可重復(fù)使用運(yùn)載火箭一子級垂直回收有限時(shí)間滑?？刂?/h1>
2020-06-04 07:14李曉棟廖宇新廖俊羅世彬
李曉棟，廖宇新，廖俊，羅世彬
(中南大學(xué)航空航天學(xué)院，湖南長沙，410083)
可重復(fù)使用運(yùn)載器(reusable launch vehicle,RLV)是指在完成發(fā)射任務(wù)后全部或部分返回著陸，經(jīng)過檢修維護(hù)和燃料加注后，可再次執(zhí)行發(fā)射任務(wù)的一類運(yùn)載器[1]。相對于一次性運(yùn)載火箭而言，可重復(fù)使用運(yùn)載火箭一子級(first-stage of reusable rocket,FRR)作為一類RLV，可通過多次執(zhí)行助推和回收任務(wù)來降低火箭發(fā)射成本[2]，因此，受到業(yè)界廣泛關(guān)注。SpaceX 公司的“獵鷹-9”運(yùn)載火箭成功進(jìn)行了多次一子級垂直回收和復(fù)用飛行，掀起了業(yè)界對FRR 回收控制的研究熱潮。由于FRR垂直回收過程空域大、速域廣、飛行環(huán)境多變，使其本身多變量、非線性的系統(tǒng)又受到強(qiáng)烈的內(nèi)外擾動和不確定性，這對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、魯棒性和控制精度提出了更高的要求。面對如此復(fù)雜的非線性控制問題，一般的線性控制方法無法滿足高精度、強(qiáng)魯棒等控制需求。近年來，動態(tài)面控制[3]、自適應(yīng)廣義預(yù)測控制[4]、自適應(yīng)反步控制[5]、滑模控制等非線性控制方法被應(yīng)用于RLV飛行控制問題研究。其中，滑?？刂茖δＰ筒淮_定和外部擾動具有較強(qiáng)的魯棒性，被廣泛應(yīng)用于RLV 的再入姿態(tài)控制。與線性滑模控制的漸進(jìn)穩(wěn)定相比，終端滑模(terminal sliding mode，TSM)控制不僅使系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定，而且具有更強(qiáng)的抗干擾能力[6]。文獻(xiàn)[7]針對高超聲速飛行器再入姿態(tài)控制問題， 設(shè)計(jì)了終端滑?？刂破?TSM controller，TSMC)，保證系統(tǒng)有限時(shí)間趨于穩(wěn)定，實(shí)現(xiàn)對期望值準(zhǔn)確、快速的跟蹤。文獻(xiàn)[8]提出一種快速終端滑?？刂破?fast TSMC，F(xiàn)TSMC)，進(jìn)一步減小了有限時(shí)間收斂上界。然而，TSMC 和FTSMC 都存在狀態(tài)量的負(fù)指數(shù)項(xiàng)，可能會引發(fā)奇異性問題，導(dǎo)致系統(tǒng)在奇異區(qū)域輸出的控制量趨于無窮大。文獻(xiàn)[9]通過在奇異區(qū)域把終端滑模面切換成線性滑模面來避免奇異性。文獻(xiàn)[10]通過設(shè)計(jì)非奇異快速終端滑?？刂破?singularity-free FTSMC，SFTSMC)，直接克服了控制器的奇異性問題。文獻(xiàn)[11]提出的積分終端滑?？刂破?integral TSMC, ITSMC)具有與SFTSMC 相似的特性，在消除奇異性的同時(shí)，保證系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定。傳統(tǒng)滑模控制中符號函數(shù)的不連續(xù)切換特性所造成的控制不連續(xù)是引起抖振的根本原因。利用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)來克服抖振的方法只能保證系統(tǒng)狀態(tài)收斂到滑模面的鄰域，降低滑?？刂频聂敯粜院途萚12]。采用高階滑?？刂扑惴梢砸种贫墩?，但滑模面高階導(dǎo)數(shù)信息要通過大量計(jì)算才能得到。文獻(xiàn)[13]提出一種基于超螺旋算法(super-twisting algorithm，STA)的二階滑模控制方法，不僅保持了高階滑模控制能抑制抖振的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)，無需對滑模面高階求導(dǎo)?；跀U(kuò)張狀態(tài)觀測器(extended state observer，ESO)的控制方法可以在保持控制性能的情況下消除模型不確定和外部擾動給系統(tǒng)帶來的影響。文獻(xiàn)[14]考慮模型不確定和外界干擾對FRR 的影響，設(shè)計(jì)固定時(shí)間ESO(fixed-time ESO，F(xiàn)xTESO)與SFTSMC 相結(jié)合的控制方法，實(shí)現(xiàn)對姿態(tài)角期望值的固定時(shí)間跟蹤控制。文獻(xiàn)[15]將滑模動態(tài)面控制技術(shù)和自適應(yīng)滑模觀測器技術(shù)結(jié)合，提出一種內(nèi)外環(huán)自適應(yīng)滑模動態(tài)面控制方法，使受到外部干擾的FRR 能夠?qū)ψ藨B(tài)角指令進(jìn)行準(zhǔn)確跟蹤，但該方法僅僅保證閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。文獻(xiàn)[16]提出一種FRR自適應(yīng)容錯(cuò)控制方法，設(shè)計(jì)基于FxTESO的SFTSMC，不僅能處理外部擾動和模型不確定對系統(tǒng)的影響，而且當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)發(fā)生故障時(shí)也能使系統(tǒng)保持穩(wěn)定。