王成志 王云超

（集美大學(xué)，廈門(mén) 361021）

主題詞：轉(zhuǎn)向梯形 定位角參數(shù) 運(yùn)動(dòng)分析 轉(zhuǎn)角誤差 轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差

1 前言

轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)與車(chē)輪實(shí)際轉(zhuǎn)角和理想轉(zhuǎn)角的計(jì)算有關(guān)，這兩者的計(jì)算誤差必然影響車(chē)輛轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)。車(chē)輪實(shí)際轉(zhuǎn)角涉及左、右主銷(xiāo)之間和主銷(xiāo)與車(chē)輪之間2類(lèi)運(yùn)動(dòng)傳遞。前者的相關(guān)研究文獻(xiàn)較多，計(jì)算模型有近似的平面模型[1-3]和精確的空間模型[4-5]；后者與車(chē)輛轉(zhuǎn)向輪的主銷(xiāo)內(nèi)傾角、主銷(xiāo)后傾角、車(chē)輪外傾角與前束角這4 個(gè)定位角參數(shù)有關(guān)，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，目前還缺乏其運(yùn)動(dòng)的精確計(jì)算模型。對(duì)斷開(kāi)式車(chē)橋的轉(zhuǎn)向梯形進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析時(shí)，一般直接用轉(zhuǎn)向輪車(chē)輪軸在水平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角變化作為車(chē)輪轉(zhuǎn)角[6-7]。而整體式車(chē)橋的轉(zhuǎn)向梯形運(yùn)動(dòng)分析則分為多種情況：許多文獻(xiàn)[1-5]并不考慮主銷(xiāo)與車(chē)輪之間的運(yùn)動(dòng)差異；文獻(xiàn)[8]、文獻(xiàn)[9]等將主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角按水平角速度分量分解獲得車(chē)輪轉(zhuǎn)角，但只考慮主銷(xiāo)內(nèi)傾與主銷(xiāo)后傾的影響；文獻(xiàn)[10]等提出的球面三角學(xué)計(jì)算模型由于考慮了外傾角對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，計(jì)算精度明顯提高，但依然忽略了車(chē)輪前束角對(duì)轉(zhuǎn)向的影響。另外，用球面三角學(xué)建立的模型沒(méi)有解析的反解，也未考慮初始前束角影響。如果使用存在誤差的計(jì)算模型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，會(huì)影響設(shè)計(jì)精度或影響對(duì)車(chē)輛運(yùn)動(dòng)性能的判斷[11]。

理想轉(zhuǎn)角采用阿克曼理想轉(zhuǎn)向條件計(jì)算時(shí)，主銷(xiāo)中心距或輪距K和車(chē)輛軸距L有多種不同定義，有些定義會(huì)給理想轉(zhuǎn)角自身帶來(lái)計(jì)算誤差[12-13]。

本文重點(diǎn)建立考慮4個(gè)定位角參數(shù)的車(chē)輪轉(zhuǎn)角計(jì)算數(shù)學(xué)模型，以此為基礎(chǔ)，分析用各種模型計(jì)算轉(zhuǎn)角時(shí)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)中各部分計(jì)算誤差，并分析誤差對(duì)機(jī)構(gòu)總轉(zhuǎn)角誤差的影響，根據(jù)獲得的接地點(diǎn)坐標(biāo)定義合理的K、L取值。

2 主銷(xiāo)及車(chē)輪運(yùn)動(dòng)模型

2.1 幾何分析原理

車(chē)輛轉(zhuǎn)向輪的主銷(xiāo)內(nèi)傾角α0、主銷(xiāo)后傾角β0、車(chē)輪外傾角λ0與前束角τ0等的定義如圖1所示。圖1中，DC為主銷(xiāo)軸線，D點(diǎn)為主銷(xiāo)軸線與車(chē)輪旋轉(zhuǎn)軸線的交點(diǎn)，點(diǎn)M0為車(chē)輪輪心，D與M0的距離為m（DM0連線為車(chē)輛直行時(shí)的車(chē)輪軸線初始位置）。主銷(xiāo)轉(zhuǎn)動(dòng)360°時(shí)，輪心M0則繞主銷(xiāo)轉(zhuǎn)動(dòng)1周，形成的軌跡是圓心在主銷(xiāo)軸線上以O(shè)為圓心，半徑為mr的空間圓ζ；而車(chē)輪軸線形成一個(gè)以DM0為母線，底圓為ζ，半頂角為φ的虛擬正圓錐體。

