朱勇戰(zhàn)

（中鐵第五勘察設(shè)計院集團有限公司 北京102600）

1 引言

鋼筋混凝土構(gòu)件在工程結(jié)構(gòu)中廣泛應(yīng)用，例如:單層廠房排架柱，多層框架結(jié)構(gòu)，剛架中的橫梁和墩柱，隧道拱圈，鋼筋混凝土拱橋的拱肋，橋墩基礎(chǔ)以及樁基礎(chǔ)等。經(jīng)常會遇到鋼筋混凝土構(gòu)件雙向大偏心受力的問題，當(dāng)作用在構(gòu)件上的縱向力相對于截面的兩個主軸均有偏心，或者是構(gòu)件同時承受軸心壓力和兩個方向的彎矩時，構(gòu)件的受壓區(qū)形狀因縱向力及偏心距的大小不同而不同，呈三角形、四邊形或是五邊形。并且彎矩作用平面與彎曲平面不重合，亦不與截面邊緣相平行，中和軸的位置隨截面尺寸、砼強度、配筋、荷載形式及大小等諸多因素的變化而變化，使得中和軸位置的確定相當(dāng)復(fù)雜，需要進行多次試算，計算繁瑣，一般的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計原理書籍都沒有進行論述。國內(nèi)學(xué)者在此方面做的研究較少，其中余琪[1]、童森林[2-3]通過圖形分割，運用平移軸、旋轉(zhuǎn)軸、坐標(biāo)變換，迭代求解最終零應(yīng)力線方法分別研究了矩形截面和圓端截面配筋計算問題，求解出了混凝土最大壓應(yīng)力和鋼筋最大拉應(yīng)力。針對雙向偏心受壓計算[4-6]，學(xué)者們分別采用不同的簡化計算方法，也取得了一定的成果，本文基于容許應(yīng)力法公式推導(dǎo)，解決了鋼筋混凝土構(gòu)件任意截面配筋計算問題。

2 鋼筋混凝土構(gòu)件偏心受壓常用計算方法

2.1 混凝土規(guī)范中的設(shè)計公式

我國現(xiàn)行的規(guī)范《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》（GB 50010-2010）附錄E中給出了任意截面構(gòu)件正截面承載力計算公式[7]:

式中具體的參數(shù)說明參考《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》（GB 50010-2010）附錄E，采用將受壓區(qū)混凝土劃分成微小單元的思路，理論上講該計算公式可適應(yīng)于任意截面鋼筋混凝土構(gòu)件，但是對于任意不規(guī)則截面而言，手動迭代計算基本不可能，編程求解，每迭代求解一次需要重新對截面進行網(wǎng)格劃分，截面的邊界范圍判斷極為困難，并且網(wǎng)格劃分的大小對求解精度影響較大，求解效率極低。

2.2 公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范設(shè)計公式

我國現(xiàn)行的規(guī)范《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土設(shè)計規(guī)范》（JTG 3362-2018）第5.3.11條中給出了鋼筋混凝土雙向偏心受壓構(gòu)件其正截面抗壓承載力計算公式[8]:

式中具體的參數(shù)說明參考相應(yīng)規(guī)范條文，該公式僅適用于截面具有兩個相互垂直對稱軸的鋼筋混凝土構(gòu)件，計算公式簡單，可直接用于截面設(shè)計，但僅適用于雙向均為小偏心受壓的情況，對大偏心且側(cè)邊鋼筋較多時計算誤差偏大。

2.3 鐵路橋涵混凝土規(guī)范設(shè)計公式

我國現(xiàn)行的規(guī)范《鐵路橋涵混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》（TB 10092-2017）第6.2.5條按照容許應(yīng)力法僅給出了混凝土壓應(yīng)力的計算公式[9]，公式僅適用于單向偏心受力構(gòu)件，基本沒有可實施性。黃棠主編的《結(jié)構(gòu)設(shè)計原理》[10]依據(jù)容許應(yīng)力法，推導(dǎo)出了矩形截面、箱形截面、工字形截面、圓形截面、圓環(huán)截面單向受壓狀態(tài)下的鋼筋應(yīng)力和混凝土應(yīng)力計算公式，也是目前鐵路鋼筋混凝土構(gòu)件設(shè)計中應(yīng)用較多的計算方法，針對鐵路橋梁也有應(yīng)用極限狀態(tài)設(shè)計方法進行的相關(guān)研究[11]。

目前的計算公式和方法主要針對均勻配筋的規(guī)則截面，而對非均勻配筋的不規(guī)則截面都沒有好的解決方法。針對這個問題，本文借助《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》的計算思路，通過進一步的公式推導(dǎo)，解決了鋼筋混凝土任意截面配筋的計算問題，并編制了容許應(yīng)力法任意截面配筋程序，可適用于鋼筋混凝土構(gòu)件單（雙）向受彎、偏心受壓、偏心受拉的應(yīng)力計算。

