何健

摘 ?要：推理是一種貫穿學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終的、內(nèi)隱性的，比較高級、復(fù)雜的思維活動?？梢暬夹g(shù)是教學(xué)的一種重要技術(shù)，能助力學(xué)生的推理。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可通過可視化提煉、可視化導(dǎo)航、可視化展現(xiàn)，提升學(xué)生的邏輯推理力。通過可視化技術(shù)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理變得有條而不紊，有理且有據(jù)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);思維可視;邏輯推理

東北師范大學(xué)史寧中教授將學(xué)生的主要核心素養(yǎng)概括為“抽象”“推理”和“建模”。其中，推理是一種貫穿始終的、內(nèi)隱性的，比較高級、復(fù)雜的思維活動。從推理形式上看，推理主要包括合情推理和演繹推理。但無論是合情推理還是演繹推理，都具有自身的邏輯，邏輯性應(yīng)當(dāng)是推理的重要品性。為了觸摸學(xué)生推理的邏輯脈搏，筆者認(rèn)為，可以借助可視化的思維策略，引導(dǎo)學(xué)生的邏輯推理，讓學(xué)生的邏輯推理更加有序、有向、有質(zhì)。

一、可視化提煉，延展學(xué)生推理路徑

所謂“思維可視化”，是指“運(yùn)用圖形、操作、語言等將隱性知識、思維顯性化的過程”。通過思維可視化，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維觸手可及、有跡可循、有據(jù)可查，同時(shí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維動態(tài)展現(xiàn)。通過思維可視化技術(shù)，可以打開學(xué)生的思維黑洞，引導(dǎo)學(xué)生的思維走向，發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的運(yùn)行模樣。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對可視化、形象化的操作、圖形等進(jìn)行抽象、概括、提煉，從而延展學(xué)生的推理路徑。

比如教學(xué)“兩位數(shù)加兩位數(shù)（進(jìn)位）”（蘇教版一年級下冊），教材創(chuàng)設(shè)的情境是兩個(gè)小朋友，分別有34枚郵票和16枚郵票，要求兩人一共有多少枚郵票。教學(xué)中，教師可以借助小棒這一具有“齊性”的可視化素材，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行可視化的操作，讓學(xué)生在操作中理解算理。在操作過程中，學(xué)生能主動地將“捆”和“捆”合并起來，將“根”和“根”合并起來，這是由于學(xué)生已經(jīng)擁有了“類”的概念。但學(xué)生普遍是先將“捆”和“捆”合并，再將“根”與“根”合并。這樣的本末倒置的操作，反映了“捆”在學(xué)生心中的地位。如何讓學(xué)生從經(jīng)驗(yàn)化的操作提煉為抽象化的算法？筆者在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生借助計(jì)數(shù)器，進(jìn)行邏輯思辨：是先撥十位上的1還是先撥個(gè)位上的6？在可視化的操作中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，先撥十位上的1，再撥個(gè)位上的6，需要撥三次;而先撥個(gè)位上的6，再撥個(gè)位上的1，只需要撥兩次，并且比較順手。在可視化的比較之中，學(xué)生深刻理解了“滿十進(jìn)一”的計(jì)算算理?？梢暬僮?，抽象、提煉出“兩位數(shù)加兩位數(shù)（進(jìn)位）”的算法，即“從個(gè)位加起，滿十進(jìn)一”的計(jì)算法則。這樣的計(jì)算法則有兩個(gè)重要的邏輯意蘊(yùn)：其一是為什么要“滿十進(jìn)一”，其二是為什么要從個(gè)位加起?？梢姡评淼倪壿嬓圆⒉粌H僅是傳統(tǒng)的“三段論”，而更包括一種從生活、經(jīng)驗(yàn)到數(shù)學(xué)的提煉、抽象過程?？梢暬奶釤?、抽象，能讓學(xué)生的推理路徑得到延展。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，將原本不可見的思維方法、思維策略、思維規(guī)律等揭示出來，能增強(qiáng)學(xué)生的記憶，加深學(xué)生的理解。學(xué)生數(shù)學(xué)思維的可視化，不僅有助于學(xué)生建構(gòu)知識，更有助于學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性的知識遷移、應(yīng)用。如上述教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生理解了兩位數(shù)加兩位數(shù)的進(jìn)位法則之后，自然就能理解多位數(shù)進(jìn)位的加法法則。

二、可視性導(dǎo)航，優(yōu)化學(xué)生推理水平

如果說，從生活、經(jīng)驗(yàn)到數(shù)學(xué)的推理是一種橫向數(shù)學(xué)化的過程，那么，從數(shù)學(xué)的感性認(rèn)知到數(shù)學(xué)的理性認(rèn)知的過程就是一種縱向數(shù)學(xué)化的過程。可視化技術(shù)，能對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行引領(lǐng)。教學(xué)中，教師可以應(yīng)用思維導(dǎo)圖、思維記錄單、知識連線等顯性化的思維技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。從這個(gè)視角說，可視化的技術(shù)是“路線圖”，是“導(dǎo)航儀”，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“風(fēng)向標(biāo)”。

