劉祥

[摘要]美國著名數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基提出的APOS理論把數(shù)學(xué)概念教學(xué)分為四個階段：活動階段、過程階段、對象階段、圖式階段。以小學(xué)數(shù)學(xué)中的“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”教學(xué)內(nèi)容為例，以APOS理論為基礎(chǔ)，借助多媒體軟件設(shè)計概念教學(xué)的四個階段。通過創(chuàng)設(shè)真實的活動情境，使學(xué)生感悟分?jǐn)?shù);開展小組合作探究，使學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)”的概念;建構(gòu)對象實體，促學(xué)生把握“分?jǐn)?shù)”的本質(zhì);建立深層圖式，助學(xué)生形成概念的基本體系。

[關(guān)鍵詞]APOS理論;概念教學(xué);分?jǐn)?shù)

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標(biāo)識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020）11-0022-03

一、問題提出

美國的數(shù)學(xué)家杜賓斯基提出的APOS的理論認(rèn)為，作為學(xué)習(xí)者不能直接學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)的概念，而是要通過一些心智結(jié)構(gòu)使得所學(xué)的概念產(chǎn)生實際的意義，教學(xué)的真正目的是要幫助學(xué)習(xí)者建立合適的心智結(jié)構(gòu)。APOS理論以活動、過程、對象與圖式四個具體的階段體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念的形成與思維過程。

執(zhí)教教師以APOS理論為指導(dǎo)，借助多媒體演示動態(tài)生成的全過程來設(shè)計概念教學(xué)過程的四個階段，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”中的概念。

二、APOS理論的概念教學(xué)階段與多媒體的運用

杜賓斯基認(rèn)為，任何一個數(shù)學(xué)教育中的理論或模型都應(yīng)該致力于對“學(xué)生是如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的”以及“什么樣的教學(xué)計劃可以幫助這種學(xué)習(xí)”的理解，而不僅僅是陳述一些事實。正是基于這樣的考慮，杜賓斯基建立了APOS理論，而APOS理論中包含四個基本的階段：

1.活動（Action）階段

“活動階段”是指個體或?qū)W習(xí)者通過一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個客觀的數(shù)學(xué)對象，它是學(xué)習(xí)者獲得數(shù)學(xué)概念不可缺失的條件。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，許多的概念都是“隱性”的，需要通過一些外顯的探究活動去獲得概念的本質(zhì)。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，借助多媒體教學(xué)，能夠?qū)⒔虒W(xué)的對象動態(tài)地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，通過有效操作，產(chǎn)生良好的教學(xué)效果，從而讓學(xué)生感悟“分?jǐn)?shù)”的本質(zhì)，由此能夠獲得概念的表象。

2.過程（Process）階段

“過程階段”是外顯數(shù)學(xué)的活動思考的過程，當(dāng)“活動”經(jīng)過多次的重復(fù)而被個體熟悉后，就可以內(nèi)化為一種稱之為“過程”的心理操作。有了這種“過程”，個體就可以想象這個“活動”，而不需要通過外部的刺激;他可以在頭腦中實施這個過程，而不需要具體操作;進而，他還可以對這個過程進行逆轉(zhuǎn)以及與其他程序進行組合。學(xué)生多次重復(fù)和熟悉之后，就能進行一系列的心理活動，抽象出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性。在數(shù)學(xué)概念的獲得中，可以借助多媒體將數(shù)學(xué)的對象轉(zhuǎn)化為動態(tài)圖像，通過演示幫助學(xué)生從圖形中發(fā)現(xiàn)“分?jǐn)?shù)”的本質(zhì)。

3.對象（Object）階段

當(dāng)個體或?qū)W習(xí)者能夠把“過程”作為一個整體進行操作時，這一過程就變成了一種心理“對象”。借助多媒體將概念的對象做一系列的動態(tài)操作演示，就能幫助學(xué)生把握概念的特點及性質(zhì)，深層次認(rèn)識概念。

4.圖式（Scheme）階段

一個數(shù)學(xué)概念的“圖式”是指由相應(yīng)的“活動”、“過程”、“對象”以及與某些一般原理相聯(lián)系的其他“圖式”所形成的一種個體頭腦中的認(rèn)知框架，它可以用于解決與這個概念相關(guān)的問題。從這個意義上看，APOS理論中的“圖式”有點類似于韜爾的“概念意向”。以上四個階段及其關(guān)系如圖1所示：