本文提出一種基于FTESO 和改進(jìn)超螺旋算法(modified STA，MSTA)的積分終端滑?？刂品椒▉斫鉀QFRR垂直回收無動力減速段姿態(tài)控制問題。采用FTESO 對系統(tǒng)不可測量狀態(tài)量和總擾動進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)一步將狀態(tài)量估計(jì)值引入積分終端滑模面，同時(shí)，基于總擾動估計(jì)值和MSTA 設(shè)計(jì)改進(jìn)超螺旋積分終端滑?？刂破?modified supertwisting ITSMC，MSTITSMC)，消除了傳統(tǒng)終端滑?？刂频钠娈愋裕⒂行б种屏硕墩?。本文首先在FRR 繞質(zhì)心運(yùn)動方程基礎(chǔ)上引入跟蹤誤差變量，建立姿態(tài)控制模型；然后，設(shè)計(jì)FTESO 和MSTITSMC，進(jìn)一步證明閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定；最后，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證所提出的控制方法的有效性和優(yōu)越性。
1 數(shù)學(xué)模型及問題描述
1.1 繞質(zhì)心運(yùn)動方程
FRR的飛行剖面[17]如圖1所示。本文考慮在無動力減速段的姿態(tài)控制問題。此階段FRR 在大氣層內(nèi)飛行且推力為0 N，其速度減小和姿態(tài)變化主要是受到氣動力和氣動力矩的作用。假設(shè)FRR 是具有軸對稱結(jié)構(gòu)的剛體，體軸構(gòu)成的坐標(biāo)平面均為對稱平面，其繞質(zhì)心運(yùn)動方程[14]為
式中：α，β和σ分別為攻角、側(cè)滑角和傾側(cè)角；γ，ψ，φ和θ分別為航跡傾角、航跡偏角、經(jīng)度、緯度；p，q和r分別為滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航角速率；Mx，My和Mz分別為滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航力矩；ωe=7.292 115×10-5rad/s，為地球自轉(zhuǎn)角速度；Jxx，Jyy和Jzz分別為沿x，y和z軸轉(zhuǎn)動慣量。
1.2 面向控制的模型及問題描述
定義Ω=[α,β,σ]T，ω=[p,q,r]T，考慮模型不確定和外界干擾，則繞質(zhì)心運(yùn)動方程(1)可進(jìn)一步描述為
式中：Δf為表征模型不確定項(xiàng)變量；Δd為外部干擾；“×”為叉乘運(yùn)算；u=[δa,δe,δr]T，為控制輸入；δa，δe和δr分別為控制滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航的等效舵偏角；J為慣性矩陣，
坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣R的具體表達(dá)式為
控制力矩矩陣B1[14]的具體表達(dá)式為
式中：和分別為滾轉(zhuǎn)舵、俯仰舵和偏航舵的控制力矩系數(shù)；q0=0.5ρv2為動壓；v為速度；ρ=ρ0e-h/7110，為大氣密度；e 為自然常數(shù)；h為飛行高度；ρ0=1.225 kg/m3，為海平面大氣密度；Sr和Lr分別為FRR的參考面積和參考長度。
圖1 FRR飛行剖面Fig.1 Flight profile of FRR
定義姿態(tài)角期望值Ωc、姿態(tài)角跟蹤誤差e1=Ω-Ωc和角速率跟蹤誤差結(jié)合式(2)建立二階姿態(tài)跟蹤誤差系統(tǒng)為
為了方便控制器設(shè)計(jì)，定義B=RJ-1B1，Δ1=為總擾動，則式(3)簡化為
本文的主要目的是針對含有總擾動的二階系統(tǒng)(4)設(shè)計(jì)控制器，使姿態(tài)跟蹤誤差e1和e2有限時(shí)間收斂。
2 基于FTESO 和MSTA 的積分終端滑?？刂品椒?/h2>
FRR姿態(tài)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，主要包括FTESO 和MSTITSMC 兩部分。首先，基于姿態(tài)角跟蹤誤差e1和控制輸入u設(shè)計(jì)FTESO，得到角速率跟蹤誤差及總擾動的估計(jì)值；然后，基于觀測器估計(jì)值和姿態(tài)角跟蹤誤差e1設(shè)計(jì)MSTITSMC，實(shí)現(xiàn)對期望值的高精度快速跟蹤。
圖2 FRR姿態(tài)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of FRR attitude tracking control system
2.1 定義與引理
定義1 對于向量x=[x1,…,xn]T有如下定義：
式中：sign(xi)為符號函數(shù)。
引理1[18]對于非線性系統(tǒng)，x∈Rn，假設(shè)V(x)是定義在U∈Rn的光滑正定函數(shù)。 若 存 在 正 常 數(shù)λ和μ∈(0,1) 使 不 等 式V˙≤-λV μ，x∈U{0}成立，則該系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的，收斂時(shí)間T滿足
式中：V(t0)為V的初值。
引理2[19]考慮以下二階系統(tǒng)：
若0＜m＜1，a和b是使r2+ar+b為Hurwitz 多項(xiàng)式的正常數(shù)，則上述系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。
