雙層環(huán)形桁架可展天線機構(gòu)運動特性與動力學(xué)分析

2020-05-20 01:24韓博許允斗姚建濤鄭東李永杰趙永生

兵工學(xué)報 2020年4期

韓博，許允斗,2，姚建濤,2，鄭東，李永杰，趙永生,2

(1.燕山大學(xué) 河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室, 河北秦皇島 066004;2.燕山大學(xué) 先進鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室, 河北秦皇島 066004)

0 引言

隨著空間通訊、軍事偵察以及對地觀測等各類航天任務(wù)的不斷發(fā)展，宇航空間機構(gòu)的尺寸越來越大[1]。由于運載火箭有效載荷艙空間有限，空間可展機構(gòu)這類可以在發(fā)射和運載時收攏、入軌到位后展開的機構(gòu)在衛(wèi)星平臺、空間站以及航天飛行器上得到了廣泛應(yīng)用，并逐漸成為航空航天領(lǐng)域的研究熱點之一[2-5]。

空間可展機構(gòu)在航空航天領(lǐng)域的一個重要應(yīng)用是作為星載天線的展開與支撐機構(gòu)[6]。網(wǎng)狀反射面可展天線是星載天線中重要的一類，主要由可展開支撐機構(gòu)和索網(wǎng)結(jié)構(gòu)張拉形成的反射面構(gòu)成，具有口徑大、收攏率高以及質(zhì)量輕的特點，在星載大口徑天線領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[7]。目前研制成功的大口徑星載空間可展天線類型主要有構(gòu)架式可展天線、環(huán)形桁架式可展天線、伸展肋式可展天線以及環(huán)柱形可展天線等[8-10]。

環(huán)形桁架式可展天線具有收攏率較高以及桁架質(zhì)量較小的特點，相較于其他類型，隨著天線口徑的增大其質(zhì)量并不呈比例增加，是空間大口徑和超大口徑天線較為理想的結(jié)構(gòu)形式[11]。美國NGST公司在2000年研發(fā)的AstroMesh天線是環(huán)形桁架可展開天線在軌應(yīng)用的成功范例，該天線從最初的2.5 m到現(xiàn)在運用較多的12.5 m口徑，經(jīng)歷了7代產(chǎn)品升級，并先后在Inmarsat-4系列、Thuraya系列和MBSAT系列衛(wèi)星上成功應(yīng)用[12]；由于單層環(huán)形桁架機構(gòu)在口徑較大時整體剛度較低，Escrig[13]最早于1985年提出了Pactruss雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)；You等[14]基于剪叉機構(gòu)采用繩驅(qū)動研制了環(huán)形桁架機構(gòu)樣機；Datashvili等[15]研制成功了口徑為6 m的雙層環(huán)形可展開桁架機構(gòu)。國內(nèi)學(xué)者研制了單、雙層環(huán)形桁架可展開天線與四面體構(gòu)架式可展開天線的原理樣機[16-18]；也有學(xué)者分別構(gòu)造了大型可展機構(gòu)[19-20]；史創(chuàng)等[21]提出了曲柄滑塊式平面可展機構(gòu)單元，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計了單、雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)并制作了原理樣機。綜上所述，相關(guān)科研人員在大口徑星載環(huán)形桁架式可展天線領(lǐng)域做了較多研究，但是總體而言，目前在軌運行的環(huán)形桁架可展天線機構(gòu)類型仍然較少。

