吳林

課堂教學(xué)能傳授給學(xué)生哪些知識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生的哪些能力和素養(yǎng)，學(xué)生能得到哪些發(fā)展、形成哪些數(shù)學(xué)思想、獲得什么樣的情感體驗(yàn)，這就是教學(xué)設(shè)計(jì)的意圖和動(dòng)機(jī)，也就是教學(xué)設(shè)計(jì)的立意.若從知識(shí)、能力和情感態(tài)度價(jià)值觀三個(gè)維度來(lái)劃分，我們可以將教學(xué)設(shè)計(jì)的立意分為知識(shí)立意、能力立意和人本立意，這三者正好與課程標(biāo)準(zhǔn)的三維目標(biāo)相吻合. 教學(xué)設(shè)計(jì)的立意直接影響到教師對(duì)教學(xué)目標(biāo)的確定、對(duì)教學(xué)內(nèi)容的重組、對(duì)教法的選取以及對(duì)課堂生成的預(yù)設(shè)，它包含教學(xué)目標(biāo)，又高于教學(xué)目標(biāo). 本文以筆者多次講評(píng)同一習(xí)題的課例為例，闡述如何立足習(xí)題教學(xué)，把握教學(xué)立意.

一、三次教學(xué)實(shí)踐及反思

題1（人教版選修1-2，P44習(xí)題2.2，A組第3題）：在？駐ABC中，若三邊a， b， c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：B<■.

課例1：（新授課后的習(xí)題講評(píng)）

學(xué)生獨(dú)立思考，教師巡堂. 很多學(xué)生的第一想法是先用余弦定理表示cosB，即：∵■=■+■，∴ b=■，

∴cosB = ■.

但學(xué)生運(yùn)算到這步就找不到方向了.

師：這么復(fù)雜的式子很難找到化簡(jiǎn)的方向，也就是說(shuō)直接證明會(huì)有難度，那我們應(yīng)該怎么辦？

生：間接證明.

師：很好！用我們剛學(xué)過(guò)的反證法.

師生一起用反證法完成此題，教師板書：假設(shè)B≥90°，則b為三角形的最大邊，∴ b>a，b>c，∴■<■，■<■，∴■<■+■，這與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立.

點(diǎn)評(píng)：從知識(shí)立意的角度來(lái)看，教師講授了反證法，也指出在運(yùn)用直接法有困難時(shí)考慮反證法，傳遞了“正難則反”的思想，達(dá)到了“鞏固反證法”的教學(xué)目標(biāo). 但是，教學(xué)停留在“反證法”本身，學(xué)生從形式上明白了“什么時(shí)候用反證法”，但“不用反證法行不行？”這個(gè)問(wèn)題沒有解決. 通過(guò)這道題的講解，學(xué)生哪些能力能得到提升？學(xué)生會(huì)獲得怎樣的情感體驗(yàn)？這是教學(xué)設(shè)計(jì)沒有考慮到的內(nèi)容，也就是沒有教學(xué)的立意，這是經(jīng)驗(yàn)欠缺和準(zhǔn)備不充分的表現(xiàn).

課例2：（高三一輪復(fù)習(xí)課，課題：均值不等式）

課后，學(xué)生問(wèn)：“老師，我考試時(shí)面對(duì)這種題想不到用反證法怎么辦？”這引發(fā)了我的思考：不用反證法行不行？我后續(xù)研究了這題的解法，并寫了教學(xué)反思.后來(lái)在高三復(fù)習(xí)課時(shí)，我改編此題，對(duì)教學(xué)做了調(diào)整：

題2：在ABC中，若三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：B∈（0，■].

大多數(shù)學(xué)生的第一想法還是用余弦定理表示cosB，即：cosB=■.

師：這個(gè)式子似乎復(fù)雜到找不到計(jì)算方向，我們一起分析條件：■=■+■，這個(gè)式子是哪個(gè)“平均數(shù)”的結(jié)構(gòu)？

生：a，c的調(diào)和平均數(shù).

師：很好！其本質(zhì)就是：b=■，調(diào)和平均數(shù)與其它幾類平均數(shù)存在一組不等關(guān)系？請(qǐng)寫出來(lái).