2.2 有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器
假設(shè)1總擾動Δ1及其導(dǎo)數(shù)有界，即且滿足=g(Δ1)。
在以上基礎(chǔ)上，將式(4)增廣為
定義和分別為e1，e2和Δ1的估計(jì)值，針對系統(tǒng)(7)設(shè)計(jì)FTESO為
定義εi=δi/Li-1,i= 1,2,3，則式(9)可表示為
由文獻(xiàn)[20]定理1可知，系統(tǒng)(10)的狀態(tài)ε1，ε2和ε3將在有限時(shí)間內(nèi)收斂，即利用FTESO(8)可以在有限時(shí)間Te精確估計(jì)e1，e2和Δ1。
2.3 改進(jìn)超螺旋積分終端滑模控制器
設(shè)計(jì)積分終端滑模面為
式中：p和q均為正奇數(shù)且p＞q；a和b是使r2+ar+b為Hurwitz多項(xiàng)式的正常數(shù)。
基于MSTA[21]設(shè)計(jì)趨近律為
式 中：s=[s1,s2,s3]T；?=[?1,?2,?3]T；k1＞0,
k2＞0,k3＞0。
結(jié)合式(11)和式(12)，設(shè)計(jì)MSTITSMC為
注1：在傳統(tǒng)SMC 的滑模面中引入非線性積分項(xiàng)，構(gòu)成積分終端滑?？刂泼妫诒３謧鹘y(tǒng)SMC 優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，避免了控制器奇異性問題，且保證系統(tǒng)狀態(tài)在滑動階段有限時(shí)間收斂。
注2:相較于標(biāo)準(zhǔn)STA[13]及其他MSTA[22]，本文使用的MSTA通過在?˙的動態(tài)方程中增加1個(gè)關(guān)于?的線性項(xiàng)，即引入1 個(gè)與自身狀態(tài)相關(guān)的反饋，調(diào)節(jié)了高階項(xiàng)的動態(tài)響應(yīng)。根據(jù)MSTA 設(shè)計(jì)的趨近律，不僅能抑制抖振，而且能保證系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂。
2.4 穩(wěn)定性分析
定理1對于二階系統(tǒng)(4)，采用所設(shè)計(jì)的FTESO(8)和MSTITSMC(13)，能夠使閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定，即保證姿態(tài)跟蹤誤差e1和e2有限時(shí)間收斂。
證明定理1 的證明可分3 步。第1 步證明在FTESO 有限時(shí)間收斂過程中，e1和e2有限時(shí)間有界；第2 步證明FTESO 收斂后，e1和e2能在有限時(shí)間收斂至滑模面，第3 步證明收斂至滑模面后，e1和e2能沿滑模面有限時(shí)間收斂至平衡點(diǎn)。
Step 1 對滑模面s求導(dǎo)，得
將式(13)代入式(4)可將閉環(huán)系統(tǒng)表示為
選取Lyapunov函數(shù):
對V1求導(dǎo)，得
式中：
式中：V1(t0)為V1的初值。由于V1僅與時(shí)間t相關(guān)，顯然V1在有限時(shí)間內(nèi)有界，所以，e1和e2在有限時(shí)間內(nèi)有界。
Step 2 當(dāng)FTESO 有限時(shí)間Te收斂后，滑模面(11)可進(jìn)一步表示為
系統(tǒng)(15)可進(jìn)一步表示為
公允地說，現(xiàn)在的中學(xué)教材比幾十年前好多了，既有傳統(tǒng)文化，也有現(xiàn)代思潮；既有新聞實(shí)事，也有美妙暢想；既有鐵肩道義，也有小我溫情，可謂中西合璧，古今交融，兼收并蓄。教材內(nèi)有人生選擇，有風(fēng)格個(gè)性，也有生命狀態(tài)；有文學(xué)原典，有歷史煙云，更有哲學(xué)思辨，幾乎包含了整個(gè)人文世界。因此，相較于其他學(xué)段，中學(xué)應(yīng)該更關(guān)注對教材“人文性”的挖掘。
xi=[xi1,xi2]T=[sig1/2(si),?i]T,i= 1, 2, 3。
對xi求導(dǎo)，得
選取Lyapunov函數(shù)：
對Vs求導(dǎo)，得
式中：
式中：
為了保證矩陣Q1和Q2正定，需要滿足以下不等式：
定義矩陣Q的最小特征值為λmin(Q)，考慮不等式式(27)可表示為
定義矩陣P最小特征值和最大的特征值分別為λmin(P)和λmax(P)，考慮不等式和則式(29)可表示為
式中：
同理可證：若式(28)和不等式
由此可知，滿足以下關(guān)系式：
由引理1 可知，若參數(shù)k1，k2和k3同時(shí)滿足式(28)和式(31)，則當(dāng)t≥Ts時(shí)，有且Ts滿 足其 中Vs(Te)為Vs在Te時(shí)的值。
Step 3 當(dāng)e1和e2收斂至滑模面時(shí)，系統(tǒng)(22)可進(jìn)一步表示為
由引理2 可知，上述系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，即e1和e2在有限時(shí)間內(nèi)收斂。
定理1證畢。
3 數(shù)值仿真與分析
為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)FTESO+MSTITSMC 方法的有效性，將其與文獻(xiàn)[10]提出的SFTSMC方法、文獻(xiàn)[14]提出的FxTESO+SFTSMC 方法在MATLAB/Simulink中的數(shù)值仿真結(jié)果進(jìn)行對比。