在空間機構(gòu)的運動特性與動力學(xué)分析方面，楊毅等[22]分析了一類多面體伸展臂機構(gòu)；Chen等[23]、Shang等[24]和Chen等[25]研究了Bricard和Bennett連桿機構(gòu)在構(gòu)造空間可展機構(gòu)時的運動特性；Zhao等[26]和李端玲等[27]利用螺旋理論，分別分析了平面型和球面型剪叉機構(gòu)的運動特性；Wei等[28]基于螺旋理論和圖論分析了魔術(shù)花球機構(gòu)的自由度問題；Sun等[29-30]基于螺旋理論分別分析了剪叉機構(gòu)組合單元的自由度、運動學(xué)以及動力學(xué)等問題；曲夢可等[31]研究了一種輪腿混合機器人的機械腿動力學(xué)建模問題。具體到空間可展開天線機構(gòu)方面，許允斗等[32]基于螺旋理論，針對四面體構(gòu)架式可展天線提出了一種拆桿等效的自由度分析方法；齊朝暉等[33]研究了周邊桁架式可展開天線展開運動學(xué)與控制問題；Patel等[34]針對一種環(huán)狀可展天線機構(gòu)，建立了整體機構(gòu)的運動學(xué)和動力學(xué)模型，并研究了摩擦對其展開運動的影響；劉瑞偉等[35]分析了一種大口徑索肋張拉式折展天線的動力學(xué)特性問題；李團結(jié)等[36]研究了周邊桁架可展天線的展開過程動力學(xué)問題；彭云等[37]研究了重力對大型環(huán)形可展天線展開動力學(xué)的影響。以上文獻針對不同類型的空間機構(gòu)及可展開天線機構(gòu)進行了研究，但由于雙層環(huán)形桁架可展天線機構(gòu)屬于復(fù)雜的空間多環(huán)耦合機構(gòu)，桿件與運動副數(shù)量較多，自由度及運動學(xué)與動力學(xué)分析較為困難，目前多采用軟件仿真模擬，難度較大且普適性較低。整體而言，從理論上針對此類機構(gòu)進行相關(guān)分析的研究較少。

本文提出一種雙層環(huán)形桁架可展天線機構(gòu)，分析了雙層環(huán)形桁架機構(gòu)的構(gòu)型機理并進行機構(gòu)分解；基于螺旋理論分析了機構(gòu)的自由度，并分析了整體機構(gòu)中各個構(gòu)件的速度和加速度；基于牛頓- 歐拉方程和虛功原理，建立了整體雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)的動力學(xué)方程，最后進行了數(shù)值仿真驗證。本文研究旨在豐富大口徑環(huán)形桁架可展天線機構(gòu)的構(gòu)型，并為此類可展機構(gòu)的運動特性和動力學(xué)分析提供參考。

1 雙層環(huán)形桁架可展天線機構(gòu)

雙層環(huán)形桁架可展天線機構(gòu)如圖1所示，其整體為由連桿鉸接而成的中心對稱桁架機構(gòu)，主要包括內(nèi)層環(huán)形桁架、外層環(huán)形桁架和多個內(nèi)外層桁架連接單元，其內(nèi)層環(huán)形桁架和外層環(huán)形桁架均呈環(huán)狀，且各有上下兩個環(huán)狀桁架機構(gòu)，內(nèi)外層桁架連接單元為剪叉機構(gòu)單元，整體機構(gòu)通過位于節(jié)點處的花盤連接件連接。

圖1 雙層環(huán)形桁架可展天線機構(gòu)Fig.1 Double-ring truss deployable mechanism

圖1(a)和圖1(b)分別為雙層環(huán)形桁架可展天線機構(gòu)的完全收攏狀態(tài)和完全展開狀態(tài)，是其收藏運輸和在軌工作時的位形狀態(tài)。在整個機構(gòu)的展開或收攏運動過程中其將處于半展開狀態(tài)(見圖2(a))，也是它的一般位形狀態(tài)。半展開的內(nèi)層環(huán)形桁架機構(gòu)和外層環(huán)形桁架機構(gòu)的結(jié)構(gòu)相同，均由平面3R機構(gòu)(R代表轉(zhuǎn)動副)通過花盤連接件連接組成，內(nèi)外層環(huán)形桁架通過中間的剪叉機構(gòu)單元連接，整體機構(gòu)中所含運動副均為轉(zhuǎn)動副。對雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)進行結(jié)構(gòu)分解，可以將其分解為一個閉環(huán)可展機構(gòu)單元、多個非閉環(huán)可展機構(gòu)單元以及兩個平面3R機構(gòu)，如圖2(b)所示。

