楊娟 馮慶江

摘?要：介紹了直觀教學(xué)法，并給出了幾何直觀法、類比直觀法、反例直觀法等直觀教學(xué)法在復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)中的具體應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：直觀教學(xué)法;復(fù)變函數(shù)教學(xué);應(yīng)用

中圖分類號：G642

Abstract：The intuitive teaching methods were introduced， and then they were presented with examples the intuitive teaching methods used in teaching operations research： geometric intuition， analogy and intuitive method， counter-example method intuitive visual teaching method.

Key words：Intuitional teaching method;the teaching of complex function;Application

1 緒論

目前，高校數(shù)學(xué)的教學(xué)普通存在以下四種情況：第一，定義+定理或性質(zhì)+例題或應(yīng)用的模式，且目前高校數(shù)學(xué)教材的編寫基本也都是這個模式;第二，認(rèn)為數(shù)學(xué)很抽象，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)專業(yè)知識的嚴(yán)密性、數(shù)學(xué)理論的抽象思維性，從而淡化了數(shù)學(xué)的通俗性及實(shí)用性。第三，認(rèn)為數(shù)學(xué)無實(shí)際用處，尤其是非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生更覺得如此，他們覺得學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)的一些課程就是為了拿到一定的學(xué)分，只要對自己以后的發(fā)展沒有影響或者影響不大就行;第四，覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是件很痛苦的事情。復(fù)變函數(shù)課程作為大學(xué)數(shù)學(xué)中的課程之一，同樣存在上述一些情況。雖然復(fù)變函數(shù)課程的學(xué)習(xí)是以數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)課程為基礎(chǔ)，但是他們之間又有很大差別，因?yàn)閺?fù)變函數(shù)的抽象性和邏輯性遠(yuǎn)超數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)。那么怎么利用直觀教學(xué)法去激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性呢？從而提高他們的學(xué)習(xí)效率呢？這是復(fù)變函數(shù)課程教師需要解決的問題。

2 直觀教學(xué)法

直觀教學(xué)法指教師通過實(shí)物、直觀的教具、計(jì)算機(jī)多媒體演示、組織教學(xué)性參觀等一些活動，使學(xué)生利用他們的各種感官直接感知客觀現(xiàn)象或事物從而獲得知識的方法。直觀是為了幫學(xué)生獲取必要的感性經(jīng)驗(yàn)，以便他們能形成科學(xué)的概念，不能為直觀而直觀。在教學(xué)的過程中，要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生多種感官的參與，要盡一切可能將抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論與直觀的形象建立起聯(lián)系，還根據(jù)教學(xué)的需要，運(yùn)用各種不同的直觀教學(xué)的形式，比如實(shí)物直觀法、模型直觀法、語言直觀法、圖像直觀法等等。把復(fù)雜的問題簡單化、直觀化、形象化后再傳授給學(xué)生。

3 復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)中直觀教學(xué)法的應(yīng)用舉例

復(fù)變函數(shù)教學(xué)中究竟應(yīng)怎樣體現(xiàn)直觀教學(xué)法呢？要達(dá)到較好的教學(xué)效果，要把握直觀教學(xué)法的基本理念并且結(jié)合復(fù)變函數(shù)課程的特性，選擇各種直觀形式，深挖相關(guān)概念產(chǎn)生的理論、經(jīng)驗(yàn)與背景。

3.1 幾何直觀法在教學(xué)中的舉例

幾何直觀法指結(jié)合抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形，展現(xiàn)問題的本質(zhì)。而我們通常說的數(shù)形結(jié)合的思想指的就是代數(shù)問題與圖形之間得密切關(guān)系，并且它們二者之間常互相轉(zhuǎn)化，相互滲透。

例如在引入復(fù)平面時，我們在“數(shù)”和“點(diǎn)”之間建立了聯(lián)系，因此以后我們?？山柚趲缀沃庇^

來研究復(fù)變函數(shù)的一些內(nèi)容。比如講解復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算和減法運(yùn)算時，我們可以分別借助于以下幾何圖形（圖1、圖2）來解釋復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算和減法運(yùn)算。

在復(fù)變函數(shù)課程的教學(xué)中，后面的很多章節(jié)都用到了幾何直觀教學(xué)法，我在這里就不一一例舉了。

3.2 類比直觀法在教學(xué)中的舉例

當(dāng)然類比教學(xué)法的教學(xué)案列還有很多，比如數(shù)學(xué)分析中的牛頓-萊布尼茨公式和復(fù)變函數(shù)里的牛頓-萊布尼茨公式的類比，復(fù)積分的定義和實(shí)函數(shù)的線積分的定義的類比，泰勒展式與洛朗展式的類比等等。

3.3 反例直觀法在教學(xué)中的舉例

復(fù)變函數(shù)是實(shí)函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣，其很多概念、定義與數(shù)學(xué)分析課程或者高等數(shù)學(xué)課程類似，但也有原來的某些結(jié)論和性質(zhì)不再成立。因此在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)過程中，我們既要引導(dǎo)學(xué)生注意復(fù)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析課程或高等數(shù)學(xué)課程之間的相互聯(lián)系，又要說明復(fù)變函數(shù)課程與這兩門課的本質(zhì)差異，通過反例直觀法讓學(xué)生更清楚地理解復(fù)變函數(shù)中的某些內(nèi)容的實(shí)質(zhì)。但是學(xué)生在剛學(xué)復(fù)變函數(shù)時也會經(jīng)常與實(shí)數(shù)范圍的概念混淆。

例如我們非常熟悉的數(shù)的開方問題。計(jì)算3-8。在教學(xué)過程中，學(xué)生往往只求出它的一個根是-2（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，確實(shí)是3-8=-2），而忽略了其余兩個根1+3i和1-3i。這是因?yàn)閚z表示的是方程wn=z的根w，即w=nz，當(dāng)z的值不等于零時，就有n個不同的w與其對應(yīng)，因此nz表示n個不同的根。又如，在實(shí)函數(shù)論中，找到一個處處連續(xù)且處處不可微的函數(shù)是較困難的。而在復(fù)函數(shù)論中，找到一個處處連續(xù)且處處不可微的函數(shù)是很容易的。比如f（z）=z-在復(fù)平面上處處不可微，又如，f（z）=Rez，f（z）=Imz在復(fù)平面上也是處處不可微的。通過反例直觀法引入反例，使學(xué)生對復(fù)數(shù)范圍內(nèi)易混淆的理論有了更深的認(rèn)識和理解。

4 結(jié)論

本文結(jié)合作者在復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)中的多年經(jīng)驗(yàn)，討論了直觀教學(xué)法在復(fù)變函數(shù)課程中的應(yīng)用，并給出了直觀教學(xué)法的具體實(shí)例。如果在教學(xué)過程中教師能對抽象概念進(jìn)行直觀解釋，并且通過具體的例子進(jìn)行解釋，這樣就有利于學(xué)生正確理解所學(xué)新知識。通過教學(xué)實(shí)踐，表明直觀教學(xué)法能提高學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)課程的興趣、增進(jìn)學(xué)生對其基本理論的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，改善教學(xué)效果。

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基金項(xiàng)目：貴州省科技廳、黔東南州科技局、凱里學(xué)院科技合作計(jì)劃項(xiàng)目（黔科合LH字[2017]7166號）

作者簡介：楊娟（1982-），女，碩士，副教授，研究方向：復(fù)分析、非線性數(shù)學(xué)物理方程。