仿真中，F(xiàn)RR的相關(guān)參數(shù)來源于文獻(xiàn)[14]；初始姿態(tài)角為Ω0=[-17,-0.573,-1.146]T(°)；初始角速率為ω0=[-8.239 7×10-4,-0.005 3,-1.596 9×10-4]T(°)/s；繞質(zhì)心運(yùn)動方程中含有描述質(zhì)心運(yùn)動的6個(gè)時(shí)變狀態(tài)量，可通過對質(zhì)心運(yùn)動方程數(shù)值積分得到。為完成仿真，設(shè)置狀態(tài)量的初值為φ0=-47°，ψ0=0°，γ0=-41°，θ0=-47.15°，v0=1 180 m/s，h0=25 000 m；姿態(tài)角期望值Ωc=[5t/30-5,2t/30-1,0]T(°)；氣動系數(shù)偏差、轉(zhuǎn)動慣量偏差和大氣密度偏差為+20%，質(zhì)量偏差為100 kg；所受擾動力矩為Δd=104[1+sin(πt/2+π/6),1+sin(πt/2+π/3)]TN·m；等效舵偏角限制在[-30°,30°]；仿真步長為5 ms，仿真時(shí)長為30 s。
本文設(shè)計(jì)的方法FTESO 參數(shù)設(shè)置為L=5，d=4，c1=c2=10，c3=12，MSTITSMC 參數(shù) 設(shè) 置 為a=15，b=50，p=13，q=11，k1=0.70，k2=0.10，k3=0.01。對比的2種方法參數(shù)設(shè)置與文獻(xiàn)[10]和[14]中的一致。
圖3～5 所示為FRR 姿態(tài)角跟蹤曲線。從圖3～5 可見：與FxTESO+SFTSMC 方法相比，本文設(shè)計(jì)的方法能在更短時(shí)間對姿態(tài)角期望值實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤，在動態(tài)響應(yīng)過程中的超調(diào)量也更小，而無觀測器的SFTSMC 方法姿態(tài)角跟蹤誤差較大，在跟蹤傾側(cè)角期望值時(shí)發(fā)生了明顯偏離。
圖6～8 所示為等效舵偏響應(yīng)曲線。從圖6～8可見：FxTESO+SFTSMC 方法的等效俯仰舵偏δe在0.2～0.3 s 到約束上界，其余2 種方法輸出的舵偏響應(yīng)均在合理幅值范圍內(nèi)。
圖3 攻角跟蹤曲線Fig.3 Tracking curves of attack angle
圖4 側(cè)滑角跟蹤曲線Fig.4 Tracking curves of sideslip angle
圖5 傾側(cè)角跟蹤曲線Fig.5 Tracking curves of bank angle
圖6 等效俯仰舵角曲線Fig.6 Curves of equivalent pitch rudder angle
圖7 等效偏航舵角曲線Fig.7 Curves of equivalent yaw rudder angle
圖8 等效滾轉(zhuǎn)舵角曲線Fig.8 Curves of equivalent roll rudder angle
圖9所示為滑模面的變化曲線。從圖9可以看出本文設(shè)計(jì)的方法對應(yīng)的滑模面s1，s2和s3分別在1.0，0.5和1.5 s左右收斂，且收斂過程較平滑，無明顯抖振。綜上所述，本文設(shè)計(jì)的FTESO+MSTITSMC 方法能準(zhǔn)確、快速地跟蹤姿態(tài)角期望值，且對擾動有較好抑制效果。
圖9 滑模面曲線Fig.9 Curves of sliding mode variable
4 結(jié)論
1)針對FRR 垂直回收過程無動力減速段存在模型不確定和外部擾動等情況，提出一種基于FTESO 和MSTA 的積分終端滑控制方法。采用FTESO 對姿態(tài)角速度和總擾動進(jìn)行估計(jì)，將角速度估計(jì)值引入積分終端滑模面，同時(shí)，基于總擾動估計(jì)值和MSTA設(shè)計(jì)了MSTITSMC。
2)基于Lyapunov 理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定；將本文設(shè)計(jì)的方法與2種非奇異快速終端滑模控制方法進(jìn)行仿真對比，發(fā)現(xiàn)本文設(shè)計(jì)的方法對模型不確定和外部擾動具有較強(qiáng)魯棒性，能對姿態(tài)角期望值進(jìn)行準(zhǔn)確和快速跟蹤。
猜你喜歡
一類受隨機(jī)擾動的動態(tài)優(yōu)化問題的環(huán)境檢測與響應(yīng)數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)(2022年5期)2022-10-09 滑模及分?jǐn)?shù)階理論在電機(jī)控制系統(tǒng)中的應(yīng)用大電機(jī)技術(shù)(2022年2期)2022-06-05 基于增強(qiáng)型去噪自編碼器與隨機(jī)森林的電力系統(tǒng)擾動分類方法現(xiàn)代電力(2022年2期)2022-05-23 帶擾動塊的細(xì)長旋成體背部繞流數(shù)值模擬北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)(2021年7期)2021-08-13 攀爬的姿態(tài)學(xué)生天地(2020年3期)2020-08-25 磁暴期間中國中低緯電離層不規(guī)則體與擾動分析空間科學(xué)學(xué)報(bào)(2020年6期)2020-07-21 全新一代宋的新姿態(tài)汽車觀察(2018年9期)2018-10-23 使用SGCMGs航天器滑模姿態(tài)容錯(cuò)控制北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)(2017年4期)2017-11-23 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)(2016年7期)2016-11-16 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)(2016年4期)2016-02-27
