劉沛清 趙蕓可

(北京航空航天大學(xué)陸士嘉實(shí)驗(yàn)室，北京100191)

1 伯努利方程的建立

學(xué)過(guò)流體力學(xué)的人們知道，在1738 年瑞士數(shù)學(xué)世家丹尼爾·伯努利[1](Daniel Bernoulli，1700—1782，如圖1 所示)將質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能定理運(yùn)用于同一微元流管的兩截面上，導(dǎo)出了表征一元流機(jī)械能守恒方程，即著名的理想流體定常流動(dòng)的能量方程(后稱(chēng)為伯努利方程)。同時(shí)在建立這個(gè)方程時(shí)，伯努利所用的局部跟隨流體質(zhì)點(diǎn)的分析思想，后來(lái)(1755年)被瑞士數(shù)學(xué)家與流體力學(xué)家歐拉(Leonhard Euler，1707—1783)概括為描述流體運(yùn)動(dòng)的流場(chǎng)法，在流體力學(xué)中得到廣泛應(yīng)用。

對(duì)于理想不可壓縮流體的定常流動(dòng)，在質(zhì)量力為重力作用下，伯努利方程表明：沿同一條流線(xiàn)單位重量流體質(zhì)點(diǎn)所具有的總機(jī)械能守恒(單位重量流體質(zhì)點(diǎn)的位置勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能之和不變，或總水頭為常數(shù))，即其中，z為流體質(zhì)點(diǎn)的位置；p為流體質(zhì)點(diǎn)的壓強(qiáng)；V為流體質(zhì)點(diǎn)的速度；γ為流體容重；g為重力加速度；H= C 為常數(shù)(單位重量流體質(zhì)點(diǎn)所具有的總機(jī)械能即總水頭)，如圖2所示。在不計(jì)質(zhì)量力的條件下(空氣的質(zhì)量密度小，可以忽略重力的影響)，此時(shí)沿同一條流線(xiàn)[2]單位體積流體質(zhì)點(diǎn)所具有的壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能之和不變，總壓不變，即

其中，po為流體質(zhì)點(diǎn)的總壓，p為流體質(zhì)點(diǎn)的靜壓，為流體質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)壓[3]。

圖1 瑞士流體力學(xué)家伯努利

圖2 理想流體的伯努利方程幾何表示

任何理論都是在大量實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，流體力學(xué)理論的建立也不例外，從歷史發(fā)展角度看，如果沒(méi)有大量的流動(dòng)實(shí)驗(yàn)成果，如果沒(méi)有微積分的出現(xiàn)和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，就不會(huì)有伯努利方程的建立。可以毫不夸張地說(shuō)，伯努利方程為人們研究流體運(yùn)動(dòng)大開(kāi)腦洞，起到了里程碑的作用，如果沒(méi)有伯努利方程不可能將一些貌似不相干的現(xiàn)象用統(tǒng)一理論公式精確表達(dá)；如果沒(méi)有伯努利方程的建模思想，也不可能有后來(lái)的表征理想流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的歐拉方程組；如果沒(méi)有Euler方程組，更不會(huì)推廣到表征黏性流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的Navier–Stokes 方程組(N–S 方程組)。當(dāng)然，如果沒(méi)有這些，就不會(huì)有流體力學(xué)的基本理論，也不會(huì)有后來(lái)的邊界層理論、湍流、流動(dòng)控制、氣動(dòng)噪聲等理論的建立，概括起來(lái)可以用圖3 表達(dá)流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)的發(fā)展歷程[1]。伯努利方程作為流體力學(xué)的核心方程，起到靈魂的作用。以下通過(guò)具體應(yīng)用和理論推廣說(shuō)明。

圖3 流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)的發(fā)展歷程

2 伯努利方程的應(yīng)用

2.1 流體靜力學(xué)原理

公元前250 年，受西西里島敘拉古國(guó)王檢驗(yàn)皇冠之委托，阿基米德(Archimedes，古希臘人，公元前287—公元前212)研究了力平衡原理，提出著名的流體力學(xué)浮力定理，也是流體靜力學(xué)的一部分。這個(gè)著名的流體浮力原理，在伯努利方程出現(xiàn)之后，人們驚奇地發(fā)現(xiàn)它是在靜止?fàn)顟B(tài)下伯努利方程的精準(zhǔn)表達(dá)，即