按照杜賓斯基的解釋，上述四個成分中，“活動”、“過程”和“對象”也可以看作是數(shù)學(xué)知識的三種狀態(tài)，而“圖式”則是由這三種知識結(jié)構(gòu)構(gòu)成的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)。此外，上述四種結(jié)構(gòu)成分的排列雖然在理論上具有一種等級結(jié)構(gòu)，也就是說，一般情況下前一成分的建構(gòu)是后一成分的基礎(chǔ)。APOS理論認(rèn)為，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，在恰當(dāng)引導(dǎo)前三個階段后，學(xué)習(xí)者本身在建構(gòu)與反思的基礎(chǔ)上能夠形成圖式，進而厘清問題的情境，獲得數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。本文以俞正強老師教學(xué)的“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”為例，以APOS理論為指導(dǎo)，借助多媒體探索小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過程。

三、分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識概念教學(xué)設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)真實的活動情境，初步認(rèn)識“分?jǐn)?shù)”

依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之前，對分?jǐn)?shù)并不了解，也不知道怎么讀與寫，所以在引入分?jǐn)?shù)的概念之前，俞老師并沒有直接給出分?jǐn)?shù)的概念，而是通過創(chuàng)設(shè)具體的情境，使得學(xué)生逐漸體會整數(shù)與分?jǐn)?shù)，慢慢抽象出分?jǐn)?shù)的概念。

師：大家吃過月餅嗎？

生（齊）：吃過。

師：請看大屏幕。今天老師帶來一些月餅，這是幾個月餅?zāi)兀?/p>

生1：一個。

師：老師又帶來這樣的月餅，你們猜猜看是多少呢？

生2：半個。

生3：半個。

師：你們太聰明了。

根據(jù)APOS理論，在最初的活動階段，學(xué)習(xí)者通過一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個客觀的數(shù)學(xué)對象，它是學(xué)習(xí)者獲得數(shù)學(xué)概念不可缺失的條件。通過有趣的對話活動，教師慢慢喚醒學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)知，了解學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗。通過創(chuàng)設(shè)一個月餅到半個月餅的情境，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并逐漸抽象出數(shù)字“1”和“半個”（該怎么表示呢？），激起學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的熱情，為進入APOS的下一個階段做好準(zhǔn)備。

2.開展小組合作探究，理解“分?jǐn)?shù)”的概念

師：“半個”月餅用哪個數(shù)字來表示呢？請開展小組合作探究。

師：在學(xué)習(xí)“半個”月餅用哪個數(shù)字表示之前，思考一下，這半個月餅是從哪里得來的？

（大屏幕演示“一個月餅”到“半個”月餅的動畫）

生1：半個月餅是從一個月餅里得來的。

生2：半個月餅是把一個月餅分成了“兩半”。

生3：把一個月餅“平均”分成了“兩半”，那么半個月餅就出現(xiàn)了。

師：是的。把一個月餅平均分成了兩塊，取出其中的一塊。平均分成兩塊，在數(shù)學(xué)里我們用數(shù)字“2”表示;取出其中的一塊，我們用數(shù)字“1”表示;平均分，用一短橫進行表示。因此我們用“1/2來表示這個“半個”。

師：這個數(shù)怎么讀呢？

生4：二分之一。

根據(jù)APOS理論，在這一階段，學(xué)習(xí)者需要對數(shù)學(xué)活動做進一步的思考。教師借助多媒體動畫演示，通過操作由“一個月餅”到“半個”月餅的形成過程，讓學(xué)生通過觀察、比較、分析、歸納等一系列的探究過程，概括出數(shù)的特點。在整個APOS的第二個過程中，讓學(xué)生對這樣的“數(shù)”有了初步的感覺。

3.建構(gòu)對象實體，把握“分?jǐn)?shù)”的本質(zhì)

在多媒體技術(shù)的支撐下，俞老師列舉多個分?jǐn)?shù)的實例，使學(xué)生可以從不同的角度去逐漸體會并建構(gòu)“分?jǐn)?shù)”的概念，經(jīng)歷由一個月餅到半個月餅再到1/3個月餅，最后到1/4個月餅，由特殊的“1”到一般的分?jǐn)?shù)的建構(gòu)過程，很好地抽象出分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)特征：分?jǐn)?shù)就是把“一個”單位“1”平均分成若干份，其中的每一份可以用分?jǐn)?shù)表示。俞老師幫助學(xué)生建構(gòu)“分?jǐn)?shù)”的概念之后，又幫助學(xué)生了解了“分?jǐn)?shù)”具體的量和“分量”的區(qū)別。