圖1 定位參數(shù)及車(chē)輪輪心軌跡

在圖1的D點(diǎn)建立如圖所示的DxLyLzL坐標(biāo)系，將空間圓ζ沿zL負(fù)方向拉伸或投影到水平地面H上，得到圖2所示的橢圓柱體。以ζ的圓心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系OXLYLZL，ZL軸與左主銷(xiāo)重合，YL軸為圓錐底圓ζ所在斜面與W面（通過(guò)主銷(xiāo)的豎直垂面，即YLZL平面）的交線OE（E點(diǎn)為底圓ζ的最高點(diǎn)），斜向上為正。YL軸線和車(chē)輪軸線DM0在水平面H上的投影分別為若左主銷(xiāo)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為θL，即在圓錐底圓ζ上從OM0轉(zhuǎn)過(guò)角度θL到達(dá)OM（設(shè)車(chē)輛右轉(zhuǎn)），則左車(chē)輪軸線位置DM0轉(zhuǎn)到新位置DM，而在水平投影面上，左車(chē)輪軸線的投影從初始位置D′M0′轉(zhuǎn)過(guò)角度δL到達(dá)D′M′、OM0的投影從轉(zhuǎn)到O′M′。δL即為車(chē)輪繞垂直軸zL轉(zhuǎn)過(guò)的角度，相當(dāng)于θL的水平分量。這時(shí)OM與YL軸的夾角為θ，D′M′與D′O′的夾角為δ（δ相當(dāng)于θ的水平分量，以點(diǎn)D在水平面的投影點(diǎn)D′為角的頂點(diǎn)），兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系可通過(guò)θ的投影角σ來(lái)關(guān)聯(lián)。YL軸正向、D′O′（D′指向O′為正）是角度θ、δ的測(cè)量起始標(biāo)示線，都位于通過(guò)左主銷(xiāo)的豎直垂面W上。分別為θL、δL的測(cè)量起始標(biāo)示線。

圖2 左主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角與左轉(zhuǎn)向車(chē)輪轉(zhuǎn)角投影關(guān)系

圖3所示為右主銷(xiāo)的幾何投影關(guān)系。同理，假設(shè)右主銷(xiāo)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為θR，即在圓錐底圓上ORN0轉(zhuǎn)過(guò)角度θR到達(dá)ORN（設(shè)車(chē)輛右轉(zhuǎn)），則右車(chē)輪軸線從AN0轉(zhuǎn)到AN，而在水平投影面上，右車(chē)輪軸線的投影從A′N(xiāo)0′轉(zhuǎn)過(guò)δR到達(dá)A′N(xiāo)′，ORN0的投影從轉(zhuǎn)到。這時(shí)ORN與YR軸、A′N(xiāo)′與的夾角分別為θ′、δ′，它們的測(cè)量起始標(biāo)示線YR軸都位于通過(guò)右主銷(xiāo)的豎直垂面W′上。

圖3 右主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角與右轉(zhuǎn)向車(chē)輪轉(zhuǎn)角的投影關(guān)系

顯然，先要確定θ（θ′）與δ（δ′）的關(guān)系。

2.2 斜面角度投影及主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角水平分量

在圖1的DxLyLzL坐標(biāo)系中，DO與DM0上的單位向量分別為：

式中，αβ=arctan(cosα0tanβ0)為主銷(xiāo)軸線與其在yLzL平面上的投影間的夾角；λτ=arctan(cosλ0tanτ0)為車(chē)輪軸線與其在yLzL平面上的投影間的夾角。