李曉棟，廖宇新，廖俊，羅世彬
(中南大學(xué)航空航天學(xué)院，湖南長沙，410083)
可重復(fù)使用運(yùn)載器(reusable launch vehicle,RLV)是指在完成發(fā)射任務(wù)后全部或部分返回著陸，經(jīng)過檢修維護(hù)和燃料加注后，可再次執(zhí)行發(fā)射任務(wù)的一類運(yùn)載器[1]。相對于一次性運(yùn)載火箭而言，可重復(fù)使用運(yùn)載火箭一子級(first-stage of reusable rocket,FRR)作為一類RLV，可通過多次執(zhí)行助推和回收任務(wù)來降低火箭發(fā)射成本[2]，因此，受到業(yè)界廣泛關(guān)注。SpaceX 公司的“獵鷹-9”運(yùn)載火箭成功進(jìn)行了多次一子級垂直回收和復(fù)用飛行，掀起了業(yè)界對FRR 回收控制的研究熱潮。由于FRR垂直回收過程空域大、速域廣、飛行環(huán)境多變，使其本身多變量、非線性的系統(tǒng)又受到強(qiáng)烈的內(nèi)外擾動和不確定性，這對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、魯棒性和控制精度提出了更高的要求。面對如此復(fù)雜的非線性控制問題，一般的線性控制方法無法滿足高精度、強(qiáng)魯棒等控制需求。近年來，動態(tài)面控制[3]、自適應(yīng)廣義預(yù)測控制[4]、自適應(yīng)反步控制[5]、滑模控制等非線性控制方法被應(yīng)用于RLV飛行控制問題研究。其中，滑?？刂茖δＰ筒淮_定和外部擾動具有較強(qiáng)的魯棒性，被廣泛應(yīng)用于RLV 的再入姿態(tài)控制。與線性滑模控制的漸進(jìn)穩(wěn)定相比，終端滑模(terminal sliding mode，TSM)控制不僅使系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定，而且具有更強(qiáng)的抗干擾能力[6]。文獻(xiàn)[7]針對高超聲速飛行器再入姿態(tài)控制問題， 設(shè)計(jì)了終端滑?？刂破?TSM controller，TSMC)，保證系統(tǒng)有限時(shí)間趨于穩(wěn)定，實(shí)現(xiàn)對期望值準(zhǔn)確、快速的跟蹤。文獻(xiàn)[8]提出一種快速終端滑?？刂破?fast TSMC，F(xiàn)TSMC)，進(jìn)一步減小了有限時(shí)間收斂上界。然而，TSMC 和FTSMC 都存在狀態(tài)量的負(fù)指數(shù)項(xiàng)，可能會引發(fā)奇異性問題，導(dǎo)致系統(tǒng)在奇異區(qū)域輸出的控制量趨于無窮大。文獻(xiàn)[9]通過在奇異區(qū)域把終端滑模面切換成線性滑模面來避免奇異性。文獻(xiàn)[10]通過設(shè)計(jì)非奇異快速終端滑?？刂破?singularity-free FTSMC，SFTSMC)，直接克服了控制器的奇異性問題。文獻(xiàn)[11]提出的積分終端滑?？刂破?integral TSMC, ITSMC)具有與SFTSMC 相似的特性，在消除奇異性的同時(shí)，保證系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定。傳統(tǒng)滑模控制中符號函數(shù)的不連續(xù)切換特性所造成的控制不連續(xù)是引起抖振的根本原因。利用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)來克服抖振的方法只能保證系統(tǒng)狀態(tài)收斂到滑模面的鄰域，降低滑?？刂频聂敯粜院途萚12]。采用高階滑?？刂扑惴梢砸种贫墩?，但滑模面高階導(dǎo)數(shù)信息要通過大量計(jì)算才能得到。文獻(xiàn)[13]提出一種基于超螺旋算法(super-twisting algorithm，STA)的二階滑模控制方法，不僅保持了高階滑模控制能抑制抖振的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)，無需對滑模面高階求導(dǎo)?；跀U(kuò)張狀態(tài)觀測器(extended state observer，ESO)的控制方法可以在保持控制性能的情況下消除模型不確定和外部擾動給系統(tǒng)帶來的影響。文獻(xiàn)[14]考慮模型不確定和外界干擾對FRR 的影響，設(shè)計(jì)固定時(shí)間ESO(fixed-time ESO，F(xiàn)xTESO)與SFTSMC 相結(jié)合的控制方法，實(shí)現(xiàn)對姿態(tài)角期望值的固定時(shí)間跟蹤控制。文獻(xiàn)[15]將滑模動態(tài)面控制技術(shù)和自適應(yīng)滑模觀測器技術(shù)結(jié)合，提出一種內(nèi)外環(huán)自適應(yīng)滑模動態(tài)面控制方法，使受到外部干擾的FRR 能夠?qū)ψ藨B(tài)角指令進(jìn)行準(zhǔn)確跟蹤，但該方法僅僅保證閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。