其中，z為流體質(zhì)點(diǎn)的位置；p為流體質(zhì)點(diǎn)的壓強(qiáng)；γ為流體容重；C 為常數(shù)。1653 年，法國(guó)科學(xué)家帕斯卡(Pascal B，1623—1662)提出了流體靜壓力傳遞原理(即帕斯卡定理)，并制成了首臺(tái)水壓機(jī)(如圖4所示)，也是利用了靜止?fàn)顟B(tài)下的伯努利方程。

圖4 水壓機(jī)原理

2.2 定?？卓诔隽鞴?/h3>

1643 年，意大利科學(xué)家托里拆利(Torricelli E，1608—1647)通過(guò)大量的孔口出流實(shí)驗(yàn)，提出了定?？卓诔隽鞯幕竟剑砻骺卓诔隽魉俣扰c孔口上的水深h平方根成正比，即

其中，h為液面高度；Vc為出口水流速度。這個(gè)方程實(shí)際也是伯努利方程在大氣壓明流下的精確表達(dá)形式。其物理意義是，單位重量流體質(zhì)點(diǎn)從1 液面位置運(yùn)動(dòng)到2 出口位置，其所具有的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)變成為相應(yīng)的動(dòng)能[4]，如圖5所示。

圖5 在大氣壓出流條件下的伯努利方程表示

2.3 皮托管測(cè)速儀[2]

1732 年，法國(guó)水力工程師畢托(Henri Pitot，1695—1771)發(fā)明了一種測(cè)量流體中總壓的裝置，即皮托管(如圖6 所示，也有叫畢托管)。皮托發(fā)現(xiàn)河流中的水柱高度正比于皮托管入口水深處流速的平方，水流中任意一點(diǎn)的速度大小，可以對(duì)同一點(diǎn)分別用總壓管和靜壓管的測(cè)量值之差獲得。1905 年世界流體力學(xué)大師普朗特(Ludwig Prandtl，1875—1953)將這一方法發(fā)展成為同時(shí)測(cè)量流體總壓和靜壓的裝置，提出了普朗特風(fēng)速管，也叫皮托管測(cè)速儀(如圖7 所示)。皮托管測(cè)速原理，也是伯努利方程的精確表達(dá)，表明流體質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)壓等于同一點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)的總壓與靜壓之差，即

其中，p0為總壓；ps為測(cè)速位置的靜壓；V0為所測(cè)速度。

圖6 畢托總壓管(伯努利方程應(yīng)用)

圖7 普朗特風(fēng)速管(皮托管測(cè)速儀)

2.4 文丘里流量計(jì)與一元管流理論建立[2]

1797 年意大利物理學(xué)家文丘里(Venturi GB，1746—1822)通過(guò)對(duì)變截面管道實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)最小截面處速度增大、壓強(qiáng)減小(文丘里效應(yīng))，提出利用這一效應(yīng)和連續(xù)條件測(cè)量管道流體流量的收縮擴(kuò)張型管道，即文丘里管(如圖8所示)。其基本原理(如圖9所示)是：對(duì)于通過(guò)理想不可壓縮流體的水平管道，如果在管道中插入一段先收縮后擴(kuò)張的管段，根據(jù)文丘里效應(yīng)，建立管道收縮前1 斷面和收縮后2 斷面之間的伯努利方程，并利用連續(xù)性條件，可得管道通過(guò)的體積流量，即

其中，Q為流量；V1,p1,A1分別為為截面1處速度，所測(cè)壓強(qiáng)，截面積；V2,p2,A2分別為為截面2處速度，所測(cè)壓強(qiáng)，截面積。

以后所發(fā)展的一元管流和一元總流理論都是基于一元流伯努利方程和連續(xù)方程得到的。

圖8 文丘里流量管

圖9 文丘里流量計(jì)原理(伯努利方程在管流中的應(yīng)用)

2.5 翼型繞流原理

1687年，英國(guó)科學(xué)家牛頓(Isaac Newton，1642—1727)在其著的《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》中首次提出作用于翼型上的升力或阻力與速度平方、空氣密度和翼型弦長(zhǎng)成正比[1]，后人在此基礎(chǔ)上寫(xiě)成如下的表達(dá)式[3]，即

其中，L和D為升力和阻力；V∞為飛行速度；b為翼型弦長(zhǎng)；CL和CD為升力系數(shù)和阻力系數(shù)；ρ為空氣的密度。牛頓根據(jù)作用力與反作用力原理，提出所謂的“漂石理論”(skipping stone theory)，認(rèn)為翼型所受的升力是翼型下翼面對(duì)氣流的頂托作用的結(jié)果，與上翼面無(wú)關(guān)(如圖10所示)，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)表明，下翼面頂托作用所產(chǎn)生的升力只占總升力的30%。