依據(jù)式（1）和式（2），根據(jù)空間向量的夾角公式，圓錐的半頂角為：

式 中，χ=sinαβsinλτ+sinα0cosαβcosλ0cosλτ+cosα0cosαβsinλ0cosλτ為由4 個(gè)定位參數(shù)決定的半頂角的余弦。

從圖2 中切出如圖4a 所示的計(jì)算模型。為便于觀察分析，將圖2 中的圓錐體和橢圓柱體投影到W平面、XLYL平面和水平面H上，結(jié)果如圖4b～圖4d所示。

圖4 左主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角與左轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角的幾何關(guān)系

借助圖4b可以求出圖4a中的四邊形EE1M1M（其中EE1和M1M都與E1M1垂直）中EE1、MM1的長(zhǎng)度和。再由圖4c求出----EM后，有：

式中，ε=arccos(cosα0cosαβ)為主銷(xiāo)軸線與鉛垂線的夾角。

在△OE1M1（即△O′E′M′）中，可以求出邊長(zhǎng)和，所以又有：

式中，ρ=sinεcosθ。

聯(lián)合式（4）和式（5），整理可得：

式（6）為斜面角度沿垂直方向投影到水平面的投影方程。設(shè)λ1為任意位置車(chē)輪軸線與水平面的夾角，則=mcosλ1。所以，根據(jù)水平面的△OD1M1（即△O′D′M′），由余弦定理可得：

λ1也是文獻(xiàn)[14]中定義的外傾角，考慮了轉(zhuǎn)向過(guò)程中外傾角的變化。由于車(chē)輪輪心M與D點(diǎn)的高度差為所以也有：

根據(jù)△OD1M1各線段長(zhǎng)度，有：

式（9）即為相對(duì)主銷(xiāo)垂直面W的主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角水平分量方程，水平分量的角度頂點(diǎn)D′是車(chē)輪軸線與主銷(xiāo)軸線共點(diǎn)D在水平面的投影點(diǎn)。由式（9）反求θ：

式（10）有2 個(gè)解，互為補(bǔ)角，統(tǒng)一取“+”號(hào)。式（9）和式（10）即為斜面角度θ與其水平分量δ的相互映射關(guān)系式。對(duì)圖3所示的右主銷(xiāo)，用同樣的方法可推導(dǎo)出同樣的式（9）與式（10），只需將θ、δ分別用θ′、δ′代替即可。

顯然，δ=f1(θ)、θ=f2(δ)均為變量θ或δ的偶函數(shù)，且δ=f1(θ)=f1(360?+θ)=f1(360?-θ)，θ=f2(δ)=f2(360?+δ)=f2(360?-δ)。

利用上述函數(shù)特性，可以求出車(chē)輪轉(zhuǎn)角與主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角，即δL和θL、δR和θR的相互映射運(yùn)動(dòng)關(guān)系式。

2.3 左轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角與左主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角的關(guān)系

為了考慮主銷(xiāo)后傾及車(chē)輪前束對(duì)YL軸正向方位的影響，引入2個(gè)符號(hào)常數(shù)：

車(chē)輪軸線在初始位置（車(chē)輛直行）時(shí)，從圖4中可以看出，其在水平面的投影D′M0′與W面的夾角為(δ0-sbτ0)（δ0為主銷(xiāo)軸線在水平面投影與yL軸所夾銳角），按式（10）求出初始位置的θ記為θ0。以(δ0-sbτ0)和θ0為角度參考位置，即可求出δL和θL的關(guān)系。

由θL求δL時(shí)（稱為左側(cè)“銷(xiāo)-輪”轉(zhuǎn)角計(jì)算），先按θ=|sbstθ0-θL|用式（9）求得δ，則：

由δL求θL時(shí)（稱為左側(cè)“輪-銷(xiāo)”轉(zhuǎn)角計(jì)算），先按δ=|-sbδ0+τ0+δL|用式（10）求θ（如果δ＞180°，則θ取反再加360°，即360°-θ)，則：