生：b=■≤■≤■≤■（*）

師：這些不等關(guān)系能否用到此題？怎么應(yīng)用到此題？用那個(gè)比較簡(jiǎn)便？

生：考慮到cosB=■，式中出現(xiàn)了a2+c2和2ac，所以用■≤■和■≤■應(yīng)該都可以.

師：很好！請(qǐng)大家試試.

學(xué)生自己動(dòng)手計(jì)算，注意到a2+c2≥2ac，cosB=■≥■=■，從而求出B∈（0，■].

點(diǎn)評(píng)：教師有了比較充分的準(zhǔn)備，學(xué)生能按照教師的預(yù)設(shè)進(jìn)入學(xué)習(xí)情境，從分析式子結(jié)構(gòu)入手，將幾類平均數(shù)的不等關(guān)系應(yīng)用到本題，學(xué)生的分析能力得到了培養(yǎng)，學(xué)生會(huì)有收獲新知的成功體驗(yàn)，特別是將題2和題1比較，結(jié)果更精確，能激發(fā)學(xué)生的探究興趣. 說(shuō)明教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)有思考：如何引導(dǎo)學(xué)生分析條件，如何啟發(fā)學(xué)生思考問(wèn)題，如何讓學(xué)生參與到教學(xué)中來(lái)？這個(gè)設(shè)計(jì)在知識(shí)和能力立意之上有“人本立意”的傾向.

但是，學(xué)生還是在教師預(yù)設(shè)的思維軌道上行走，在思維的起點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)，教師會(huì)有引導(dǎo)和提示，這不利于學(xué)生分析能力的培養(yǎng). 另外，（*）式的結(jié)論是課標(biāo)沒有要求的，如果沒有提前講授，學(xué)生無(wú)法提取這個(gè)信息. 教師的提示點(diǎn)正是培養(yǎng)學(xué)生思維和素養(yǎng)能力的關(guān)鍵點(diǎn)，教師沒有很好地引導(dǎo)學(xué)生，化解和消除學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，促成教學(xué)生成，忽視學(xué)生自主學(xué)習(xí)過(guò)程，影響學(xué)生思維能力的提升，從而造成“人本立意”高度不夠.

課例3：（高三一輪復(fù)習(xí)，課題：均值不等式）

多年后，我仍以題1為例題展開了一次教學(xué)，很多學(xué)生的第一想法仍然是用余弦定理表示角B，即cosB=■.

師：這么復(fù)雜的式子，似乎找不到化簡(jiǎn)和變形的方向，大家想想我們的目標(biāo)是什么？

生：判斷cosB的正負(fù).

師：很好！那現(xiàn)在的困難在哪？障礙是什么？

生：式子太復(fù)雜，化簡(jiǎn)不了.

師：仔細(xì)觀察這式子的形式和特征，有沒有什么聯(lián)系？

幾分鐘后，生1舉手回答：把它分成兩塊，cosB=■=■-■-1.

師：你是怎么想到的？

生1：式子雖然復(fù)雜，但感覺分子前后“各自為陣”，所以想分開試試.

師：好，你的感覺很好. 有想法時(shí)，要勇敢地試試，才知道結(jié)果. 然后呢？

生1：還沒有想到. 只是發(fā)現(xiàn)第一、二兩個(gè)式子互為倒數(shù).

師：很好，分開兩塊后的式子互為倒數(shù)，比剛才的特征明顯，這個(gè)思路應(yīng)該可行. 大家都想想，看能否找到解決辦法？

生2：可以用換元法. 既然第一、二兩個(gè)式子互為倒數(shù)，那么可設(shè)t=■，則cosB=t-■-1，是一個(gè)關(guān)于t的增函數(shù). 接下來(lái)求出t的范圍，t=■≥■=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào). ∴cosB≥2-■-1=■，∴ B≤60°.