圖2 雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)半展開狀態(tài)及其結(jié)構(gòu)分解Fig.2 Semi-deployed state of double-ring truss mechanism and its structural decomposition

2 雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)自由度分析

2.1 閉環(huán)可展機構(gòu)單元自由度分析

針對閉環(huán)可展機構(gòu)單元建立空間笛卡爾坐標(biāo)系，如圖3所示，坐標(biāo)系原點O位于底部花盤連接件中心位置處，X軸由底部原點處的花盤連接件指向另一個花盤連接件，Z軸豎直向上，Y軸由右手定則確定。圖3中：大寫字母A～F表示各花盤連接件編號，l為剪叉桿上與內(nèi)層花盤連接件相連的一段長度，L為與外層花盤連接件相連的一段長度，q為外層花盤連接件之間連接的兩個連桿長度q；α為剪叉桿在OXY平面上的投影與Y軸的夾角，θ為相連兩個剪叉桿之間的夾角，β為外層花盤之間連接的連桿與X軸的夾角。

圖3 閉環(huán)可展機構(gòu)單元及坐標(biāo)系Fig.3 Closed loop deployable mechanism unit and coordinate system

設(shè)定內(nèi)層花盤連接件上各轉(zhuǎn)動副軸線與中心的距離為m，外層花盤連接件上各轉(zhuǎn)動副軸線與中心的距離為n，在圖3中各參數(shù)之間關(guān)系為

(1)

圖3中，桿件編號用兩兩連接的花盤連接件編號表示，如花盤A和花盤E之間的剪叉桿編號為AE，花盤C和花盤D之間連接的兩個連桿編號分別為CD1和CD2, 其他構(gòu)件命名規(guī)則相同?；趫D論和螺旋理論，用圓圈表示構(gòu)件，用線條表示運動副，用帶數(shù)字的運動旋量表示不同關(guān)節(jié)處的運動，如用$2表示連接桿件AE和DF轉(zhuǎn)動副的運動，可以得到閉環(huán)可展開機構(gòu)單元的旋量約束拓撲圖，如圖4所示。

圖4 閉環(huán)可展開機構(gòu)單元旋量約束拓撲圖Fig.4 Screw constraint topology of closed loop deployable mechanism unit

由連接桿件AB1和桿件AB2的轉(zhuǎn)動副11空間位置坐標(biāo)，可得

(2)

式中：r11表示轉(zhuǎn)動副11的空間位置；n為花盤尺寸。

轉(zhuǎn)動副11的轉(zhuǎn)軸所在軸線方向矢量為

(3)

根據(jù)螺旋理論，可以得到轉(zhuǎn)動副11的運動螺旋，其單位螺旋表達式為

(4)

同理可以得到圖4中所示其他運動螺旋的表達式。用ω表示相應(yīng)轉(zhuǎn)動副的角速度，針對圖4中的Ⅰ～Ⅲ 3個閉環(huán)，建立相應(yīng)的旋量約束方程，可得閉環(huán)可展機構(gòu)單元對應(yīng)的旋量約束方程組為

(5)

式中：ωi為機構(gòu)單元中轉(zhuǎn)動副i的角速度量；0是六維零向量。

將(5)式寫成矩陣的形式：

MN=0，

(6)

式中：

(7)

(8)

(9)

旋量約束矩陣M是一個18×16維矩陣，閉環(huán)可展開機構(gòu)單元的自由度數(shù)對應(yīng)于旋量約束矩陣的零空間維數(shù)，通過數(shù)值計算軟件MATLAB計算，可得

rank(M)=15.

(10)

旋量約束矩陣M的列數(shù)為16，其零空間的維數(shù)為列數(shù)減去秩，因此可以得到閉環(huán)可展開機構(gòu)單元的自由度數(shù)為1.