2.4 右轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角與右主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角的關(guān)系

同理，先以(δ0-sbτ0)替換式（10）的δ求出θ0（左、右輪θ0相等）。以θ′=|sbstθ0+θR|替換式（9）的θ求得δ′。則右側(cè)“銷(xiāo)-輪”轉(zhuǎn)角計(jì)算公式為：

以δ′=|sbδ0-τ0+δR|替換式（10）的δ求出θ′，則右側(cè)“輪-銷(xiāo)”轉(zhuǎn)角計(jì)算公式為：

以上公式中，規(guī)定δL、θL、δR、θR右轉(zhuǎn)為正，左轉(zhuǎn)為負(fù)，4 個(gè)定位參數(shù)按圖1 所示的偏斜方向?yàn)檎?。另外，求得的θL與θR、δL與δR均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

目前的文獻(xiàn)中“輪-銷(xiāo)”和“銷(xiāo)-輪”的計(jì)算模型有3種：多數(shù)文獻(xiàn)假設(shè)車(chē)輪轉(zhuǎn)角等于主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角（以下稱“等同法”）；文獻(xiàn)[8]、文獻(xiàn)[9]等采用公式，實(shí)際就是按主銷(xiāo)單位矢量的垂直分量分解，即θL=δL/(cosα0cosαβ），它是按將角速度分解為水平分量的思路分解的，并不是真正的角度水平分量（以下稱“角速度分量法”）；文獻(xiàn)[10]采用“球面法”?！扒蛎娣ā北徽J(rèn)為是根據(jù)主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角計(jì)算轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角最精確的計(jì)算模型。但須注意：文獻(xiàn)[10]中主銷(xiāo)后傾角的定義實(shí)際是本文的αβ，與國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)[14]中的定義不同。

假設(shè)車(chē)輛4 個(gè)定位參數(shù)α0、β0、λ0、τ0如表1 所示，其中，δRdmax、δLdmax分別為內(nèi)、外輪理想最大轉(zhuǎn)角，分別用“球面法”模型與用本文“銷(xiāo)-輪”模型計(jì)算轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角值，以比較兩者的差別。

表1 車(chē)輛基本特性參數(shù)

因左、右側(cè)模型計(jì)算結(jié)果關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這里僅討論右“銷(xiāo)-輪”計(jì)算模型。以右主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角θR=-40?～36?為自變量，用各模型計(jì)算的右輪轉(zhuǎn)角用δRi表示（用下標(biāo)i區(qū)分各模型的計(jì)算值，i=0 表示本文計(jì)算模型，i=1 表示等同法，i=2表示角速度分量法，下同），其他方法與本文模型的差值曲線如圖5所示（其中“球面法”表示左轉(zhuǎn)的負(fù)轉(zhuǎn)角公式原文獻(xiàn)未提供，為本文增加的）。

圖5 右側(cè)“銷(xiāo)-輪”各計(jì)算模型的計(jì)算誤差

從圖5 中可以看出，用“球面法”與用式（15）計(jì)算的轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角的差值接近零（按實(shí)際數(shù)據(jù)查出，在θR=-40°～36°的轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)，兩者最大差值為0.000 316°）。如果將τ0=0（“球面法”模型沒(méi)有考慮前束的影響）代入式（15）中，則兩者沒(méi)有差值。

假設(shè)各桿件是剛體，不考慮各種力、變形或間隙影響，則車(chē)輛的主銷(xiāo)與轉(zhuǎn)向輪之間的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換關(guān)系理論上僅與4 個(gè)定位參數(shù)有關(guān)。本文計(jì)算公式中完全考慮了這4個(gè)因素，獲得的車(chē)輪轉(zhuǎn)角（δL、δR）是主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角（θL、θR）真正的理論水平分量。

2.5 接地點(diǎn)相對(duì)坐標(biāo)