文獻(xiàn)[16]提出一種FRR自適應(yīng)容錯(cuò)控制方法，設(shè)計(jì)基于FxTESO的SFTSMC，不僅能處理外部擾動和模型不確定對系統(tǒng)的影響，而且當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)發(fā)生故障時(shí)也能使系統(tǒng)保持穩(wěn)定。本文提出一種基于FTESO 和改進(jìn)超螺旋算法(modified STA，MSTA)的積分終端滑?？刂品椒▉斫鉀QFRR垂直回收無動力減速段姿態(tài)控制問題。采用FTESO 對系統(tǒng)不可測量狀態(tài)量和總擾動進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)一步將狀態(tài)量估計(jì)值引入積分終端滑模面，同時(shí)，基于總擾動估計(jì)值和MSTA 設(shè)計(jì)改進(jìn)超螺旋積分終端滑?？刂破?modified supertwisting ITSMC，MSTITSMC)，消除了傳統(tǒng)終端滑?？刂频钠娈愋裕⒂行б种屏硕墩?。本文首先在FRR 繞質(zhì)心運(yùn)動方程基礎(chǔ)上引入跟蹤誤差變量，建立姿態(tài)控制模型；然后，設(shè)計(jì)FTESO 和MSTITSMC，進(jìn)一步證明閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定；最后，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證所提出的控制方法的有效性和優(yōu)越性。
1 數(shù)學(xué)模型及問題描述
1.1 繞質(zhì)心運(yùn)動方程
FRR的飛行剖面[17]如圖1所示。本文考慮在無動力減速段的姿態(tài)控制問題。此階段FRR 在大氣層內(nèi)飛行且推力為0 N，其速度減小和姿態(tài)變化主要是受到氣動力和氣動力矩的作用。假設(shè)FRR 是具有軸對稱結(jié)構(gòu)的剛體，體軸構(gòu)成的坐標(biāo)平面均為對稱平面，其繞質(zhì)心運(yùn)動方程[14]為
式中：α，β和σ分別為攻角、側(cè)滑角和傾側(cè)角；γ，ψ，φ和θ分別為航跡傾角、航跡偏角、經(jīng)度、緯度；p，q和r分別為滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航角速率；Mx，My和Mz分別為滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航力矩；ωe=7.292 115×10-5rad/s，為地球自轉(zhuǎn)角速度；Jxx，Jyy和Jzz分別為沿x，y和z軸轉(zhuǎn)動慣量。
1.2 面向控制的模型及問題描述
定義Ω=[α,β,σ]T，ω=[p,q,r]T，考慮模型不確定和外界干擾，則繞質(zhì)心運(yùn)動方程(1)可進(jìn)一步描述為
式中：Δf為表征模型不確定項(xiàng)變量；Δd為外部干擾；“×”為叉乘運(yùn)算；u=[δa,δe,δr]T，為控制輸入；δa，δe和δr分別為控制滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航的等效舵偏角；J為慣性矩陣，
坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣R的具體表達(dá)式為
控制力矩矩陣B1[14]的具體表達(dá)式為
式中：和分別為滾轉(zhuǎn)舵、俯仰舵和偏航舵的控制力矩系數(shù)；q0=0.5ρv2為動壓；v為速度；ρ=ρ0e-h/7110，為大氣密度；e 為自然常數(shù)；h為飛行高度；ρ0=1.225 kg/m3，為海平面大氣密度；Sr和Lr分別為FRR的參考面積和參考長度。
圖1 FRR飛行剖面Fig.1 Flight profile of FRR
定義姿態(tài)角期望值Ωc、姿態(tài)角跟蹤誤差e1=Ω-Ωc和角速率跟蹤誤差結(jié)合式(2)建立二階姿態(tài)跟蹤誤差系統(tǒng)為
為了方便控制器設(shè)計(jì)，定義B=RJ-1B1，Δ1=為總擾動，則式(3)簡化為
本文的主要目的是針對含有總擾動的二階系統(tǒng)(4)設(shè)計(jì)控制器，使姿態(tài)跟蹤誤差e1和e2有限時(shí)間收斂。
2 基于FTESO 和MSTA 的積分終端滑?？刂品椒?/h2>
FRR姿態(tài)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，主要包括FTESO 和MSTITSMC 兩部分。首先，基于姿態(tài)角跟蹤誤差e1和控制輸入u設(shè)計(jì)FTESO，得到角速率跟蹤誤差及總擾動的估計(jì)值；然后，基于觀測器估計(jì)值和姿態(tài)角跟蹤誤差e1設(shè)計(jì)MSTITSMC，實(shí)現(xiàn)對期望值的高精度快速跟蹤。
圖2 FRR姿態(tài)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of FRR attitude tracking control system
2.1 定義與引理
定義1 對于向量x=[x1,…,xn]T有如下定義：
式中：sign(xi)為符號函數(shù)。
引理1[18]對于非線性系統(tǒng)，x∈Rn，假設(shè)V(x)是定義在U∈Rn的光滑正定函數(shù)。 若 存 在 正 常 數(shù)λ和μ∈(0,1) 使 不 等 式V˙≤-λV μ，x∈U{0}成立，則該系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的，收斂時(shí)間T滿足
