劉兆鵬，李 杰

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽宿州,234000

擬線性波動(dòng)方程是一類非常重要的數(shù)學(xué)物理方程，在物理學(xué)中用來描述具有粘性效應(yīng)的桿的縱振動(dòng)。對(duì)此類方程的研究，是近年來國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)[1-5]。1982年，Preste研究了方程

utt-uxx-β(uxt)x=f(x,t)

(*)

的初邊值問題。從物理意義上看，該方程與眾所周知的方程utt=uxxt+σ(ux)x密切相關(guān)，它們都可以解釋為具有粘性效應(yīng)的桿的縱振動(dòng)。若桿還受到一外力f(x,t)的作用，則桿的振動(dòng)滿足utt-E0uxx-β(uxt)x=f(x,t)[6-8]。

本文將研究比(*)更為廣泛的一類擬線性波動(dòng)方程的初邊值問題:

utt-γuxx-β(uxt)x=f(x,t)

(1)

u|t=0=u0(x),ut|t=0=u1(x)

(2)

u(0,t)=u(1,t)=0

(3)

其中,γ為任意常數(shù)，此方程是對(duì)原模型的推廣和補(bǔ)充，從而使其原始模型方程在揭示更為廣泛的物理現(xiàn)象過程中得到應(yīng)用。本文利用Galerkin方法構(gòu)造方程的近似解，并結(jié)合Gronwall不等式得到擬線性波動(dòng)方程整體解的存在性和唯一性。

1 引理和主要結(jié)論

用Galerkin方法構(gòu)造問題(1)(2)(3)的近似解

其中wj(x)為問題

-wjxx=λjwj,wj(0)=wj(1)=0

的特征函數(shù),則uN(x,t)即αjN(t)滿足如下非線性常微分方程的初值問題:

(uNtt,ws)-γ(uNxx,ws)-(β(uNxt)x,ws)=(f,ws)

(4)

(5)

引理1設(shè)

(1)β∈C1,β′(s)≥α>0,-

則對(duì)任一T>0及(4)(5)的任意解均有估計(jì):

‖uNt‖2+‖uNx‖2+‖uN‖2≤E1,

(6)

E1,E2及以下諸引理中的Ei(i=3,…,12)均為與N無關(guān)的常數(shù)。

=2(f,uNt)+2(1-γ)(uNx,uNxt)+2(uN,uNt)

-(β(uNxt)x,uNt)

=-(β1(uNxt)x,uNt)

=(β1(uNxt),uNxt)

(7)

2[(f,uNt)+(1-γ)(uNx,uNxt)+(uN,uNt)]≤M1(‖f‖2+‖uNt‖2+‖uNx‖2+‖uN‖2)+α‖uNxt‖2

代入(7)整理,對(duì)t積分,由假設(shè)ⅱ)及Gronwall不等式可得(6)。

‖uNxt‖2+‖uNxx‖2≤E3

(8)

證 將(4)兩邊同乘,對(duì)s求和得

-(uNtt,uNxxt)+γ(uNxx,uNxxt)+(β(uNxt)x,uNxxt)=-(f,uNxxt)

(9)

(10)

(β(uNxt)x,uNxxt)=(β′(uNxt)uNxxt,uNxxt)≥α‖uNxxt‖2

2(1-γ)(uNxx,uNxxt)-2(f,uNxxt)≤‖f‖2+M2‖uNxx‖2+α‖uNxxt‖2

代入(10),對(duì)t積分,由假設(shè)及Gronwall不等式可得(8)。

引理3若滿足引理2條件,且設(shè)

(1)f關(guān)于t≥0還是連續(xù)的,且f∈L(0,T;L2(Ω)),ft∈L2(0,T;L2(Ω))

則有估計(jì)

(11)

證 將(4)兩邊同乘,對(duì)s求和,令t=0可得：

‖uNtt(0)‖2≤(|γ|‖uNxx(0)‖+‖β(uNxt(0))x‖+‖f(0)‖)‖uNtt(0)‖

(12)

‖β(uNxt(0))x‖≤‖β′(uNxt(0))‖‖uNxxt‖≤const

由(12)可得‖uNtt(0)‖≤const。

(13)

(β(uNxt)t,uNxtt)=(β′(uNxt)uNxtt,uNxtt)≥α‖uNxtt‖2,

2(ft,uNtt)+2γ(uNxxt,uNtt)≤‖ft‖2+M3+‖uNtt‖2+α‖uNxtt‖2

代入(13),對(duì)t積分,由Gronwall不等式可得(11)。

引理4若滿足引理3條件,則還有

‖uNxxt‖2≤E7(0≤t≤T)

(14)

證 由(9)可得

α‖uNxxt‖2≤(‖uNtt‖+|γ|‖uNxx‖+‖f‖)‖uNxxt‖

由此引理2,引理3,即得(14)。

推論若滿足引理3條件,則有

‖uNxt‖≤E8(0≤t≤T)

定理1(強(qiáng)解的存在性)設(shè)

(1)β∈C1,β′(s)≥α>0,-

(2)f∈C0(0,T;L2(Ω)),ft∈L2(0,T;L2(Ω))

(15)

定理2(強(qiáng)解的唯一性) 若β滿足定理1條件,則問題(1)(2)(3)的強(qiáng)解是唯一的。

2 定理的證明

由引理1～4,{uN(x,t)},{uNt(x,t)}于L有界,

{uNtt(x,t)}于L(0,T;L2(Ω))∩L2(0,T;(Ω))有界,由列緊性原理,存在u(x,t)及{uN(x,t)}的子序列{uN(x,t)}(子序列仍用原序列表示),使

uN(x,t)→u(x,t)于L(0,T;(Ω)∩H2(Ω)) 弱*收斂

uNt(x,t)→ut(x,t)于L(0,T;(Ω)∩H2(Ω))弱*收斂

uNtt(x,t)→utt(x,t)于L弱*收斂

在(4)兩邊同乘任一ds(t)∈C0,對(duì)s=1,2,…,N1(N1≤N)求和,對(duì)t在[0,T]上積分,得

因{uNxt}于H1(QT)有界,故存在子序列{uNxt}使uNxt→uxt于L2(QT)強(qiáng)收斂,且于QT幾乎處處收斂,而‖β(uNxt)‖const,ds(t)wsx(x)∈L2(QT)于QT,應(yīng)用Lebesgue逐項(xiàng)積分定理,可得

故(15)成立,從而u(x,t)即為問題(1)(2)(3)的如本定理所述的整體強(qiáng)解，即存在性得證。

定理2的證明設(shè)u,v為問題(1)(2)(3)的兩個(gè)強(qiáng)解,令w=u-v,則w滿足

wtt-γwxx=β(uxt)x-β(vxt)x

兩邊同乘wt作內(nèi)積,分部積分,并利用中值定理,可得:

0<θ<1。由上式可得：

對(duì)t積分,由w滿足初始條件及Gronwall不等式,可得w≡0。即唯一性得證。