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2020-05-22 05:14■
中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高考理化) 2020年5期
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中學(xué)的平面幾何是一個(gè)比較復(fù)雜的內(nèi)容,在各種考試中占的比例都很大,是同學(xué)們比較頭疼的問(wèn)題。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中,要多對(duì)題目進(jìn)行總結(jié)歸納、類(lèi)比遷移,真正理解幾何模型及它們的特征,從而達(dá)到事半功倍的效果。下面我們來(lái)看這樣一組例題。
例1已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,連接AE,BD交于點(diǎn)O,AE與DC交于點(diǎn)M,BD與AC交于點(diǎn)N。
(1)如圖1所示,求證：AE=BD。
(2)如圖2所示,若AC=DC,在不添加任何輔助線(xiàn)的情況下,請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2 中四對(duì)全等的三角形。
圖1
圖2
解：(1)因?yàn)椤鰽CB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,所以AC=BC,DC=EC。 所 以 ∠ACB+∠ACD= ∠DCE+ ∠ACD,即∠BCD=∠ACE。 在 △ACE與 △BCD中,所 以△ACE≌△BCD(SAS),所以AE=BD。
(2)由題意得∠ACB=∠DCE,AC=BC,DC=EC。因?yàn)锳C=DC,所以AC=CD=EC=CB,所 以△ACB≌△DCE(SAS)。由(1)可 知,∠AEC= ∠BDC,∠EAC=∠DBC,所以∠DOM=90°。又因?yàn)椤螦EC= ∠CAE= ∠CBD,∠ACB=∠DCE,所以∠MCE=∠NCB。又CE=CB,所 以△EMC≌△BNC(ASA),所 以CM=CN,所以DM=AN,所以△AON≌△DOM(AAS)。因?yàn)镈E=AB,AO=DO,所以Rt△AOB≌Rt△DOE(HL)。
由這個(gè)模型還可以得到以下常見(jiàn)結(jié)論：∠BOE=90°,OC平分∠BOE,OE=OB。
圖3
例2如圖3所示,△ADE,△FBC為等腰直角三角形,斜邊EA,FB在同一直線(xiàn)上,連接BD交FC于點(diǎn)N,連接CE交AD于點(diǎn)M,連接MN。
(1)證明：AM=FN。
(2)證明：MN與BE平行。
證明：(1)因?yàn)椤鰽DE,△FBC為等腰直角三角形,所以∠DAE=∠CBE=45°,所以AD∥BC。同理,DE∥CF。所以△AME∽△BCE,△BNF∽△BDE,所以FN=又因?yàn)锳E= 2DE,BF=2BC,所以AM=FN。
(2)過(guò)M作MH⊥AE,NK⊥BE,垂足為H,K。由題意知,∠DAE= ∠CFB=45°, 在△AMH與△FNK中,所以△AMH≌△FNK(AAS),所以MH=NK。因?yàn)椤螹HA=∠NKB=90°,所以MH∥NK。
兩個(gè)例題的基本模型都是等腰直角三角形,一個(gè)是手拉手共頂點(diǎn)問(wèn)題,一個(gè)是不共頂點(diǎn)問(wèn)題,一個(gè)是全等,一個(gè)是相似。共同點(diǎn)是都要用到邊和角的等量關(guān)系,不同點(diǎn)是等量關(guān)系所用的結(jié)論不同。
小結(jié)：三角形的全等與相似是平面幾何的基礎(chǔ),在學(xué)習(xí)的過(guò)程中,有不少同學(xué)因?yàn)檫@一部分內(nèi)容太難而喪失了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。因此,在學(xué)習(xí)的過(guò)程中,同學(xué)們要多總結(jié)基本題型,多前后對(duì)比,提升學(xué)習(xí)興趣,提高解決問(wèn)題的能力。
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例1已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,連接AE,BD交于點(diǎn)O,AE與DC交于點(diǎn)M,BD與AC交于點(diǎn)N。
(1)如圖1所示,求證：AE=BD。
(2)如圖2所示,若AC=DC,在不添加任何輔助線(xiàn)的情況下,請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2 中四對(duì)全等的三角形。
圖1
圖2
解：(1)因?yàn)椤鰽CB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,所以AC=BC,DC=EC。 所 以 ∠ACB+∠ACD= ∠DCE+ ∠ACD,即∠BCD=∠ACE。 在 △ACE與 △BCD中,所 以△ACE≌△BCD(SAS),所以AE=BD。
(2)由題意得∠ACB=∠DCE,AC=BC,DC=EC。因?yàn)锳C=DC,所以AC=CD=EC=CB,所 以△ACB≌△DCE(SAS)。由(1)可 知,∠AEC= ∠BDC,∠EAC=∠DBC,所以∠DOM=90°。又因?yàn)椤螦EC= ∠CAE= ∠CBD,∠ACB=∠DCE,所以∠MCE=∠NCB。又CE=CB,所 以△EMC≌△BNC(ASA),所 以CM=CN,所以DM=AN,所以△AON≌△DOM(AAS)。因?yàn)镈E=AB,AO=DO,所以Rt△AOB≌Rt△DOE(HL)。
由這個(gè)模型還可以得到以下常見(jiàn)結(jié)論：∠BOE=90°,OC平分∠BOE,OE=OB。
圖3
例2如圖3所示,△ADE,△FBC為等腰直角三角形,斜邊EA,FB在同一直線(xiàn)上,連接BD交FC于點(diǎn)N,連接CE交AD于點(diǎn)M,連接MN。
(1)證明：AM=FN。
(2)證明：MN與BE平行。
證明：(1)因?yàn)椤鰽DE,△FBC為等腰直角三角形,所以∠DAE=∠CBE=45°,所以AD∥BC。同理,DE∥CF。所以△AME∽△BCE,△BNF∽△BDE,所以FN=又因?yàn)锳E= 2DE,BF=2BC,所以AM=FN。
(2)過(guò)M作MH⊥AE,NK⊥BE,垂足為H,K。由題意知,∠DAE= ∠CFB=45°, 在△AMH與△FNK中,所以△AMH≌△FNK(AAS),所以MH=NK。因?yàn)椤螹HA=∠NKB=90°,所以MH∥NK。
兩個(gè)例題的基本模型都是等腰直角三角形,一個(gè)是手拉手共頂點(diǎn)問(wèn)題,一個(gè)是不共頂點(diǎn)問(wèn)題,一個(gè)是全等,一個(gè)是相似。共同點(diǎn)是都要用到邊和角的等量關(guān)系,不同點(diǎn)是等量關(guān)系所用的結(jié)論不同。
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