比如教學(xué)“多邊形的內(nèi)角和”（蘇教版四年級下冊），學(xué)生認(rèn)為，要探究多邊形的內(nèi)角和，可以從簡單的多邊形的內(nèi)角和開始探究起，如四邊形的內(nèi)角和、五邊形的內(nèi)角和、六邊形的內(nèi)角和，等等。由于學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和，因此學(xué)生都運(yùn)用探究三角形內(nèi)角和的方法探究四邊形、五邊形等多邊形的內(nèi)角和。在探究四邊形內(nèi)角和的過程中，學(xué)生初步感受、體驗(yàn)到四邊形的內(nèi)角和比三角形的內(nèi)角和復(fù)雜一些，因?yàn)闇y量、剪拼的角變多了。到了探究五邊形時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)剪拼法已經(jīng)無能為力了，因?yàn)樗闯傻慕且呀?jīng)超過了平角。基于此，筆者出示思維導(dǎo)圖：四邊形可以怎樣分成三角形方便？五邊形呢？當(dāng)學(xué)生探究出四邊形、五邊形等多邊形與三角形的關(guān)系后，筆者運(yùn)用“可視化的問題”啟迪學(xué)生進(jìn)行邏輯推理，進(jìn)而概括規(guī)律?！八倪呅嗡殖傻娜切蔚膫€(gè)數(shù)與四邊形的邊數(shù)有怎樣的關(guān)系？”“五邊形所分成的三角形的個(gè)數(shù)與五邊形的邊數(shù)有怎樣的關(guān)系？”“一百邊形應(yīng)當(dāng)可以分成多少個(gè)三角形？”“一千邊形呢？”在觀察、比較的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以分成的三角形的個(gè)數(shù)比多邊形的邊數(shù)少2。在進(jìn)一步的追問——“為什么從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)將多邊形所分成的三角形的個(gè)數(shù)”中，學(xué)生從多邊形的對邊、鄰邊的視角，深刻理解了之所以會少2個(gè)三角形，正是因?yàn)橐粋€(gè)頂點(diǎn)只有和對邊才能構(gòu)成三角形。

可視性導(dǎo)航，引導(dǎo)學(xué)生主動猜想、推理、驗(yàn)證。教學(xué)中，教師要整體把握教學(xué)內(nèi)容，運(yùn)用可視性技術(shù)，對學(xué)生的思維進(jìn)行層層引導(dǎo)。學(xué)生通過遞進(jìn)推理，能從對數(shù)學(xué)知識的感性認(rèn)知，逐步過渡到對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)理解。在這個(gè)過程中，不斷地提升了學(xué)生的推理水平。

三、可視化展現(xiàn)，提升學(xué)生推理素養(yǎng)

將可視化的技術(shù)應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)之中，可以喚醒學(xué)生的文本思維，可以激發(fā)學(xué)生的思維活力，可以引領(lǐng)學(xué)生思維的縱深發(fā)展。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分運(yùn)用可視化技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生在推理過程中對相關(guān)的素材、內(nèi)容等進(jìn)行去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里，從而讓學(xué)生數(shù)學(xué)推理從無序走向有序、從混沌走向清亮，從而不斷提升推理素養(yǎng)。

比如教學(xué)“成正比例的量”（蘇教版六年級下冊），對于復(fù)雜的問題如“圓的周長和圓的半徑是否成比例、成什么比例？”“圓的面積和圓的半徑是否成比例、成什么比例？”等等，我們可以通過運(yùn)用可視化的表格，來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理。從假設(shè)半徑開始，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)圓的周長、面積都是隨著半徑的擴(kuò)大而擴(kuò)大，但學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)，圓的周長和圓的半徑擴(kuò)大的倍數(shù)是相同的，擴(kuò)大的進(jìn)度是相同的;而圓的面積和圓的半徑擴(kuò)大的倍數(shù)是不同的，圓的面積比圓的半徑擴(kuò)大的倍數(shù)要多得多、快得多。通過可視化的表格，學(xué)生感悟到，圓的周長和圓的半徑以及圓的面積和圓的半徑的關(guān)系不是同一種關(guān)系。通過可視化表格的展示，筆者引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算圓的周長、圓的面積和圓的半徑的比值，由此促進(jìn)學(xué)生深刻理解圓的周長與圓的半徑成正比例，而圓的面積與圓的半徑不成比例。這里，可視化的展示、展現(xiàn)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從模糊走向清晰。

可視化技術(shù)是教學(xué)的一種重要技術(shù)，能助力教師的教和學(xué)生的學(xué)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生遇到復(fù)雜的、疑難的問題之后，可以借助可視化的展示，廓清學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，梳理學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，幫助學(xué)生整理信息、厘清關(guān)系。如此，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就能有條而不紊，數(shù)學(xué)思維就能變得有理且有據(jù)。