2.2 單元組合機構(gòu)及雙層環(huán)形桁架機構(gòu)自由度分析

雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)可以分解為一個閉環(huán)可展機構(gòu)單元、多個非閉環(huán)可展機構(gòu)單元以及兩個平面3R機構(gòu)。由圖2可以看出，非閉環(huán)可展機構(gòu)單元包含構(gòu)型相同的兩種類型，區(qū)別僅為構(gòu)件尺寸不同，由于構(gòu)件尺寸不影響機構(gòu)自由度，故在分析整體自由度時，可以對非閉環(huán)可展機構(gòu)單元做統(tǒng)一處理。在圖3所示的閉環(huán)可展機構(gòu)單元基礎(chǔ)上進行機構(gòu)組合，組合一個非閉環(huán)可展機構(gòu)單元，如圖5所示。

圖5 單元組合機構(gòu)及坐標(biāo)系Fig.5 Unit combination mechanism and coordinate system

圖5中，左側(cè)的閉環(huán)可展機構(gòu)單元與坐標(biāo)系即為圖3中的機構(gòu)單元及坐標(biāo)系，同樣用大寫字母對右側(cè)機構(gòu)單元的花盤連接件進行編號，桿件及運動副的編號規(guī)則同2.1節(jié)，可以得到圖5中非閉環(huán)可展機構(gòu)單元的旋量約束拓撲圖，如圖6所示。

圖6 非閉環(huán)可展機構(gòu)單元旋量約束拓撲圖Fig.6 Screw constraint topology of non-closed loop deployable mechanism unit

針對圖6中的ⅰ～ⅲ 3個閉環(huán)，建立相應(yīng)的旋量約束方程，可得旋量約束方程組為

(11)

聯(lián)立(5)式和(11)式，可得單元組合機構(gòu)的旋量約束方程組為

(12)

(12)式寫成矩陣的形式：

PQ=0，

(13)

式中：

(14)

系數(shù)矩陣P可以容易地通過(12)式得到。

圖5中，花盤連接件B、C、E、F所連接的剪叉機構(gòu)及其上所連接的5個轉(zhuǎn)動副為兩個機構(gòu)單元所共用，聯(lián)立(5)式和(11)式時，重復(fù)計算了兩個機構(gòu)單元共用的剪叉機構(gòu)及轉(zhuǎn)動副，因此在計算單元組合機構(gòu)的自由度時，應(yīng)除去重復(fù)計算的運動螺旋，即將$7、$8、$9、$14和$16分別去掉一個，只計算一次。這里將非閉環(huán)可展機構(gòu)單元中重復(fù)計算的運動螺旋去掉，即圖6中的紅色虛線部分，因此(13)式中的系數(shù)矩陣P可以寫為

(15)

式中：

(16)

(17)

由(15)式可得

rank(P)=rank(M)+rank(M′)，

(18)

代入機構(gòu)參數(shù)，可得

(19)

則單元組合機構(gòu)的自由度為

d=u-rank(P)=27-26=1，

(20)

式中：d為自由度數(shù)；u為矩陣的列數(shù)。

由于矩陣M′為列滿秩矩陣，(20)式也可以寫為

d=uM+uM′-rank(M)-rank(M′)= [uM-rank(M)]+[uM′-rank(M′)]=uM-rank(M)，

(21)

式中：uM為矩陣M的列數(shù)；uM′為矩陣M′的列數(shù)。

由(21)式可以看出，單元組合機構(gòu)的自由度數(shù)仍然取決于矩陣M，單元組合機構(gòu)的自由度數(shù)與單個閉環(huán)可展機構(gòu)單元的自由度數(shù)相同。