式中：V(t0)為V的初值。
引理2[19]考慮以下二階系統(tǒng)：
若0＜m＜1，a和b是使r2+ar+b為Hurwitz 多項(xiàng)式的正常數(shù)，則上述系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。
2.2 有限時(shí)間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器
假設(shè)1總擾動Δ1及其導(dǎo)數(shù)有界，即且滿足=g(Δ1)。
在以上基礎(chǔ)上，將式(4)增廣為
定義和分別為e1，e2和Δ1的估計(jì)值，針對系統(tǒng)(7)設(shè)計(jì)FTESO為
定義εi=δi/Li-1,i= 1,2,3，則式(9)可表示為
由文獻(xiàn)[20]定理1可知，系統(tǒng)(10)的狀態(tài)ε1，ε2和ε3將在有限時(shí)間內(nèi)收斂，即利用FTESO(8)可以在有限時(shí)間Te精確估計(jì)e1，e2和Δ1。
2.3 改進(jìn)超螺旋積分終端滑模控制器
設(shè)計(jì)積分終端滑模面為
式中：p和q均為正奇數(shù)且p＞q；a和b是使r2+ar+b為Hurwitz多項(xiàng)式的正常數(shù)。
基于MSTA[21]設(shè)計(jì)趨近律為
式 中：s=[s1,s2,s3]T；?=[?1,?2,?3]T；k1＞0,
k2＞0,k3＞0。
結(jié)合式(11)和式(12)，設(shè)計(jì)MSTITSMC為
注1：在傳統(tǒng)SMC 的滑模面中引入非線性積分項(xiàng)，構(gòu)成積分終端滑?？刂泼妫诒３謧鹘y(tǒng)SMC 優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，避免了控制器奇異性問題，且保證系統(tǒng)狀態(tài)在滑動階段有限時(shí)間收斂。
注2:相較于標(biāo)準(zhǔn)STA[13]及其他MSTA[22]，本文使用的MSTA通過在?˙的動態(tài)方程中增加1個(gè)關(guān)于?的線性項(xiàng)，即引入1 個(gè)與自身狀態(tài)相關(guān)的反饋，調(diào)節(jié)了高階項(xiàng)的動態(tài)響應(yīng)。根據(jù)MSTA 設(shè)計(jì)的趨近律，不僅能抑制抖振，而且能保證系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂。
2.4 穩(wěn)定性分析
定理1對于二階系統(tǒng)(4)，采用所設(shè)計(jì)的FTESO(8)和MSTITSMC(13)，能夠使閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定，即保證姿態(tài)跟蹤誤差e1和e2有限時(shí)間收斂。
證明定理1 的證明可分3 步。第1 步證明在FTESO 有限時(shí)間收斂過程中，e1和e2有限時(shí)間有界；第2 步證明FTESO 收斂后，e1和e2能在有限時(shí)間收斂至滑模面，第3 步證明收斂至滑模面后，e1和e2能沿滑模面有限時(shí)間收斂至平衡點(diǎn)。
Step 1 對滑模面s求導(dǎo)，得
將式(13)代入式(4)可將閉環(huán)系統(tǒng)表示為
選取Lyapunov函數(shù):
對V1求導(dǎo)，得
式中：
式中：V1(t0)為V1的初值。由于V1僅與時(shí)間t相關(guān)，顯然V1在有限時(shí)間內(nèi)有界，所以，e1和e2在有限時(shí)間內(nèi)有界。
Step 2 當(dāng)FTESO 有限時(shí)間Te收斂后，滑模面(11)可進(jìn)一步表示為
系統(tǒng)(15)可進(jìn)一步表示為
公允地說，現(xiàn)在的中學(xué)教材比幾十年前好多了，既有傳統(tǒng)文化，也有現(xiàn)代思潮；既有新聞實(shí)事，也有美妙暢想；既有鐵肩道義，也有小我溫情，可謂中西合璧，古今交融，兼收并蓄。教材內(nèi)有人生選擇，有風(fēng)格個(gè)性，也有生命狀態(tài)；有文學(xué)原典，有歷史煙云，更有哲學(xué)思辨，幾乎包含了整個(gè)人文世界。因此，相較于其他學(xué)段，中學(xué)應(yīng)該更關(guān)注對教材“人文性”的挖掘。
xi=[xi1,xi2]T=[sig1/2(si),?i]T,i= 1, 2, 3。
對xi求導(dǎo)，得
選取Lyapunov函數(shù)：
對Vs求導(dǎo)，得
式中：
式中：
為了保證矩陣Q1和Q2正定，需要滿足以下不等式：
定義矩陣Q的最小特征值為λmin(Q)，考慮不等式式(27)可表示為
定義矩陣P最小特征值和最大的特征值分別為λmin(P)和λmax(P)，考慮不等式和則式(29)可表示為
式中：
同理可證：若式(28)和不等式
由此可知，滿足以下關(guān)系式：
由引理1 可知，若參數(shù)k1，k2和k3同時(shí)滿足式(28)和式(31)，則當(dāng)t≥Ts時(shí)，有且Ts滿 足其 中Vs(Te)為Vs在Te時(shí)的值。
Step 3 當(dāng)e1和e2收斂至滑模面時(shí)，系統(tǒng)(22)可進(jìn)一步表示為
由引理2 可知，上述系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，即e1和e2在有限時(shí)間內(nèi)收斂。
定理1證畢。
3 數(shù)值仿真與分析
