張曉蔚

數(shù)學概念課是數(shù)學基礎知識和基礎技能教學的核心，任何一部分內(nèi)容的教學，都離不開概念教學。如何高效實施數(shù)學概念教學，值得我們思考。下文筆者以“平方根”的教學設計為例，對概念課教學進行闡述。

一、教學設計

1.學習目標。

知識與技能：

（1）了解平方根的概念，會用根號表示正數(shù)的平方根;

（2）了解開平方與平方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根。

過程與方法：

（l）通過學習平方根，進一步建立數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維;

（2）通過對正數(shù)平方根特點的探究，了解平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系，體驗類比、化歸等數(shù)學思想方法的運用，提高對問題的遷移能力。

2.教學流程。

（1）問題與情境。

師：我們學過了有理數(shù)的加法、減法、乘法、除法、乘方這五種運算，在這五種運算中哪些是互為逆運算的呢？

加法←→ 減法，乘法←→ 除法，乘方←→ ？

師：正方形面積為25平方厘米，那么它的邊長是多少呢？

生：5厘米。

師：如果把面積改為2呢？那么它的邊長是多少呢？我們在已學過的數(shù)的范圍內(nèi)找不到這個數(shù)，那么今天便來學習“平方根”。

設計意圖：回顧幾種運算，一方面為引進平方根的概念起到借鑒作用，另一方面為弄清楚開平方運算做鋪墊。通過引入，學生感受到今天是一節(jié)概念課，同時也是一種運算的呈現(xiàn)。

（2）探索規(guī)律，揭示新知。

師：在已知正方形面積25，求正方形的邊長的問題上，我們實際上在思考哪個正數(shù)的平方是25。大家易想到5。那如果老師寫出以下式子，括號里應該填什么數(shù)呢？（? ）2=25;（? ）2=4。

生：5和-5;2和-2。

師：很好，我們知道25是正負5的平方，4是正負2的平方，那么反過來，正負5是25的什么呢？正負2是4的什么呢？

生：平方根。

師：很好，大家能感受到平方和平方根的聯(lián)系與區(qū)別嗎？你能舉出類似的式子嗎？互相問答并分小組討論平方根的定義。

小結(jié)：一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫作a的平方根（或二次方根）。就是說，如果x2=a，那么x叫a的平方根，記作x=±√a。

師：知道了平方根的概念和表示方法，請問（? ）2=2？

生：±√2。

師：也就是說2的平方根是±√2。那是不是所有數(shù)都有平方根？而且都有兩個？

設計意圖：情境問題的延續(xù)，對平方根的本質(zhì)進行探討，學生能夠較快地接受平方根的概念。學生在活動中初步體會一個數(shù)的平方根的個數(shù)與這個數(shù)的性質(zhì)有關(guān)。

師：你能編幾個求平方根的題目，考考你周同的同學嗎？

接著教師提問：（? ）2=9;（? ）2=1/4;（? ）2=5;（? ）2=0;（? ）2=-4。

師：同學們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)。因為只有0的平方得0，所以0只有一個平方根，是本身。因為任何數(shù)的平方都不可能是負數(shù)，所以負數(shù)沒有平方根。

設計意圖：學生通過對具體的數(shù)的平方根進行討論交流，總結(jié)出正數(shù)、0、負數(shù)的平方根的情況。學生親自探索規(guī)律過程，加深對規(guī)律的理解。

師：我們通過探討得到了正數(shù)a有兩個平方根，其中正的平方根叫作a的算術(shù)平方根，記作√a。而求一個數(shù)a的平方根的運算，叫作開平方（a≥0）。

師：請同學們說說平方根和算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別。

生1：平方根有兩個;算術(shù)平方根有一個，是正的那個。

生2：不對。應該說正數(shù)的平方根有兩個;正數(shù)的算術(shù)平方根有一個，是兩個平方根里正的平方根。

師：很好，也就是說我們求某個正數(shù)的平方根，應該寫出兩個，而求某個正數(shù)的算術(shù)平方根只能寫出一個。那么0有沒有算術(shù)平方根呢？

生：是0。

師：對，0的平方根只有1個，規(guī)定0的算術(shù)平方根也是0。

師：請同學們說說，√7、-√7、±√7各表示什么意義？

思考：√（-7）2的平方根是___。

設計意圖：指明概念，給出相應問題，層層辨析，再轉(zhuǎn)化成符號語言，培養(yǎng)學生的數(shù)感和符號感，讓學生弄清楚平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系。提問中再現(xiàn)概念，思考本質(zhì)，鞏固深化。

（3）學以致用。

例1 判斷下列各數(shù)有沒有平方根，如果有平方根，試求出它的平方根;如果沒有平方根，說明理由。

（1）81;（2）-81;（3）0;（4）（-7）2;（5）-72。

例2 求下列各數(shù)的平方根。

（1）100;（2）1.44;（3）16/49;（4）27/9。

請你說出上述各數(shù)的算術(shù)平方根。

例3 （1）若√a-1有意義，則a的取值范圍是____。

（2）若√a-1+（a+b）2=0，則a2007+b2008=____。

設計意圖：圍繞教學目標，明晰概念。學生通過例1判斷有沒有平方根，關(guān)鍵看所求的數(shù)是不是非負數(shù);學生通過例2再次感受到非負數(shù)的算術(shù)平方根的唯一性。而例3用字母代替數(shù)字，讓本節(jié)課提升到一定的高度。根據(jù)算術(shù)平方根的意義，有隱含條件，根號下的式子必須大于等于0，學生能更深刻地理解被開方數(shù)的非負性，也為以后二次根式的學習做鋪墊。

二、教學反思

數(shù)學概念都有其本質(zhì)特征，教學過程中應注重概念的分析，一步步揭示概念的本質(zhì)。在平方根的教學中，筆者創(chuàng)設了恰當?shù)谋尘耙敫拍?，通過問題再現(xiàn)，引導學生觀察、分析并嘗試概括平方根的真正內(nèi)涵與實質(zhì)。教師在教學中主要引導學生經(jīng)歷從具體實例抽象出數(shù)學概念的過程，在探索中逐步理解概念的本質(zhì)，同時有效的數(shù)學概念教學不是以讓學生學會概念為終極目標，而是讓學生在參與活動中生成和構(gòu)建數(shù)學概念，更要讓學生體悟概念蘊含的豐富的實際意義，理解它的生活價值，獲得對知識的整體認知。

（作者單位：蘇州高新區(qū)實驗初級中學）