師：這位同學(xué)用換元法幫我們解決一個(gè)大問(wèn)題，把復(fù)雜的式子簡(jiǎn)單化了，也注意到了換元法要注意新元的范圍. 兩位同學(xué)一起按自己的思路解決了這個(gè)問(wèn)題，而且比題目要求的范圍更精確.這個(gè)方法也是我沒有想到的，大家給他們一點(diǎn)掌聲.

學(xué)生的想法確實(shí)超出我的預(yù)設(shè). 我按預(yù)設(shè)給出提示.

師：回到剛才思維受阻的地方：cosB = ■，目標(biāo)是將式子化簡(jiǎn)，然后判斷符號(hào). 大家觀察這個(gè)式子，你還會(huì)有什么想法？

生3：直接用均值不等式，因?yàn)閍2+c2≥2ac，a+c≥2■，這兩個(gè)式子同時(shí)在a=c時(shí)取等號(hào)，所以cosB = ■≥■=■.

師：你是怎么想到的？

生3：我試過(guò)將式子化簡(jiǎn)，行不通. 受生1的啟發(fā)，用整體的思想理解a2+c2，a+c，ac，我想用均值不等式試試.

師：很好，直接從式子的結(jié)構(gòu)和形式分析，找到聯(lián)系. 這是我們解題時(shí)的常用分析方法.

至此，學(xué)生們都很滿意這題的解法了，但是離我的想法還有些差距，于是我讓學(xué)習(xí)小組展開討論，并給出兩點(diǎn)提示：（1）既然從cosB的結(jié)構(gòu)分析，要消去b，并用到均值不等式，能否從條件開始就用均值不等式？（2）如果從判斷符號(hào)的角度來(lái)看，本質(zhì)上是證明a2+c2-b2>0或者說(shuō)比較a2+c2和b2的大小，那還有沒有其他方法？

于是我給了足夠的時(shí)間讓學(xué)生開展小組討論，教師巡堂并參與個(gè)別小組的討論，然后是小組展示.

組1：按老師的提示，將條件簡(jiǎn)單變形后得到b=■≤■=■，再將這一不等關(guān)系代入cosB，得：cosB=■≥■=■. 后來(lái)，我們組發(fā)現(xiàn)其實(shí)條件不變形，直接用均值不等式也可以：■=■+■≥2■，所以，b≤■.

組2：按老師的提示，目的是比較a2+c2和b2的大小，那么可以作商：

■=■≥■=2>1，所以，a2+c2≥b2，原題得證. 后來(lái)我們組還發(fā)現(xiàn)，要求出結(jié)果，只要把b2≤■代入cosB就可以得到：

cosB=■≥■≥■=■，以上各式均當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào).

師：大家的表現(xiàn)都非常棒. 以上這些解法更簡(jiǎn)潔明了，看似很復(fù)雜的式子，經(jīng)過(guò)我們觀察、分析、研究，最后都找到了突破口. 所以，我們只要認(rèn)真分析條件，把條件和學(xué)過(guò)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，大膽嘗試，一定能找到解題思路. 一題多解，有助于更好地復(fù)習(xí)鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)自己靈活解題的能力. 當(dāng)然，如果對(duì)幾類平均數(shù)的大小關(guān)系和結(jié)構(gòu)熟悉的話，可以直接從條件出發(fā)解題[教師板書課例1中的（*）式]. 另外，大家想想，如果只證B<90°，還有什么想法？

生4：反證法.

師：你是怎么想到的？

生4：當(dāng)我算cosB時(shí)，算不下去了，我就想到了“正難則反”，所以想到了反證法. 但沒有繼續(xù)下去，不知道行不行！

師：很好，我們常說(shuō)“正難則反”，不只是一種方法，而應(yīng)該成為一種“思想”，請(qǐng)大家課后試試用反證法完成此題.

點(diǎn)評(píng)：從學(xué)生的思維起點(diǎn)切入，不斷地鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的解法，通過(guò)追問(wèn)的方式暴露和展示學(xué)生的思維過(guò)程，有助于學(xué)生更好地分析和相互進(jìn)行方法的比較;通過(guò)小組合作展示，有助于學(xué)生表達(dá)能力的提升，有助于學(xué)生在“出聲思維”中優(yōu)化自己的解題思路，體驗(yàn)到成功的喜悅和分享的快樂. 學(xué)生的解法有思維回路時(shí)，教師并沒有直接給出簡(jiǎn)單解法，而是提供方向，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)更簡(jiǎn)潔的思路，在比較中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的反思能力.教師歸納與總結(jié)，有助于學(xué)生從本質(zhì)理解前面的解法，易于將知識(shí)和方法形成串，結(jié)成網(wǎng).