對(duì)左輪（見(jiàn)圖2），當(dāng)車(chē)輪軸位于DM位置時(shí)，車(chē)輪與地面的接觸點(diǎn)P（假設(shè)車(chē)輪是剛性的）顯然位于垂直平面DMM′D′與地面水平面的交線D′M′上，且在該面上DM⊥MP。D′M′與軸（與yL平行）的夾角為(δL+τ0)（動(dòng)態(tài)左前束角），故在圖2 的坐標(biāo)系DxLyLzL中，左車(chē)輪接地點(diǎn)P（相對(duì)于點(diǎn)D）的坐標(biāo)為：

式中，r為車(chē)輪的輪輞半徑或取輪胎半徑；λ1的余弦和正弦見(jiàn)式（7）和式（8）。

求解時(shí)，左輪以δ=|-sbδ0+τ0+δL|代入式（10）求得θ，再帶入式（7）或式（8）中求出λ1隨車(chē)輪轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律，然后按式（17）求出P點(diǎn)相對(duì)坐標(biāo)。

用同樣方式可求出右車(chē)輪接地點(diǎn)Q相對(duì)于點(diǎn)A的坐標(biāo)（圖3右輪中取yR′∥yR，則A′N(xiāo)′與yR′軸夾角為(δR-τ0)）。

3 轉(zhuǎn)角誤差及轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差

3.1 單側(cè)轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角誤差計(jì)算模型

在優(yōu)化設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)時(shí)，一般是車(chē)輛一側(cè)（如左主銷(xiāo)或左車(chē)輪）按理想運(yùn)動(dòng)輸入，將另一側(cè)（如右主銷(xiāo)或右車(chē)輪）機(jī)構(gòu)輸出的轉(zhuǎn)角與理想轉(zhuǎn)角比較獲得轉(zhuǎn)角誤差。即：

式中，δLd=-δRdmax～δLdmax、δRd分別為左、右輪理想轉(zhuǎn)角。

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3.2 轉(zhuǎn)角的計(jì)算誤差

式（18）中的機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角δR和理想轉(zhuǎn)角δRd與計(jì)算模型有關(guān)，都存在計(jì)算誤差的問(wèn)題。

3.2.1 理想轉(zhuǎn)角及合理的L、K取值

轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的優(yōu)化目標(biāo)是保證左、右輪轉(zhuǎn)向時(shí)的純滾動(dòng)關(guān)系，即δL、δR必須滿足阿克曼理想轉(zhuǎn)向條件：

本文同時(shí)考慮車(chē)輛的左、右轉(zhuǎn)向，右轉(zhuǎn)為正，左轉(zhuǎn)為負(fù)，故不再區(qū)分內(nèi)輪、外輪。

式（19）本身是精確的，但其中的L、K有多種定義[12-13]。不合理的定義會(huì)造成理想轉(zhuǎn)角δRd出現(xiàn)計(jì)算誤差。

如圖6 所示，要保證轉(zhuǎn)向輪純滾動(dòng)，按速度瞬心，左、右主銷(xiāo)軸線與車(chē)輪旋轉(zhuǎn)軸線的交點(diǎn)A、D點(diǎn)在水平地面的投影點(diǎn)與車(chē)輪接地點(diǎn)Q、P連線的延長(zhǎng)線相交于后軸延長(zhǎng)線的O點(diǎn)（水平地面投影點(diǎn)），故有：

圖6 理想的內(nèi)、外轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角關(guān)系

根據(jù)式（17），左車(chē)輪軸線在水平地面上的投影與橫向（AD線）的夾角為(δLd+τ0)。同樣，右車(chē)輪軸線在水平地面上的投影與橫向的夾角為(δRd-τ0)。因此，式（20）可改為：

