)果的啟發(fā)，本文對模型(1)的動力學(xué)性態(tài)進(jìn)行研究，推廣了已有文獻(xiàn)中的一些結(jié)論.

1 預(yù)備知識

令(Ω，F(xiàn)，{Ft}t≥0，P)表示帶有濾波{Ft}t≥0的完備概率空間，且濾波{Ft}t≥0滿足一般的條件，即它是不減的，右連續(xù)，且F0包含了所有概率為零的集合.假設(shè)Bi(t)(i=1，2，3)定義在該概率空間上.此外，若X(t)是隨機(jī)微分方程

的d維It過程，其中，F(xiàn):Rd×[t0，)→Rd，G:Rd×[t0，)→Rd×m.任意V∈C2，1(Rd×[t0，);R+)，定義函數(shù)LV為

利用It公式，得

dV(X，t)=LV(X，t)dt+VX(X，t)G(X，t)dB(t)，

(2)

2 主要結(jié)果

下面給出本文主要結(jié)果及其證明.

證明證明方法類似于文[10]中定理2.1的證明，這里略去.

定理2若R0≤1，且

σ1<μ，σ2<2μ，σ3<2μ，

證明定義C2函數(shù)

V(S，I，R)=V1+xV2+yV3，

其中，x，y，z是待定正常數(shù)，且

利用It公式，有

運(yùn)用基本不等式(a+b)2≤2a2+2b2(a，b∈R)，得

(3)

(4)

而

≤β1SI+[zγ-(μ+γ)]I+[δ-z(μ+δ)]R

因為R0≤1，選取合適的z，使得

又I，R>0，則有

(5)

(6)

利用It公式，知

所以，可得

dV=dV1+xdV2+ydV3

(7)

這里，M(t)是一個鞅，定義如下

對式(7)兩端同時除以t，并令t→，則可得

幾乎處處成立.

注 特別地，若σ1=σ2=σ3=0時，則式(6)變?yōu)?/p>

由Lyapunov方法知，當(dāng)R0≤1時，確定性系統(tǒng)(2)的無病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

定理3若R0>1，則系統(tǒng)(2)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E*=(S*，I*，R*).

證明令系統(tǒng)(2)的每個方程右端為零，地方病(S*，I*，R*)滿足S*>0，I*>0，R*>0，且

(8)

則

將S*，R*的表達(dá)式代入式(8)的第一個方程，得

A(I*)2+BI*+C=0.

其中，

由于R0>1，β1≥β2，且A≤0，C>0，則系統(tǒng)(2)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E*=(S*，I*，R*).

注 當(dāng)h=0時，定理1-3變?yōu)槲腫10]中定理2.1、3.1、4.1.從而本文結(jié)果推廣了文[10]中的相應(yīng)結(jié)果.

3 結(jié)論

鑒于隨機(jī)SIRI傳染病模型的理論和實際意義，本文考慮了一類帶有舊病復(fù)發(fā)和受媒介報道影響的隨機(jī)SIRI傳染病模型，利用It公式和Lyapunov方法等相關(guān)理論證明了該隨機(jī)系統(tǒng)全局正解的存在唯一性，并得到了圍繞無病平衡點(diǎn)的解的漸近性質(zhì)，且證明了地方病平衡點(diǎn)的存在唯一性.當(dāng)參數(shù)h=0時，本文結(jié)果與文[10]中相應(yīng)結(jié)果一致，從而本文結(jié)果推廣了已有文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)果.此外，假設(shè)模型(1)的每個方程中的參數(shù)β1受到一些隨機(jī)干擾，即模型(1)變?yōu)槿缦滦碌哪Ｐ?/p>

(9)

對于模型(9)的動力學(xué)性態(tài)的研究，需要克服更多的困難，可以作為我們進(jìn)一步的研究工作.