由以上分析可知，當(dāng)在單元組合機構(gòu)的基礎(chǔ)上繼續(xù)添加非閉環(huán)可展機構(gòu)單元時，整體機構(gòu)的自由度仍然與單個閉環(huán)可展機構(gòu)單元相同。同理可以分析得到，當(dāng)在單個閉環(huán)可展機構(gòu)單元上添加多個非閉環(huán)可展機構(gòu)單元以及兩個平面3R機構(gòu)形成雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)時，其整體自由度仍然與單個閉環(huán)可展機構(gòu)單元相同，雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)整體只具有一個自由度。由于機構(gòu)中運動構(gòu)件的運動自由度數(shù)小于或等于整體機構(gòu)的自由度數(shù)[38]，雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)中的各個運動構(gòu)件也只有一個運動自由度。

3 雙層環(huán)形桁架機構(gòu)速度分析

在進行速度分析時，以圖5所示的單元組合機構(gòu)為基礎(chǔ)，對雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)進行單元劃分，將雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)劃分為多個相同的單元組合機構(gòu)，相鄰單元組合機構(gòu)之間共用4個花盤連接件以及一個剪叉機構(gòu)，如圖7所示。

圖7 多個單元組合機構(gòu)Fig.7 Multi-unit combination mechanism

3.1 單元組合機構(gòu)速度分析

由2.2節(jié)分析可知，單元組合機構(gòu)為單自由度機構(gòu)，因此，若給定其中的一個輸入，如ω1，通過(12)式中的旋量約束方程組可以解得各個角速度未知量，進而基于單元組合機構(gòu)的構(gòu)型關(guān)系以及圖4和圖6所示的旋量約束拓撲圖，通過旋量運算便可以得到各個構(gòu)件的旋量速度。

在圖4所示的旋量約束拓撲圖中，閉環(huán)Ⅰ中各個構(gòu)件的旋量速度為

(22)

式中：VA、VAE、VAB1、VE、VAB2、VB、VBE分別為構(gòu)件A、AE、AB1、E、AB2、B、BE的旋量速度。

在圖4所示的旋量約束拓撲圖的閉環(huán)Ⅱ中，構(gòu)件AE、E和BE的旋量速度可以通過(22)式求出，閉環(huán)Ⅱ中其他構(gòu)件的旋量速度可以由已經(jīng)求得的構(gòu)件旋量速度計算得到，以構(gòu)件AE的旋量速度為基礎(chǔ)，閉環(huán)Ⅱ中其他構(gòu)件的旋量速度為

(23)

式中：VDF、VF、VCF分別為構(gòu)件DF、F、CF的旋量速度。

同理，圖4中的閉環(huán)Ⅲ以及圖6中的閉環(huán)ⅰ～ⅲ中各個構(gòu)件的旋量速度也可以依次求解出。

根據(jù)速度旋量的物理意義，各個構(gòu)件i的角速度坐標(biāo)量可以表示為

ωi=ω(Vi)，

(24)

式中：ω(·)為取速度旋量的原部，即前3項。

速度旋量中包括構(gòu)件的角速度和線速度，其原部為構(gòu)件的角速度，對偶部為構(gòu)件上原點重合點的線速度，因此構(gòu)件的質(zhì)心線速度可以表示為

vi=ν(Vi)+ω(Vi)×ri，

(25)

式中：ν(·)表示取速度旋量的對偶部，即后3項；ri表示坐標(biāo)原點到構(gòu)件質(zhì)心位置的矢量。

通過以上分析計算，就可以完成整個單元組合機構(gòu)的角速度和質(zhì)心處線速度的求解。

3.2 其他單元組合機構(gòu)速度分析

由于雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)為完全中心對稱機構(gòu)，各個單元組合機構(gòu)尺寸完全相同，且關(guān)于環(huán)形桁架中心對稱，若在各個單元組合機構(gòu)處建立自身坐標(biāo)系，則各個單元組合機構(gòu)中位置相同的構(gòu)件在自身坐標(biāo)系下速度相同。

如圖8所示，3.1節(jié)中單元組合機構(gòu)中各個構(gòu)件的速度是在圖8中左側(cè)所示的坐標(biāo)系OXYZ中求得的。在與其相鄰連接的右側(cè)單元組合機構(gòu)處建立坐標(biāo)系O1X1Y1Z1，以花盤連接件B和K為例，花盤連接件B在坐標(biāo)系OXYZ中的速度與花盤連接件K在坐標(biāo)系O1X1Y1Z1中的速度相同，即