教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)不僅考慮了“傳授什么方法，達(dá)成什么學(xué)目標(biāo)”，而且考慮了“如何傳授這些方法，如何實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)”. 在教學(xué)中讓學(xué)生充分參與，培養(yǎng)了學(xué)生的分析、反思和表達(dá)能力，以及勇于探索的精神，有較高的“人本立意”.

二、關(guān)于教學(xué)人本立意的思考

教師要保護(hù)學(xué)生思考的積極性，這是“人本立意”的前提. 教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試自己的想法，不可輕易肯定或否定;要引導(dǎo)學(xué)生做方法的比較，以此培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力、獨(dú)立思考的習(xí)慣. 學(xué)生解決不了新問(wèn)題，不能簡(jiǎn)單地將之歸結(jié)為練習(xí)不足或基礎(chǔ)知識(shí)不牢固，有時(shí)可能是缺乏解題的信心，從而放棄了探究. 這類情感態(tài)度也需要我們有意識(shí)地培養(yǎng)和保護(hù).

教師及時(shí)記錄、反思和分享教學(xué)中的遺憾和發(fā)現(xiàn)，是“人本立意”的基礎(chǔ). 通過(guò)展現(xiàn)教師的思考過(guò)程，能引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)生樹立樂于思考的榜樣，培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神. 同時(shí)也能更好地把握學(xué)情，為教學(xué)找到抓手和著力點(diǎn)，這種反思和實(shí)踐會(huì)使教師的專業(yè)成長(zhǎng)更快. 通過(guò)對(duì)學(xué)生熟悉問(wèn)題的挖掘和拓展能引導(dǎo)學(xué)生跳出“題?！?，重視對(duì)一題多解、一解多題的反思、歸納和總結(jié)，使學(xué)生真正地將方法內(nèi)化，將問(wèn)題形成串、結(jié)成網(wǎng)，以促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、綜合化和應(yīng)用化，從而真正提高學(xué)生的能力和素養(yǎng).

教學(xué)立意的三個(gè)維度不是完全獨(dú)立和割裂的，而是一種包含關(guān)系：能力立意包含知識(shí)立意，人本立意包含能力立意.在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，三者是互相影響的，設(shè)計(jì)教學(xué)應(yīng)以知識(shí)為起點(diǎn)，立意為落點(diǎn)，從人本立意出發(fā)來(lái)確定教學(xué)目標(biāo)，重組教學(xué)內(nèi)容，預(yù)設(shè)教學(xué)生成;教學(xué)立意的落實(shí)應(yīng)以教學(xué)內(nèi)容為載體，以教學(xué)目標(biāo)為抓手. 在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)充分考慮傳授何種知識(shí)，如何傳授？培養(yǎng)什么能力，如何培養(yǎng)？學(xué)生學(xué)到什么，通過(guò)什么方式得到？學(xué)生會(huì)獲得什么體驗(yàn)，如何獲得？將這些問(wèn)題落實(shí)到教學(xué)方法、教學(xué)的具體環(huán)節(jié)中，落實(shí)到教學(xué)的預(yù)設(shè)與生成中，就能更明確教學(xué)立意，也能將立意從無(wú)意識(shí)行為變?yōu)橛幸庾R(shí)行為，將教學(xué)立意從隱形變?yōu)轱@形.

注：作者系廣東省嚴(yán)運(yùn)華名教師工作室成員. 本文系全國(guó)教育信息技術(shù)研究2017年度專項(xiàng)課題“全通教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)平臺(tái)（AMEQP）數(shù)據(jù)支持下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究”（課題立項(xiàng)號(hào)：1744300 26;課題號(hào)：3348）的研究成果.

責(zé)任編輯羅峰