陳曉平 謝元棟

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院 廣東 廣州 510006)

本文討論的金屬空腔表面為球面．為方便起見，球殼厚度不計(jì)．根據(jù)鏡像法，可以求解出點(diǎn)電荷在接地導(dǎo)體球殼內(nèi)的電勢、電場強(qiáng)度分布的解析式．利用Mathematica強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算能力，探討解析式背后的物理意義．在點(diǎn)電荷和感應(yīng)電荷共同激發(fā)的電場中，考慮相對論效應(yīng)，討論點(diǎn)電荷在球殼中靜止釋放的運(yùn)動情況．

1 電勢和電場強(qiáng)度公式推導(dǎo)

如圖1所示，點(diǎn)電荷在x軸上距球心b的位置，r與x軸的夾角為θ．鏡像電荷在x軸上距球心d的位置．導(dǎo)體球殼接地，半徑為a．

圖1 電勢和電場強(qiáng)度公式推導(dǎo)情境圖

由唯一性定理和鏡像法[1]可知

(1)

所以

(2)

即

(3)

由余弦定理可得

(4)

(5)

聯(lián)立上式可得

q′2(b2+a2-2abcosθ)=

q2(d2+a2-2adcosθ)

(6)

式(6)在任意角度下都應(yīng)該成立，所以有

q′2(b2+a2)=q2(d2+a2)

(7)

2abq′2=2adq2

(8)

解得

(9)

d2=b(不符合實(shí)際情況，舍去該解)

(10)

(11)

綜上，接地導(dǎo)體球殼內(nèi)的電勢分布為

(12)

如圖1所示，在直角坐標(biāo)系下，r2=x2+y2+z2，x=rcosθ，電場強(qiáng)度的各個分量為

(13)

(14)

(15)

由于球殼表面各點(diǎn)電勢梯度與r反向，所以

(16)

總的感應(yīng)電荷為

-q

(17)

若將點(diǎn)電荷從靜止釋放，點(diǎn)電荷會朝著球殼內(nèi)表面做變加速運(yùn)動，甚至?xí)霈F(xiàn)接近光速的現(xiàn)象，此時應(yīng)考慮相對論效應(yīng)[2]．基于以上討論，點(diǎn)電荷運(yùn)動到位置x處時，鏡像電荷的大小和位置如下

點(diǎn)電荷和球殼之間的相互作用力可以等效為點(diǎn)電荷與鏡像電荷之間的電像力．則有

(18)

根據(jù)相對論公式

(19)

(20)

聯(lián)立式(18)、(19)、(20)，得到

(21)

(22)

解得

v=

(23)

其中

運(yùn)動方向朝著x軸正方向．

2 電勢和電場強(qiáng)度分布

圖2 電勢分布圖

圖3 電場強(qiáng)度分布圖

圖4 電場強(qiáng)度方向分布圖

圖5 等勢線圖

圖6 電荷面密度分布圖

圖7 速度-位置關(guān)系圖

由于這里采用了點(diǎn)電荷模型，當(dāng)坐標(biāo)趨近于點(diǎn)電荷時，電勢趨于無窮大．但是圖形只能畫出有限值，所以Mathematica會在有限范圍內(nèi)自動截?cái)郲3]．

這里點(diǎn)電荷是放置在x=0.25，z=0處．

在電勢分布圖中，球殼內(nèi)電勢大于零，球殼外電勢為零，電勢在球面處連續(xù)分布．球殼內(nèi)表面靠近點(diǎn)電荷的一側(cè)電勢顯著大于遠(yuǎn)離點(diǎn)電荷的一側(cè)．在等勢線圖中，可以清楚看到球殼內(nèi)靠近點(diǎn)電荷附近的等勢面更為密集．

在電場強(qiáng)度分布圖中，球殼內(nèi)電場強(qiáng)度均大于零，球殼外電場強(qiáng)度均為零，電場強(qiáng)度在球面處并不連續(xù)分布．所以電場強(qiáng)度分布并沒有像電勢分布圖那樣，在球面處閉合，而是出現(xiàn)了“空白”．球殼內(nèi)表面靠近點(diǎn)電荷的一側(cè)電場強(qiáng)度顯著大于遠(yuǎn)離點(diǎn)電荷的一側(cè)，說明靠近點(diǎn)電荷的球殼內(nèi)表面處感應(yīng)電荷的絕對值較大，而在遠(yuǎn)離點(diǎn)電荷的球殼內(nèi)表面處只有少量的感應(yīng)電荷．

在電場強(qiáng)度方向分布圖中，電場線沒有穿透球殼，球面為等勢面．從圖中的箭頭方向，不難看出感應(yīng)電荷均為負(fù)電荷．

感應(yīng)電荷面密度受到角度θ變化的影響，感應(yīng)電荷分布關(guān)于x軸對稱．在θ=0處，也就是球殼內(nèi)表面距離點(diǎn)電荷最近的地方，可以取得最大值．這與前面分析所得情況也是符合的．

在速度-位置關(guān)系圖中可以看出，點(diǎn)電荷在向接地導(dǎo)體球殼運(yùn)動時，速度不斷增大，速度的變化率也迅速增大．

3 結(jié)論

基于理論推導(dǎo)和數(shù)值積分繪圖，我們可以得出一致的結(jié)論：點(diǎn)電荷在接地導(dǎo)體球殼內(nèi)時，內(nèi)表面感應(yīng)電荷均為負(fù)電荷．球殼內(nèi)表面靠近點(diǎn)電荷一側(cè)的電荷面密度的絕對值明顯較大．所以電場大多集中在球殼內(nèi)靠近點(diǎn)電荷的一側(cè)．

在點(diǎn)電荷和球殼內(nèi)表面感應(yīng)電荷共同激發(fā)的電場中，若將點(diǎn)電荷靜止釋放，將做加速度增大的變加速運(yùn)動．