車(chē)輪存在外傾導(dǎo)致其產(chǎn)生圓錐滾動(dòng)，使車(chē)輪有向外滾動(dòng)的趨勢(shì)[15-16]。理想情況下，這一趨勢(shì)要抵消前束產(chǎn)生的向內(nèi)滾動(dòng)，加上考慮到左、右車(chē)輪的相互牽制作用，可以消除式（21）中的前束角τ0。對(duì)比式（19）與式（21），可得到如下定義：K是兩側(cè)轉(zhuǎn)向車(chē)輪軸線與對(duì)應(yīng)主銷(xiāo)的交點(diǎn)之間的距離，即；L是轉(zhuǎn)向車(chē)輪軸線與主銷(xiāo)的交點(diǎn)到過(guò)后軸豎直鉛垂面的距離，即

另外，如果假設(shè)車(chē)輪轉(zhuǎn)角（δL、δR）等于主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角（θL、θR），從式（17）可知，上述定義依然成立。本文通過(guò)轉(zhuǎn)向車(chē)輪接地點(diǎn)分析得到了K和L的理論值，以實(shí)現(xiàn)對(duì)理想轉(zhuǎn)角較高精度的計(jì)算，而文獻(xiàn)[12]、文獻(xiàn)[13]則用圖形分析或速度分析等方法得到了類(lèi)似的結(jié)果。

3.2.2 轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角的計(jì)算誤差

單軸轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)總轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差ηT由3個(gè)部分組成：轉(zhuǎn)向車(chē)輪與對(duì)應(yīng)主銷(xiāo)之間轉(zhuǎn)角模型的計(jì)算誤差（分別為“輪-銷(xiāo)”和“銷(xiāo)-輪”計(jì)算模型的轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差ηL、ηR）和左、右主銷(xiāo)之間的轉(zhuǎn)角計(jì)算模型的計(jì)算誤差ηM。

前文已經(jīng)用“球面法”驗(yàn)證了本文主銷(xiāo)與轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角互算模型的正確性，因此，用前面3 種計(jì)算方法獲得的轉(zhuǎn)角值，減去用本文模型計(jì)算得到的轉(zhuǎn)角值，得到的差值即可認(rèn)為是各計(jì)算模型的轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差。因球面法沒(méi)有“輪-銷(xiāo)”模型，后文將不再涉及。

第3部分計(jì)算誤差ηM與具體機(jī)構(gòu)有關(guān)，而且正確的空間模型理論上沒(méi)有計(jì)算誤差，平面模型與空間模型的差值就是平面模型的計(jì)算誤差ηM。

轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中，多數(shù)文獻(xiàn)采用比較簡(jiǎn)單的平面模型[2-3]。而空間模型因推導(dǎo)較為復(fù)雜，目前的文獻(xiàn)中沒(méi)有明晰的空間梯形機(jī)構(gòu)解析關(guān)系式。為便于分析及對(duì)比，以下直接列出圖7 所示的空間RSSR（R 表示轉(zhuǎn)動(dòng)副，S表示球面副）轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)A1BCD1左、右主銷(xiāo)轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)關(guān)系式：

式中，T=(-1+2 sin2α0sin2αβ)sin(γ1+θL)-sin 2α0sinαβcos(γ1+θL)+d1/b1sinα0sinαβ；U=cos 2α0cos(γ1+θL)-sin 2α0sinαβsin(γ1+θL)-d1/b1cosα0；V=1-2(1-sin2α0cos2αβ)sin2γ1-2 cos2α0cos 2γ1+sin 2α0sinαβsin 2γ1+d1/b1cosα0(2 cosγ1-cos(γ1+θL))+d1/b1sinα0sinαβ(-2 sinγ1+sin(γ1+θL))；γ1為轉(zhuǎn)向梯形底角；b1為球鉸中心到主銷(xiāo)的垂直距離（A1、D1為垂足），即梯形臂長(zhǎng)；為梯形底邊長(zhǎng)；為轉(zhuǎn)向節(jié)臂沿主銷(xiāo)軸向偏移的長(zhǎng)度。

式（22）有如下的通用解：

圖7 車(chē)輛轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)