圖10 牛頓的漂石理論(下翼面的頂托作用)

1738年伯努利提出理想流體能量方程式后，為正確認(rèn)識(shí)翼型升力提供了理論基礎(chǔ)，特別是由能量定理得出，翼型所受的升力大小不僅與下翼面作用的空氣頂托力有關(guān)，也與上翼面的吸力有關(guān)(如圖11所示)，后來(lái)的風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)證實(shí)，這個(gè)上翼面吸力約占翼型總升力的70%。在翼型繞流中，由連續(xù)性條件，繞過(guò)上翼面的空氣速度大于來(lái)流速度，根據(jù)伯努利方程得出上翼面的壓強(qiáng)小于大氣壓強(qiáng)，因此上翼面將受到周?chē)諝獾奈?，由此?huì)產(chǎn)生向上的升力，致使翼型繞流產(chǎn)生升力得到較為好的解釋。翼面上的壓強(qiáng)系數(shù)定義為

圖11 翼型壓力分布及其對(duì)升力的貢獻(xiàn)

3 伯努利方程的理論推廣

由伯努利提出的局部跟隨流體質(zhì)點(diǎn)的建模思想，被歐拉概括為描述流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的流場(chǎng)法，并引入微積分原理，建立了表征理想流體運(yùn)動(dòng)的微分方程組(歐拉方程組)，然后通過(guò)積分，歐拉方程組又再現(xiàn)了伯努利方程，但使用條件得到進(jìn)一步推廣，從而使伯努利方程與歐拉方程組構(gòu)成了一個(gè)完整的理論體系，即理想流體力學(xué)理論的建立。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引入黏性的影響，建立了表征黏性流體運(yùn)動(dòng)的微分方程組(即N–S 方程組)，從而將理想流體力學(xué)理論推廣到黏性流體運(yùn)動(dòng)中，并由N–S方程組沿流線(xiàn)積分，建立了考慮黏性損失的伯努利方程。這些理論的建立為湍流、邊界層理論、氣動(dòng)噪聲等理論的提出與發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，如圖12所示的框圖說(shuō)明。

3.1 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程組(Euler方程組)

瑞士數(shù)學(xué)家與流體力學(xué)家歐拉(Leonhard Euler，1707—1783)師從瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667—1748)，后與其子丹尼爾·伯努利合作從事數(shù)學(xué)和流體力學(xué)的研究。

1753年，歐拉基于伯努利局部跟隨流體質(zhì)點(diǎn)的建模思想，提出了連續(xù)介質(zhì)假設(shè)；1755 年，歐拉基于伯努利建立能量方程局部跟蹤流體質(zhì)團(tuán)運(yùn)動(dòng)的思想，提出描述流體運(yùn)動(dòng)的流場(chǎng)法即歐拉法(空間點(diǎn)法)，并基于連續(xù)介質(zhì)假設(shè)和理想流體模型，利用動(dòng)量守恒定理建立了理想流體運(yùn)動(dòng)的微分方程組，即著名的歐拉方程組(Euler方程組)。

其中，u,v,w分別為質(zhì)點(diǎn)的速度分量；fx,fy,fz分別為作用于質(zhì)點(diǎn)上的單位質(zhì)量力；p為質(zhì)點(diǎn)壓強(qiáng)。該微分方程組清楚地表明，改變流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)行為的是作用于微團(tuán)上的質(zhì)量力和微團(tuán)表面上的壓強(qiáng)力。也就是說(shuō)，如果不考慮質(zhì)量力，沿著某個(gè)方向無(wú)壓力梯度，則沿該方向流體質(zhì)點(diǎn)的速度保持不變。寫(xiě)成矢量形式為[5]

圖12 流體力學(xué)基礎(chǔ)理論建立與發(fā)展

對(duì)于質(zhì)量力有勢(shì)、理想不可壓縮流體的定常流動(dòng)，沿著流線(xiàn)積分歐拉方程組，可得到伯努利方程。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，伯努利方程不僅沿著同一條流線(xiàn)成立，沿著同一條渦線(xiàn)、勢(shì)流場(chǎng)、螺旋流場(chǎng)均成立。可見(jiàn)，由歐拉方程微分組積分得到的伯努利方程，在使用上更具有普適性。

