王少東

(新疆昌吉州第二中學(xué) 新疆 昌吉 831100)

1.引言

為研究函數(shù)極值問(wèn)題，最初由法國(guó)費(fèi)馬引入導(dǎo)數(shù)的思想，后被應(yīng)用于物理等學(xué)科。導(dǎo)數(shù)是微積分的基礎(chǔ)知識(shí)，為探討函數(shù)、解決實(shí)際問(wèn)題提供了有力工具。在數(shù)學(xué)知識(shí)中函數(shù)和不等式聯(lián)系密切，也正因?yàn)槿绱?，?dǎo)數(shù)和不等式在內(nèi)容上有著密切的聯(lián)系。解決不等式問(wèn)題的常用方法：分析法、比較法、綜合法、重要不等式法、數(shù)學(xué)歸納法等，但對(duì)于一些特殊類型的不等式時(shí)，我們很難根據(jù)以上解決不等式的常用方法來(lái)研究不等式。掌握導(dǎo)數(shù)的概念、拉格朗日中值定理之后，對(duì)導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)便會(huì)有更深層次的認(rèn)知和理解。既然兩者之間有著密切聯(lián)系，那么如果我們將導(dǎo)數(shù)和不等式聯(lián)系起來(lái)，對(duì)于某些特殊形式的不等式的證明問(wèn)題就有了行之有效的解決方法。本文主要研究拉格朗日中值定理在不等式證明中的應(yīng)用。同時(shí)進(jìn)行舉例說(shuō)明、歸納總結(jié)。以此來(lái)論證導(dǎo)數(shù)為不等式的證明提供了許多有效途徑和簡(jiǎn)便的方法。

2.拉格朗日中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

微積分在研究物體變化上起到了重大作用，中值定理在微積分方面得到了很好的應(yīng)用，同時(shí)也為許多不等式的證明提供了行之有效的方法。在理解此定理，幾何意義，等價(jià)表達(dá)形式的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)對(duì)中值定理在不等式證明中的一些例題進(jìn)行研究，并分析其解題的技巧和方法。

2.1 拉格朗日中值定理。中值定理[1]：若函數(shù)f滿足如下條件：

(i)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

(ii)f在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，

則在(a,b)上至少存在一點(diǎn)ζ，使得

(2.1)

中值定理的幾何意義：滿足中值定理?xiàng)l件的曲線f(x)至少存在一點(diǎn)M(ζ,f(ζ))，使該點(diǎn)處的斜率等于曲線兩個(gè)端點(diǎn)的連線AB斜率。也就是說(shuō)曲線兩個(gè)端點(diǎn)的連線AB與曲線在點(diǎn)M(ζ,f(ζ))處的切線相平行。

物理意義：曲線運(yùn)動(dòng)中，任意一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程至少存在一個(gè)時(shí)刻(或一個(gè)位置)的瞬時(shí)速率等于整個(gè)過(guò)程中的平均速率。

定理中的公式(2.1)稱為拉格朗日公式。

拉格朗日公式還有其他等價(jià)表達(dá)形式，不同的情況可選擇適當(dāng)?shù)牡葍r(jià)表示形式：

f(b)-f(a)=f′(ζ)(b-a),a<ζ

(2.2)

f(a+h)-f(a)=f′(a+θh)h,0<θ<1；

(2.3)

f(b)-f(a)=f′(a+θ(b-a))(b-a),0<θ<1 ；

(2.4)

f(x+△x)-f(x)=f′(ζ)△x,ζ∈(x,x+△x)；

(2.5)

△y=f′(x+θ△x)△x,θ∈(0,1)，其中△y=f(x+△x)。

(2.6)

注：拉格朗日公式無(wú)論是ab都，ζ是介于a與b之間的某一。(2.3)、(2.4)、(2.6)則是把ζ表達(dá)成了a+θh，a+θ(b-a)和x+θ△x的形式，無(wú)論a，b是何值，θ總可為小于1的正數(shù)。

其中x0=φ(t0)，y0=Ψ(t)。

證 令F(t)=f(φ(t),Ψ(t))，由拉格朗日中值定理，得

F(t2)-F(t1)=F′(t0)(t2-t1)，(t1

多個(gè)函數(shù)高階微分中值定理[2]：設(shè)f1(x)，f2(x)，…，fn(x)滿足：

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有n-1階導(dǎo)數(shù)，

則對(duì)任意的ci∈(a,b)，i=0,1,2,…,n-1其中c0=a，cn-1=b，存在ζ∈(a,b)，使

多個(gè)函數(shù)高階微分中值定理的各種具體表現(xiàn)形式：

(1)當(dāng)n=2時(shí)，可得

若取f1(x)=x，f2(x)=f(x)，則得f(b)-f(a)=f′(ζ)(b-a),a<ζ

(2)取n=3，f1(x)=f(x)，f2(x)=x2，f3(x)=x，可得

這就是二階微分形式的中值定理。

2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式。

即結(jié)論成立．

例2 (2010年全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2。

(1)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍。

解：(1)略

(2)若用一般方法計(jì)算，步驟如下：

f′(x)=ex-1-2ax由(1)知ex≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立。故

f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x

當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0。

f′(x)

故當(dāng)x∈(0,In2a)時(shí)，f′(x)<0，而f(0)=0，于是當(dāng)x∈(0,In2a)時(shí)，f(x)<0。

可見，以上方法計(jì)算量大，且繁瑣。下面將使用拉格朗日中值定理來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

令g(x)=ex-ax2-1，(x≥0)，g(x)滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，

即轉(zhuǎn)化求g′(ζ)≥1,ζ∈(0,x)?g′(ζ)=eζ-2aζ≥1,ζ∈(0,x)。

令h(ζ)=eζ,ζ∈(0,x)也滿足拉格朗日中值定理的條件，

從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了h′(η)=eη≥2a,η∈(0,ζ)。

本題使用兩次拉格朗日中值定理把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的函數(shù)不等式eη≥2a，η∈(0,ζ)從而進(jìn)一步求解出結(jié)果，使得復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，體現(xiàn)出了定理在不等式運(yùn)用的優(yōu)越性。

中值定理在不等式證明中的應(yīng)用思想：

定理是以等式的形式存在的，我們可根據(jù)ζ在區(qū)間(a,b)上的取值估計(jì)f′(ζ) 的取值范圍，從而將朗格朗日公式與不等式聯(lián)系起來(lái)，這是應(yīng)用中值定理證明不等式的重要思想。步驟如下：

(1)分析不等式的具體特點(diǎn)，如果所要證明的不等式和拉格朗日公式f′(ζ) (b-a)=f(b)-f(a)有形式上的相似，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f(x)，這是關(guān)鍵的步驟。

(2)驗(yàn)證函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)是否滿足中值定理的兩個(gè)條件，得出公式。

(3)將欲證的不等式變形，利用f(x)和f′(x)的性質(zhì)，從而驗(yàn)證不等式。