江蘇省蘇州市吳江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) (215000) 趙 淵

1979年首屆全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試的題六是：

圖1

原題如圖1，⊙O1與⊙O2相交于點(diǎn)A、B，⊙O1的弦BC交⊙O2于點(diǎn)D，⊙O2的弦BF交⊙O1于點(diǎn)E，證明：∠ABC=∠ABF的充分必要條件是CD=EF．

“舊時(shí)王謝堂前燕，飛入尋常百姓家．”

這道賽題平平常常，在現(xiàn)在九年級(jí)的眾多練習(xí)冊(cè)中都能夠看到它的身影．

下面，讓我們來(lái)看看這道賽題是如何與時(shí)俱進(jìn)、重新演化為全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營(yíng)賽題與另一道全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題的！

將原題中的“弦”(線段)改成“直線”，并改變圖1的面貌，立即得到：

圖2

命題1 如圖2，⊙O1與⊙O2相交于點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)B的一條直線分別交⊙O1、⊙O2于點(diǎn)C、D，過(guò)點(diǎn)B的另一條直線分別交⊙O1、⊙O2于點(diǎn)E、F，證明：∠ABC=∠ABF的充分必要條件是CD=EF．

圖3

在圖1的基礎(chǔ)上，連結(jié)CF，取CF的中點(diǎn)I，設(shè)直線IA與⊙O1、⊙O2分別相交于不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn)G，H，連結(jié)GC、HF(見(jiàn)圖4)，則∠CGA=∠ABC=∠ABF=∠AHF．

過(guò)點(diǎn)C作CM⊥IA于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥IA于點(diǎn)N，注意到I是CF的中點(diǎn)，即知ΔCMI≌ΔFNI，故CM=FN，IM=IN，于是ΔGCM≌ΔHFN，從而知GM=HN，即GH+HM=HM+MN，故GH=MN=2IM．

令GH=IA，則IA=MN=2IM，即知CM垂直平分IA，故CA=CI，于是∠CAI=∠CIA，∠GAC=∠HIF，注意到GH=IA，知GA=HI，于是ΔGAC≌ΔHIF．再注意到I是CF的中點(diǎn)，知CF=2CI=2CA．

至此，2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題(A卷)一水到渠成：

圖4

命題4 如圖4，在銳角ΔBCF中，I是CF邊的中點(diǎn)．點(diǎn)A在ΔBCF內(nèi)，使得BA平分∠CBF．直線IA與ΔBCA，ΔBFA的外接圓分別相交于不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn)G，H，證明：若GH=IA，則CF=2CA．