3.2 黏性流體運(yùn)動(dòng)微分方程組(Navier–Stokes

方程組)

鑒于理想流體運(yùn)動(dòng)的歐拉方程組，無(wú)法求解物體繞流的阻力問(wèn)題，為此需要研究黏性對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的影響。經(jīng)1822年法國(guó)工程師納維(Claude-Louis Navier，1785—1836)、1829年法國(guó)科學(xué)家泊松(Simeon–Denis Poisson，1781—1840)、1843年法國(guó)流體力學(xué)家圣維南(Adhémar Jean Claude Barré de Saint–Venant，1797—1886)，最后由1845年英國(guó)科學(xué)家斯托克斯(George Gabriel Stokes，1819—1903)在劍橋大學(xué)三一學(xué)院提出應(yīng)力變形率的三大關(guān)系，推廣了牛頓內(nèi)摩擦定律，完成了牛頓黏性流體運(yùn)動(dòng)微分方程組的推導(dǎo)，即著名的納維斯托克斯(Navier–Stokes)方程組，簡(jiǎn)稱(chēng)N–S方程組，即[4]

其中，u,v,w分別為質(zhì)點(diǎn)的速度分量；fx,fy,fz分別為作用于質(zhì)點(diǎn)上的單位質(zhì)量力；p為作用于質(zhì)點(diǎn)上的壓強(qiáng)；ν為流體運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)；?為拉普拉斯算子。寫(xiě)成矢量形式為

這個(gè)方程組表明，導(dǎo)致流體微團(tuán)加速度的變化，是作用于流體微團(tuán)上的質(zhì)量力、壓強(qiáng)差力(表面法向力)和黏性力(表面切向力)的合力作用的結(jié)果。如果沿某方向這個(gè)合力為零，則流體微團(tuán)沿著該方向的加速度也為零。

至此，從1755年歐拉導(dǎo)出理想流體運(yùn)動(dòng)方程組到1845年建立的黏性流體運(yùn)動(dòng)N–S方程組，歷時(shí)90年，數(shù)學(xué)家們?yōu)榱黧w力學(xué)基礎(chǔ)理論的建立做出了卓越貢獻(xiàn)。對(duì)于質(zhì)量力只有重力、不可壓縮黏性流體的定常流動(dòng)，沿著流線(xiàn)積分N–S 方程組，可得到類(lèi)似于理想流體的伯努利方程，但在能量方程中多了一項(xiàng)因克服黏性摩擦力做功而損失的機(jī)械能項(xiàng)。即

與理想流體伯努利方程相比，上式右邊多出的項(xiàng)表示單位重量流體質(zhì)點(diǎn)克服黏性應(yīng)力做功所消耗的機(jī)械能，這一項(xiàng)不可能再被流體質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動(dòng)所利用，故稱(chēng)其為單位重量流體質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能損失，這個(gè)損失與積分路徑(流線(xiàn)的形狀)有關(guān)。由表征黏性流體流動(dòng)的伯努利方程(式(13))表明：在黏性流體流動(dòng)中，沿同一條流線(xiàn)上單位重量流體質(zhì)點(diǎn)所具有的機(jī)械能沿著流動(dòng)方向總是減小的(如圖13所示)，不可能保持守恒(理想流體流動(dòng)時(shí)，總機(jī)械能保持守恒，無(wú)機(jī)械能損失)，流體總是從機(jī)械能大的地方流向機(jī)械能小的地方。以后在N–S 方程組的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)展了邊界層理論、流動(dòng)控制、氣動(dòng)噪聲等基本理論。

圖13 黏性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程

4 總結(jié)

綜上所述，伯努利方程的提出為流體力學(xué)理論的形成奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)流體運(yùn)動(dòng)具有普適性，準(zhǔn)確地建立了流體運(yùn)動(dòng)的速度和壓強(qiáng)的定量關(guān)系，并迅速地被應(yīng)用在流體機(jī)械工程中，該方程的應(yīng)用與推廣構(gòu)成了流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)的主體理論的建立與發(fā)展。同時(shí)，由伯努利提出的局部跟隨流體質(zhì)點(diǎn)的建模思想，被歐拉概括為描述流體運(yùn)動(dòng)的流場(chǎng)法，在流體力學(xué)中得到普遍應(yīng)用，是建立歐拉方程組、N–S方程組以及后來(lái)的湍流、邊界層理論、氣動(dòng)噪聲等理論的基本依據(jù)和基礎(chǔ)。