對(duì)于圖7的安裝方式和式（22）中的系數(shù)公式，根號(hào)前取“-”號(hào)。

3.3 實(shí)例及討論

假設(shè)某型載貨汽車(chē)的轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)如圖7所示，各參數(shù)見(jiàn)表1，分析轉(zhuǎn)角誤差及轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差變化情況。

先觀察轉(zhuǎn)向輪與主銷(xiāo)互算時(shí)的計(jì)算誤差ηLi、ηRi。以左車(chē)輪轉(zhuǎn)角δL=-δRdmax～δLdmax為自變量，用各計(jì)算模型計(jì)算左主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角θLi，差值(θLi-θL0)就是用各模型計(jì)算左“輪-銷(xiāo)”轉(zhuǎn)角的計(jì)算誤差ηLi，其隨δL的變化曲線如圖8所示。同樣，用各模型計(jì)算的右“銷(xiāo)-輪”轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差ηRi隨θR的變化曲線見(jiàn)圖5。表2列出了在整個(gè)轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)ηLi、ηRi的平均值以及最大絕對(duì)值。對(duì)輕型車(chē)輛，一般希望轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)角誤差控制在1°范圍以內(nèi)，相比這個(gè)數(shù)值，單獨(dú)計(jì)算的ηLi、ηRi較大。

圖8 左側(cè)“輪-銷(xiāo)”各計(jì)算模型的計(jì)算誤差

表2 各模型的轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差

以δLd求θLi，按轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)計(jì)算模型式（23）求右主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角θRi，由θRi計(jì)算δRi，ηTi=δRi-δR0即為用各計(jì)算模型計(jì)算的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)總的轉(zhuǎn)角誤差，其隨δLd的變化情況如圖9 所示，相關(guān)值見(jiàn)表2。最后由式（18）求出整個(gè)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的轉(zhuǎn)角誤差隨車(chē)輪轉(zhuǎn)角變化情況ΔRi，如圖10 所示。實(shí)際上，ηM=0時(shí)，圖10中ΔR1-ΔR2即可得到圖9的對(duì)應(yīng)曲線。

圖9 各計(jì)算模型的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)總轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差

圖10 各計(jì)算模型的梯形機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角誤差

若主銷(xiāo)之間的轉(zhuǎn)角計(jì)算采用理論上無(wú)誤差的空間運(yùn)動(dòng)模型式（23），則ηM=0。圖9 及表2 的總轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差ηTi（ηM=0）就是左、右兩側(cè)主銷(xiāo)與轉(zhuǎn)向輪之間的計(jì)算誤差帶來(lái)的。對(duì)比圖5 和圖8 可見(jiàn)，將各部分串聯(lián)在一起計(jì)算后，一般會(huì)使總計(jì)算誤差ηTi比單獨(dú)的轉(zhuǎn)向輪與主銷(xiāo)互算的計(jì)算誤差ηLi、ηRi小。例如，在本例參數(shù)及γ1=78.2°下（3 種方法的最大絕對(duì)轉(zhuǎn)角誤差分別為0.442 7°、0.578 0°、0.522 6°，數(shù)值較小，表明機(jī)構(gòu)參數(shù)比較合理，見(jiàn)圖10），總轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差ηTi（ηM=0）平均值及最大絕對(duì)值都明顯比左、右側(cè)的計(jì)算誤差ηLi、ηRi小，特別是“等同法”的誤差平均值反而較“角速度分量法”小。