3 任意截面配筋驗算公式推導(dǎo)

鋼筋混凝土構(gòu)件配筋驗算采用的容許應(yīng)力法，容許應(yīng)力法為彈性設(shè)計理論，不考慮混凝土材料塑性以及受拉混凝土參與受力，且截面受力仍符合平截面假定。借助微積分的思路，可將受壓區(qū)混凝土劃分為多個極小混凝土單元，并近似取每個單元內(nèi)應(yīng)變應(yīng)力均勻分布，如圖1所示，截面輪廓為A1～An，截面外輪廓存在曲線時按以直代曲考慮，將曲線劃分成多直線段，BC為截面中性軸，其中A1BCAn-1An為受拉區(qū)混凝土，另一側(cè)即為受壓區(qū)混凝土。

圖1 截面單元劃分示意

根據(jù)截面的受力和應(yīng)力分布可列出力平衡方程。

式中，N為截面軸力（kN）；Mx、My為繞X軸和Y軸的彎矩（kN·m）；ηx、ηy為驗算截面上彎矩偏心放大系數(shù)，計算方法可參見《鐵路橋涵混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》；σgi、σcj為第i個鋼筋單元、第j個混凝土單元的應(yīng)力（MPa）；Agi、Acj為第i個鋼筋單元、第j個混凝土單元的面積（m2）；xgi、ygi為第i個鋼筋單元坐標(biāo)（m）；xcj、ycj為第j個混凝土單元的重心坐標(biāo)（m）。

任意截面由于雙向受彎影響，截面的中性軸位置確定相當(dāng)復(fù)雜。根據(jù)平截面假定，截面中性軸即為構(gòu)件彎曲平面與截面的交線?？臻g坐標(biāo)系內(nèi)混凝土截面應(yīng)力平面方程為:

則受壓截面任意點的混凝土應(yīng)力為:

相同位置鋼筋與混凝土應(yīng)變相同，若鋼筋與混凝土的彈模比值為n，則任意點的鋼筋應(yīng)力為:

代入到平衡方程可得到:

將方程（7）展開后可寫成:

結(jié)合上述表達式所對應(yīng)的物理意義，方程（8）可轉(zhuǎn)化為:

式中，Ac為受壓混凝土截面面積（m2）；Scx、Scy為受壓混凝土截面面積矩（m3）；Icxx、Icyy為受壓混凝土截面慣性矩（m4）；Icxy為受壓混凝土截面慣性積（m4）；Ag為截面鋼筋面積（m2）；Sgx、Sgy為截面鋼筋面積矩（m3）；Igxx、Igyy為截面鋼筋慣性矩（m4）；Igxy為截面鋼筋慣性積（m4）；

從公式的推導(dǎo)過程來看，求得了受壓截面和所有鋼筋單元的幾何特性，解三元一次方程組即能得到空間應(yīng)力平面方程系數(shù)a、b、c。由于受壓截面本身是一個與空間應(yīng)力平面方程系數(shù)a、b、c關(guān)聯(lián)的變量，因此方程系數(shù)a、b、c的求解過程是一個不斷迭代的過程，而任意截面應(yīng)力的求解問題轉(zhuǎn)化成了簡單的任意截面幾何特性的求解問題。

4 任意截面幾何特性求解

根據(jù)積分變換格林公式[12]求解任意截面幾何特性，設(shè)封閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P（x，y）及Q（x，y）在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有:

曲線積分對路徑具有可加性，圖1中以Ai和Ai+1截面輪廓點組成的直線段表達式為:

同理可計算任意多邊形其他幾何特性:

公式（10～18）不僅適用于單連域，同時也適用于多連域，需要將多連域之間用邊線相互連接成封閉區(qū)域，封閉曲線對于外層區(qū)域按逆時針連接，內(nèi)側(cè)區(qū)域按順時針連接。

圖2 不規(guī)則截面尺寸示意

通過選取圖2所示兩種截面形式，對公式（13～18）計算結(jié)果進行驗證，計算結(jié)果見表1。

表1 截面特性計算結(jié)果驗證

通過選取兩種不規(guī)則截面并采用本文的計算公式計算，輪廓線由折線組成的截面理論與程序計算結(jié)果一致，帶有曲線截面程序計算時將曲線離散成長度不超過0.05倍曲線半徑的直線，程序計算截面特性與理論計算的結(jié)果差異不超過0.05%，說明合理地控制曲線分段長度，采用本文提出的計算方法得到的不規(guī)則截面幾何特性結(jié)果正確，滿足設(shè)計要求。

5 任意截面配筋驗算程序?qū)崿F(xiàn)

任意截面由于截面輪廓和截面配筋的復(fù)雜性，且應(yīng)力平面求解需要不斷迭代，因此整個計算過程采用手動計算工作量較大，根據(jù)前面的理論推導(dǎo)，采用數(shù)值分析方法進行程序設(shè)計，整個計算過程主要分為以下幾個步驟:

（1）根據(jù)輸入?yún)?shù)生成任意截面外輪廓點坐標(biāo)（xci，yci），鋼筋坐標(biāo)（xgi，ygi），也可以直接輸相應(yīng)點的坐標(biāo)。首先根據(jù)截面輪廓點坐標(biāo)運用公式（13～18）計算截面出對應(yīng)的6個截面特性參數(shù)，得到截面的形心坐標(biāo)Xc＝Sy/A，Yc＝Sx/A，通過坐標(biāo)平移變換將所有坐標(biāo)點平移至以形心坐標(biāo)為原點的參考坐標(biāo)系中，重新計算毛截面的幾何特性參數(shù)。

（2）根據(jù)計算得到的截面幾何特性，輸入截面驗算外力N、Mx、My，鋼筋混凝土彈模比，單根鋼筋面積以及偏心受壓構(gòu)件驗算長度Lx、Ly計算相應(yīng)偏心受壓彎矩放大系數(shù)。

（3）然后根據(jù)計算公式（9）解三元一次方程組，計算初始應(yīng)力平面方程系數(shù)a0、b0、c0，求解應(yīng)力平面與截面的交線，通過公式σcj＝a0xcj+b0ycj+c0計算混凝土截面輪廓點應(yīng)力，判斷有效混凝土受壓輪廓節(jié)點，與所求得應(yīng)力平面和截面交線形成有效受壓混凝土截面。

（4）調(diào)用任意截面幾何特性求解程序重新計算有效受壓混凝土截面特性和鋼筋單元截面特性，代入方程組（9），重新求解方程組可得到新的應(yīng)力平面方程系數(shù)a、b、c。

（5）不斷重復(fù)（3）、（4）迭代計算求解，如果｜a0-a｜+｜b0-b｜+｜c0-c｜＜ε則計算收斂，計算中取ε＝10-7。否則令a0＝a，b0＝b，c0＝c，進行迭代計算。

（6）最后分別計算混凝土截面和鋼筋的應(yīng)力分別為:σci＝axci+byci+c，σgi＝n（axgi+bygi+c）。

6 算例對比及應(yīng)用

6.1 單向受力特殊截面鋼筋混凝土構(gòu)件受力分析

對比算例選自參考文獻[10]，具體的計算參數(shù)如表2、表3所示，計算結(jié)果如表4所示。

表2 驗算截面參數(shù)

表3 驗算截面配筋及受力

表4 計算結(jié)果對比

從表4可以看出，根據(jù)本文計算方法編制程序的計算結(jié)果與文獻[10]計算結(jié)果吻合，最大差異在1%以內(nèi)。

6.2 圓端形空心截面鋼筋混凝土構(gòu)件雙向受力分析

對比算例選自文獻[3]，圓端形直線段長度為2.1 m，外圓弧半徑1.15 m，內(nèi)圓弧半徑1.0 m，鋼筋所在圓弧半徑1.1 m，鋼筋單位長度寬1 mm，彈模比取10，軸力N＝8 000 kN，彎矩Mx＝6 000 kN·m，彎矩My＝9 000 kN·m，計算結(jié)果如表5所示。從表5可以看出，根據(jù)本文計算方法編制程序的計算結(jié)果與文獻[3]計算結(jié)果吻合，最大差異在1%以內(nèi)。

表5 圓端形空心截面計算結(jié)果對比

6.3 圓端形實體截面混凝土構(gòu)件應(yīng)力重分布計算

對比算例選自文獻[3]，圓端形直線段長度為2.1 m，圓弧半徑1.15 m，軸力N＝5 301 kN，彎矩Mx＝1 960 kN·m，彎矩My＝3 741 kN·m，計算結(jié)果如表6所示。

表6 圓端形實體截面計算結(jié)果對比

從表6可以看出，根據(jù)本文計算方法編制程序的計算結(jié)果與文獻[3]計算結(jié)果吻合，最大差異在1%以內(nèi)。

7 小結(jié)

（1）本文以材料力學(xué)原理中平截面假定為依據(jù)，基于容許應(yīng)力法推導(dǎo)出了任意截面鋼筋混凝土構(gòu)件的配筋驗算公式，解決了任意截面受壓、受拉、受彎、單（雙）向偏心受壓和偏心受拉構(gòu)件配筋驗算問題。

（2）鋼筋混凝土截面應(yīng)力計算問題轉(zhuǎn)化為截面幾何特性的求解，利用格林積分變換公式簡單高效地實現(xiàn)了任意截面的特性求解，計算結(jié)果精確可靠。

（3）依托本文計算公式編制的任意截面鋼筋混凝土配筋驗算程序，提高了計算速度和精度，經(jīng)過大量算例與對比驗算，證明本文方法以及程序計算結(jié)果可靠性，目前已經(jīng)應(yīng)用于多條鐵路特殊結(jié)構(gòu)橋梁工程設(shè)計中。