■蔣慶富

已知兩個非零向量a，b，那么|a||b|·cosθ(θ是a與b的夾角)叫作向量a與b的數量積或內積，記作a·b。若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=x1x2+y1y2。

一、求向量的數量積

例1 設△A B C的外接圓的圓心為P，半徑為3，若( )。

解：由的外接圓的圓心為P，半徑為3，可知兩向量的。由向量加法的平行四邊形法則可和向量的模是3。易得知 ，的夾角為120°，所以應選A。

評析：正確理解的意義是解答本題的關鍵。

例2 如圖1所示，正六邊形A B C D E F的邊長為1，則

圖1

評析：解題時要注意向量與的夾角是60°，而不是120°。

二、求向量的模

例3 如圖2所示，在△A B C中，O為B C的中點，若A B=1，A C=3，與的夾角為60°，則

圖2

評析：利用向量之間的關系構造是解答本題的關鍵。

三、判斷三角形的形狀

例4 若O為△A B C所在平面內任一點，且滿足=0，則△A B C的形狀為( )。

表3方案側重于對現有各類設備的數量而不是可用生產時間進行拆分和最優(yōu)分配，相較于表1和表2方案，避免了生產流程的頻繁切換，大大簡化了對設備的管理和調度．

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.正三角形

D.等腰直角三角形

解：由，可得

評析：兩個向量相減時，其差向量的方向是指向被減向量的終點。

四、求面積問題

例5 在四邊形A B C D中則該四邊形的面積為( )。

解：因為，所以對角線A C，B D互相垂直，所以該四邊形的面積S=應選C。

評析：由得到對角線A C，B D互相垂直是解題的關鍵。

例6 已知，且，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為( )。

解：因為，所以，所以所求的平行四邊形的面積為應選A。

評析：由題設條件求出是解答本題的關鍵。

五、求向量的夾角

例7 已知向量a·(a+2b)=0，|a|=2，|b|=2，則向量a與b的夾角為( )。

解：設θ是a與b的夾角。由a·(a+2b)=0，可得|a|2+2a·b=0。根據向量數量積的定義及已知條件可得22+2×2×2×cosθ=0，所以。又因為θ∈[0，π]，所以應選B。

評析：利用可求兩向量的夾角，但要注意夾角θ∈[0，π]。

六、求參數的值

例8 已知菱形A B C D的邊長為6，∠A B D=30°，點E，F分別在邊B C，D C上，B C=2B E，C D=λ C F。若則λ的值為( )。

A.2 B.3

C.4 D.5

評析：把向量用基底向量和表示是解題的關鍵，但要注意作為基底的兩個向量必須是不共線的。

七、求取值范圍問題

例9 已知向量a，b，c共面，a，b，c均為單位向量，且a·b=0，則|a+b-c|的取值范圍是( )。

解：設向量=α，=β。

因為a·b=0，所以a⊥b，則或α，于是可得|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=3-2 cosα

評析：求解本題要注意兩點：一是角α與β之間的關系；二是正確運用兩角和的余弦公式求最值。