(26)

圖8 兩個單元組合機構(gòu)及其坐標(biāo)系Fig.8 Two-unit combination mechanisms and coordinate systems

圖8中右側(cè)的單元組合機構(gòu)中其他構(gòu)件也有類似關(guān)系，同理可以推廣到整個雙層環(huán)形桁架中其他單元和機構(gòu)中。若整個雙層環(huán)形桁架可以分為N個單元組合機構(gòu)，則可建立OXYZ～ON-1XN-1YN-1ZN-1共N個坐標(biāo)系，選定坐標(biāo)系OXYZ為全局坐標(biāo)系，相鄰單元中所建坐標(biāo)系X軸間夾角為δ=360/N，如圖9所示。

圖9 雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)及坐標(biāo)系Fig.9 Double-ring truss deployable mechanism and coordinate systems

選定坐標(biāo)系OXYZ為全局坐標(biāo)系，將各個構(gòu)件速度表示在全局坐標(biāo)系中，則有

(27)

式中:j為坐標(biāo)系編號；

(28)

通過以上分析計算，就可以完成整個雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)中各個構(gòu)件角速度和質(zhì)心處線速度的求解，并將其表示在全局坐標(biāo)系下。

3.3 雅可比矩陣

在求出各個構(gòu)件的角速度和質(zhì)心線速度之后，將其組合便可以得到構(gòu)件的六維速度矢量，由于該機構(gòu)為單自由度機構(gòu)，只需要一個驅(qū)動，在各個構(gòu)件六維速度矢量中通過符號運算提取出輸入角速度，便可以得到該構(gòu)件的雅可比矩陣：

(29)

式中：V′i為構(gòu)件i的六維速度矢量；Ji(γ)為第i個構(gòu)件的速度雅克比矩陣；γ為整體機構(gòu)的驅(qū)動輸入，即驅(qū)動角函數(shù)。

4 雙層環(huán)形桁架機構(gòu)加速度分析

旋量加速度公式[39]為

(30)

式中：Ai為機構(gòu)中構(gòu)件i的旋量加速度，表示構(gòu)件上參考坐標(biāo)系原點重合點的六維加速度量；εi為構(gòu)件上參考坐標(biāo)系原點重合點的角加速度量；a為構(gòu)件質(zhì)心處的線加速度；ω為構(gòu)件的角速度；v為構(gòu)件的質(zhì)心線速度。由(30)式可以看出，六維旋量加速度中，前3項為構(gòu)件的角速度，后3項為構(gòu)件的線加速度減去其向心加速度量。

多剛體系統(tǒng)旋量加速度合成法則為

(31)

式中：Lie[]為李括號運算，結(jié)果為一個六維矢量。

若有兩個旋量：

(32)

則兩個旋量的李括號運算法則為

(33)

結(jié)合圖4以及(31)式，可以得到各個閉環(huán)的旋量加速度方程，如由圖4中的閉環(huán)Ⅰ可得

(34)

式中：AεBE表示構(gòu)件BE相對于構(gòu)件A的角加速度；εi為構(gòu)件上參考坐標(biāo)系原點重合點的角加速度；

(35)

因此有

(36)

同理在圖4中的閉環(huán)Ⅱ、Ⅲ以及圖6中的閉環(huán)ⅰ～ⅲ中也可得到相應(yīng)的旋量加速度方程，在已知輸入的角加速度(如ε1)情況下，通過求解(36)式及其他旋量加速度方程，便可以求解出單元組合機構(gòu)中各個構(gòu)件的旋量加速度。

在求出各個構(gòu)件的旋量加速度后，提取其原部，可以得到各個構(gòu)件的角加速度：

εi=ε(εi$i)，

(37)