師：半個月餅可以用哪個數(shù)字來表示？

生1.1/2

師：“1/2”和“1/2個”有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？

生2：單獨的1/2表示的是“把一個整體平均分成兩份，其中的一份就用1/2表示。

生3：“1/2個”表示一個物體的一半，是具體的數(shù)

量。例如媽媽給我一個蘋果，我吃了這個蘋果的半個，也就是1/2個。

根據(jù)APOS理論，教學(xué)該階段的目的是要幫助學(xué)生抽象出分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)特征，實現(xiàn)對分?jǐn)?shù)概念的更深層次的認(rèn)識和理解。在多媒體輔助教學(xué)的環(huán)境下，俞老師利用多媒體展現(xiàn)從多個動態(tài)的實例中抽象出分?jǐn)?shù)的本質(zhì)概念，讓學(xué)生更直觀地看到分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生與變化的全部過程。分?jǐn)?shù)的概念具有運算的規(guī)則“實體”，即對象。學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的概念之后，從“過程”階段進入了“對象”階段，這里，“對象”階段發(fā)揮了多媒體的優(yōu)勢，突出了分?jǐn)?shù)教學(xué)的重點，提升了課堂的教學(xué)效率，吸引了學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的熱情與興趣。

4.建立深層圖式，形成概念的基本體系

根據(jù)APOS理論，圖式階段是建立概念聯(lián)系的階段，即學(xué)習(xí)者能夠建立新的知識結(jié)構(gòu)，形成新的概念體系。多媒體可以直接呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生與變化的過程，能夠引導(dǎo)學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識更深入。

師：吃了半個月餅后，還剩幾個月餅？

生1：還剩半個，因為是把一個月餅平均分成了兩半，吃了一半，所以還剩一半。

師：如果把一個月餅平均分成三塊，吃了其中的一塊，還剩多少？

生2：還剩三分之二個，因為是把一個月餅平均分成三份，只吃掉了其中的一份，還剩下兩份，所以剩下的部分占整體的三分之二，即可以用三分之二表示。

人教版教材三年級下冊創(chuàng)設(shè)了兩位學(xué)生分月餅的情境，由“簡單的一個月餅怎樣才能夠分給兩個學(xué)生吃呢？”引發(fā)學(xué)生思考后得出半個可以用分?jǐn)?shù)表示，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生比較容易得出分?jǐn)?shù)的概念。

從以上教學(xué)可以看出，多媒體能夠幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識的內(nèi)在聯(lián)系，建立深層次的圖式，逐漸建立分?jǐn)?shù)的概念體系。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，APOS的四個階段是緊密相連、環(huán)環(huán)相扣的，在相互作用的條件下完成了對分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)，讓學(xué)生對分?jǐn)?shù)的概念理解得更深刻。

四、思考

本節(jié)課是“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”第一節(jié)課，分?jǐn)?shù)對于學(xué)生來說是比較陌生的，在課堂中幫助學(xué)生建構(gòu)分?jǐn)?shù)的概念就十分關(guān)鍵。俞老師的這節(jié)課恰恰是基于學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，讓學(xué)生逐步理解分?jǐn)?shù)的概念。首先，創(chuàng)設(shè)真實的活動情境，讓學(xué)生初步認(rèn)識分?jǐn)?shù);接著，讓學(xué)生合作探究，說一說自己對分?jǐn)?shù)的看法;緊接著，讓學(xué)生建構(gòu)對象的實體，理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì);最后，讓學(xué)生建立深層圖示形成分?jǐn)?shù)的概念體系。整堂課設(shè)計非常巧妙（感知分?jǐn)?shù)——建構(gòu)分?jǐn)?shù)的概念——理解分?jǐn)?shù)的概念），貼近學(xué)生的實際生活，抓住學(xué)生的心理特征，讓學(xué)生在愉快的氛圍中去學(xué)習(xí)并掌握分?jǐn)?shù)的概念，這正體現(xiàn)了“教師是學(xué)生的組織者、引導(dǎo)者與合作者，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體”，把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去思考現(xiàn)實的世界，用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實的世界，用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實的世界。

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)角度看，APOS的理論是合理的，反映了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中真實的思維活動。據(jù)了解，該理論主要應(yīng)用于大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的研究，但也同樣適用于小學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)，特別是與多媒體信息技術(shù)相結(jié)合的情況下，能夠很好地突破學(xué)生的認(rèn)知水平，令課堂教學(xué)取得意想不到的效果。

[參考文獻]

[1]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]喬連全.APOS：-種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論[J].全球教育展望，2001（3）：16-18.

（責(zé)編金鈴）