若將γ1改為71.0°（3種方法的最大絕對(duì)轉(zhuǎn)角誤差分別為12.722 2°、13.782 5°、13.940 0°，數(shù)值較大，表明機(jī)構(gòu)參數(shù)不合理），左、右側(cè)的轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差不受影響，總轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差平均值雖有變化，但仍比左、右側(cè)的計(jì)算誤差明顯減?。ㄒ?jiàn)表2中γ1=71.0°一行）；這時(shí)“等同法”的平均值反而大于“角速度分量法”，而且兩種方法的總轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差最大值也反而都大于左、右側(cè)的計(jì)算誤差最大值。設(shè)車(chē)輛允許的轉(zhuǎn)角工作范圍為Ω，總轉(zhuǎn)角計(jì)算平均值減小，表明在Ω的大部分區(qū)域，左、右側(cè)的轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差相互抵消，而最大總轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差增大，表明在Ω的小部分工作范圍內(nèi)，總轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差增大。而且該區(qū)域一般位于車(chē)輛最大轉(zhuǎn)角附近，這時(shí)轉(zhuǎn)角誤差曲線隨車(chē)輪轉(zhuǎn)角增大而急劇增大。從圖10可以看出，若曲線急劇變化，各模型轉(zhuǎn)角誤差曲線雖然很接近，但它們之間可能存在較大的轉(zhuǎn)角差。當(dāng)然，車(chē)輛很少在大轉(zhuǎn)角區(qū)域附近工作，加權(quán)優(yōu)化時(shí)一般會(huì)弱化該區(qū)域計(jì)算誤差的影響。

如果將θL=-40°～36°代入有關(guān)梯形機(jī)構(gòu)平面模型[2-3]，得到有關(guān)ηM值如表3 所示，總的轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差見(jiàn)表2中ηTi(ηM≠0)一行。對(duì)比表2、表3 可知，計(jì)算誤差ηM會(huì)不同程度地增大總的轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差，但ηM并不是直接疊加在ηTi上。

表3 梯形機(jī)構(gòu)平面模型的轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差

可見(jiàn)，由于轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)計(jì)算誤差函數(shù)的特殊性，機(jī)構(gòu)各部分的計(jì)算誤差并不是簡(jiǎn)單地相互累積增大或相互抵消，它們的變化與機(jī)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān)，但變化規(guī)律不明顯。將不精確的計(jì)算模型用于設(shè)計(jì)，其設(shè)計(jì)精度難以保證。所以，必須慎重使用有計(jì)算誤差的運(yùn)動(dòng)模型對(duì)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。對(duì)重型車(chē)輛，若綜合考慮運(yùn)動(dòng)副間隙和零件受力變形等因素，直接用主銷(xiāo)之間機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角誤差進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)（即“等同法”）可能具有合適的設(shè)計(jì)精度，但針對(duì)輕型和中型車(chē)輛設(shè)計(jì)，建議采用更精確的轉(zhuǎn)角計(jì)算模型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)或檢驗(yàn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文采用水平投影方法，獲得了考慮4個(gè)定位角參數(shù)的主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角與轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角相互精確計(jì)算的解析式，解決了由車(chē)輪轉(zhuǎn)角計(jì)算主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角的問(wèn)題，得到以下結(jié)論：

a.轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，必須考慮轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角與主銷(xiāo)轉(zhuǎn)角的差異，應(yīng)該使用只有單側(cè)轉(zhuǎn)向輪有轉(zhuǎn)角誤差的計(jì)算方法。在輕、中型車(chē)輛的優(yōu)化設(shè)計(jì)中尤應(yīng)考慮采用轉(zhuǎn)角精確計(jì)算模型。

b.機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模型帶來(lái)的計(jì)算誤差對(duì)總的轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差產(chǎn)生的影響與轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的參數(shù)有關(guān)。在車(chē)輛轉(zhuǎn)角的很大一部分工作范圍內(nèi)，當(dāng)最大轉(zhuǎn)角誤差較小時(shí)，左、右側(cè)轉(zhuǎn)向輪與其主銷(xiāo)之間的轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差一般會(huì)相互抵消一部分；兩主銷(xiāo)之間的計(jì)算誤差會(huì)增大計(jì)算誤差，但也不是簡(jiǎn)單地累加到總轉(zhuǎn)角計(jì)算誤差上。

c.按接地點(diǎn)分析，阿克曼定理中的K值、軸距L值應(yīng)以車(chē)輪軸線與主銷(xiāo)軸線的交點(diǎn)為計(jì)算或測(cè)量起始點(diǎn)。