式中：ε(·)表示提取旋量加速度的原部，即前3項。

求解出各個構(gòu)件的角加速度之后，即可對構(gòu)件質(zhì)心處的線加速度求解，各構(gòu)件線加速度為

ai=[a(εi$i)+ωi×vi]+[ε(εi$i)×ri]+ [ωi×(ωi×ri)]，

(38)

式中：a(·)表示提取旋量加速度的對偶部，即后3項。

同第3節(jié)中的速度分析，各個單元組合機構(gòu)中位置相同的構(gòu)件在自身坐標(biāo)系下加速度相同，將各個單元組合機構(gòu)中構(gòu)件的加速度表示在全局坐標(biāo)系中：

(39)

式中：Ok-1εOk為坐標(biāo)系OkXkYkZk相對于坐標(biāo)系Ok-1Xk-1Yk-1Zk-1的角加速度；Ok-1aOk為坐標(biāo)系OkXkYkZk相對于坐標(biāo)系Ok-1Xk-1Vk-1Zk-1的原點線加速度。

通過以上分析計算，就可以完成整個雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)中各個構(gòu)件角加速度和質(zhì)心線速度的求解，并將其表示在全局坐標(biāo)系下。

5 動力學(xué)分析與驗證

5.1 動力學(xué)建模

根據(jù)牛頓- 歐拉公式，構(gòu)件所受的外力和力矩與其加速度和角加速度的關(guān)系為

(40)

式中：f為構(gòu)件所受外力；τ為構(gòu)件所受力矩；I為構(gòu)件的慣性張量。

在雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)中，各個構(gòu)件的慣性力為

fi=-miai.

(41)

各個構(gòu)件的慣性力矩為

(42)

對于自身坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系重合的單元組合機構(gòu)中的各個構(gòu)件，其慣性力和慣性力矩可以用(41)式和(42)式中的公式來計算。對于其他機構(gòu)單元中的構(gòu)件，其慣性力可以用(41)式來計算，但是其慣性力矩計算時需要增加一個旋轉(zhuǎn)變換矩陣：

(43)

由于可展開天線服役環(huán)境為在軌空間環(huán)境，不用考慮重力的影響，將各個構(gòu)件的慣性力和慣性力矩寫成六維力矢量的形式：

(44)

由虛功原理，可得雙層環(huán)形桁架可展開天線機構(gòu)整體動力學(xué)方程為

(45)

式中：T為輸入轉(zhuǎn)矩；Ji為構(gòu)件的雅可比矩陣。

5.2 機構(gòu)可展性與動力學(xué)數(shù)值仿真驗證

為驗證前述理論分析的正確性，加工制作縮比模型樣機，用于驗證整體機構(gòu)的可展性，模型樣機展開過程如圖10所示。

圖10 樣機展開過程Fig.10 Deployment process of prototype

建立雙層環(huán)形桁架可展開天線機構(gòu)的仿真模型，采用動力學(xué)仿真軟件Adams和MATLAB軟件進行數(shù)值計算與仿真模擬驗證，仿真模型及參數(shù)如圖11和表1所示。

圖11 仿真模型Fig.11 Simulation model

選取自身坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系重合的單元組合機構(gòu)中的外層花盤連接件、外層環(huán)狀連桿、剪叉桿、內(nèi)層花盤連接件以及內(nèi)層環(huán)狀連桿為目標(biāo)構(gòu)件，理論計算結(jié)果和仿真結(jié)果如圖12～圖16所示。

通過圖12～圖16中的各個曲線，可以得出前面理論分析推導(dǎo)的正確性。從圖12和圖14中可以看出，在整個雙層環(huán)形桁架可展機構(gòu)的運動過程中，內(nèi)層和外層花盤連接件的角速度和角加速度均為0，各個花盤連接件只有移動運動并無轉(zhuǎn)動運動，即各個花盤連接件只有一個移動自由度，無轉(zhuǎn)動自由度，這也跟前面分析得到的機構(gòu)中各個運動構(gòu)件只有一個自由度相對應(yīng)。