為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)FTESO+MSTITSMC 方法的有效性，將其與文獻(xiàn)[10]提出的SFTSMC方法、文獻(xiàn)[14]提出的FxTESO+SFTSMC 方法在MATLAB/Simulink中的數(shù)值仿真結(jié)果進(jìn)行對比。
仿真中，F(xiàn)RR的相關(guān)參數(shù)來源于文獻(xiàn)[14]；初始姿態(tài)角為Ω0=[-17,-0.573,-1.146]T(°)；初始角速率為ω0=[-8.239 7×10-4,-0.005 3,-1.596 9×10-4]T(°)/s；繞質(zhì)心運(yùn)動方程中含有描述質(zhì)心運(yùn)動的6個(gè)時(shí)變狀態(tài)量，可通過對質(zhì)心運(yùn)動方程數(shù)值積分得到。為完成仿真，設(shè)置狀態(tài)量的初值為φ0=-47°，ψ0=0°，γ0=-41°，θ0=-47.15°，v0=1 180 m/s，h0=25 000 m；姿態(tài)角期望值Ωc=[5t/30-5,2t/30-1,0]T(°)；氣動系數(shù)偏差、轉(zhuǎn)動慣量偏差和大氣密度偏差為+20%，質(zhì)量偏差為100 kg；所受擾動力矩為Δd=104[1+sin(πt/2+π/6),1+sin(πt/2+π/3)]TN·m；等效舵偏角限制在[-30°,30°]；仿真步長為5 ms，仿真時(shí)長為30 s。
本文設(shè)計(jì)的方法FTESO 參數(shù)設(shè)置為L=5，d=4，c1=c2=10，c3=12，MSTITSMC 參數(shù) 設(shè) 置 為a=15，b=50，p=13，q=11，k1=0.70，k2=0.10，k3=0.01。對比的2種方法參數(shù)設(shè)置與文獻(xiàn)[10]和[14]中的一致。
圖3～5 所示為FRR 姿態(tài)角跟蹤曲線。從圖3～5 可見：與FxTESO+SFTSMC 方法相比，本文設(shè)計(jì)的方法能在更短時(shí)間對姿態(tài)角期望值實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤，在動態(tài)響應(yīng)過程中的超調(diào)量也更小，而無觀測器的SFTSMC 方法姿態(tài)角跟蹤誤差較大，在跟蹤傾側(cè)角期望值時(shí)發(fā)生了明顯偏離。
圖6～8 所示為等效舵偏響應(yīng)曲線。從圖6～8可見：FxTESO+SFTSMC 方法的等效俯仰舵偏δe在0.2～0.3 s 到約束上界，其余2 種方法輸出的舵偏響應(yīng)均在合理幅值范圍內(nèi)。
圖3 攻角跟蹤曲線Fig.3 Tracking curves of attack angle
圖4 側(cè)滑角跟蹤曲線Fig.4 Tracking curves of sideslip angle
圖5 傾側(cè)角跟蹤曲線Fig.5 Tracking curves of bank angle
圖6 等效俯仰舵角曲線Fig.6 Curves of equivalent pitch rudder angle
圖7 等效偏航舵角曲線Fig.7 Curves of equivalent yaw rudder angle
圖8 等效滾轉(zhuǎn)舵角曲線Fig.8 Curves of equivalent roll rudder angle
圖9所示為滑模面的變化曲線。從圖9可以看出本文設(shè)計(jì)的方法對應(yīng)的滑模面s1，s2和s3分別在1.0，0.5和1.5 s左右收斂，且收斂過程較平滑，無明顯抖振。綜上所述，本文設(shè)計(jì)的FTESO+MSTITSMC 方法能準(zhǔn)確、快速地跟蹤姿態(tài)角期望值，且對擾動有較好抑制效果。
圖9 滑模面曲線Fig.9 Curves of sliding mode variable
4 結(jié)論
1)針對FRR 垂直回收過程無動力減速段存在模型不確定和外部擾動等情況，提出一種基于FTESO 和MSTA 的積分終端滑控制方法。采用FTESO 對姿態(tài)角速度和總擾動進(jìn)行估計(jì)，將角速度估計(jì)值引入積分終端滑模面，同時(shí)，基于總擾動估計(jì)值和MSTA設(shè)計(jì)了MSTITSMC。
2)基于Lyapunov 理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定；將本文設(shè)計(jì)的方法與2種非奇異快速終端滑模控制方法進(jìn)行仿真對比，發(fā)現(xiàn)本文設(shè)計(jì)的方法對模型不確定和外部擾動具有較強(qiáng)魯棒性，能對姿態(tài)角期望值進(jìn)行準(zhǔn)確和快速跟蹤。
猜你喜歡
數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)(2022年5期)2022-10-09
大電機(jī)技術(shù)(2022年2期)2022-06-05
現(xiàn)代電力(2022年2期)2022-05-23
北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)(2021年7期)2021-08-13
學(xué)生天地(2020年3期)2020-08-25
空間科學(xué)學(xué)報(bào)(2020年6期)2020-07-21
汽車觀察(2018年9期)2018-10-23
北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)(2017年4期)2017-11-23
