張艷霞，李 進

(安徽工業(yè)大學(xué)a.數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院；b.計算機科學(xué)與工程學(xué)院，安徽馬鞍山243032)

傳染病不僅嚴重威脅人們的生命安全，也嚴重阻礙人類社會的發(fā)展，如古希臘的天花疫情、古羅馬及歐洲的鼠疫與霍亂、2003年我國SARS病毒非典型肺炎及2014年非洲埃博拉病疫情等。2019年12月30日我國出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎(簡稱新冠肺炎)疫情，自疫情開始30 d內(nèi)新冠肺炎確診人數(shù)就超過非典型肺炎的確診人數(shù)。至2月23日，全國共累計報告確診的新冠肺炎病例77 150例，共累計死亡病例2 592例。其中，湖北省累計確診的病例64 287例，累計死亡病例2 495例，在全國累計確診的病例中湖北省占相當高的比例[1]。因此，及時預(yù)測分析新冠肺炎疫情傳播趨勢對于疫情的有效防控與防治具有重要意義。

科研工作者常采用數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)傳染病不蔓延條件、預(yù)測分析傳染病流行與受感染者變化趨勢等，據(jù)此制定相應(yīng)的防控辦法?，F(xiàn)有傳染病預(yù)測模型有Malthus模型，簡稱S模型[2]，S模型隨著時間的延長最終未感染者均變成感染者，預(yù)測結(jié)果不符合實際，主要原因是有效接觸的人若是感染者不能使感染者數(shù)增加，須區(qū)分感染者和未感染者。為區(qū)分感染者(susceptible)與未感染者(infective)，建立了Logistic 模型[3]，簡稱SI 模型，SI模型沒有考慮治愈者因素，預(yù)測結(jié)果也不符合實際情況。對于治愈者沒有免疫能力可能再次被感染的情況，多采用SIS模型(susceptible-infective-susceptible)。對于治愈者有免疫能力不再被感染，多采用經(jīng)典的SIR模型(susceptible-infective-removed)[2-3]，經(jīng)典的SIR模型結(jié)構(gòu)簡單、可操作性強，適用于描述疾病發(fā)展的整體趨勢，因而得到廣泛應(yīng)用。如文獻[4-5]中利用經(jīng)典SIR模型對2003年北京市SARS疫情進行了分析，從整體上描述了疫情發(fā)展的趨勢及疾病傳播的一般規(guī)律，但該模型忽略了部分細節(jié)因素，如沒考慮傳染病死亡者。鑒于此，文中針對新冠肺炎疫情傳播狀況，考慮新冠肺炎死亡者因素，對經(jīng)典的SIR模型進行改進，推導(dǎo)出新型冠狀肺炎疫情不蔓延的條件，采用改進的SIR模型對新冠肺炎疫情進行預(yù)測分析，以期為新冠肺炎疫情防控與防治措施的制定提供數(shù)據(jù)參考。

1 SIR模型的改進

經(jīng)典的SIR模型把人群分為三類，即感染者、未感染者、治愈者。文中針對新冠肺炎疫情傳播狀況，考慮新冠肺炎死亡者因素，改進經(jīng)典的SIR模型，將人群分為未感染新冠肺炎者(未感染者)、新冠肺炎者(感染者或病人)、新冠肺炎治愈者(治愈者)、新冠肺炎病死亡者(死亡者)，但不考慮出生和自然死亡因素。

1.1 模型假設(shè)

1)設(shè)未感染者、感染者、治愈者、死亡者所占比例分別為s(t)，y(t)，r(t)，q(t)，這里s(t)+y(t)+r(t)+q(t)=1；

2)設(shè)病人的日接觸率為λ，即每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)，日治愈率為μ(治愈人數(shù)占病人總數(shù)的比例)，傳染病死亡率為m，即死亡人數(shù)占病人總數(shù)的比例；

3)假設(shè)人群中總?cè)藬?shù)N不變，不考慮出生和自然死亡因素。

1.2 模型建立

首先給時間t一個增量Δt，考慮在Δt內(nèi)增加的病人數(shù)及減少的未感染者、治愈者及死亡者人數(shù)，則Δt內(nèi)增加的病人數(shù)為

Δt內(nèi)減少的未感染者

Δt內(nèi)減少的治愈者

Δt內(nèi)減少的死亡者

將式(1)～(4)兩端除以Δt，消去N，取極限得

假設(shè)初始條件為y(0)=y0，s(0)=s0，r(0)=r0，q(0)=q0，y0+s0≈1，由此不能計算出模型(5)的解析解。這里只分析s(t)，q(t)，r(t)隨時間t的變化關(guān)系。

證明 設(shè)D(s,y)={(s,y)|s≥0,y≥0,s+y≤1},在D(s,y)上分析y(t)隨s(t)的變化趨勢。式(5)中前兩式相除可得

解微分方程(6)，再由初始條件y(0)=y0可得

(7)式兩端對s求導(dǎo)得

圖1 傳染病擴散示意圖Fig.1 Schematic diagram of spread of infectious diseases

(1)在死亡率m不變的情況下，提高治愈率μ，降低日接觸率λ；

(2)在死亡率m降低的情況下，更要提高治愈率μ，降低日接觸率λ；

2)降低s0，r0=1-s0-y0-q0，在y0，q0不變的情況下，降低s0，即提高r0，也即提高全民的免疫能力。

由以上分析可得出有效防控防治新冠肺炎疫情不擴散的措施：全民相對隔離，即少出門、戴口罩、早發(fā)現(xiàn)、早隔離，尤其是絕對隔離病人降低日接觸率；勤洗手、多通風(fēng)、鍛煉身體，提高衛(wèi)生條件和免疫力。

2 新冠肺炎疫情傳播的預(yù)測分析

2.1 數(shù)據(jù)的選取與處理

實證選取數(shù)據(jù)總?cè)藬?shù)N=60 000 000，以2020年1月23日國家衛(wèi)健委官網(wǎng)發(fā)布的新冠肺炎數(shù)據(jù)作為未感染者比例r(t)、s(t)、感染者比例y(t)、治愈者比例r(t)、治愈者比例r(t)的初始值，即s(0)，y(0)，r(0)，q(0)分別為0.999 976，0.000 014，0.000 000 6，0.000 000 4。根據(jù)2月1日至2月8日國家衛(wèi)健委官網(wǎng)發(fā)布的實際數(shù)據(jù)，可知2月1日至2月8日的平均治愈率為0.042 386，平均死亡率為0.022 778。由此賦值日治愈率μ=0.042 386，死亡率m=0.022 778，預(yù)測天數(shù)t=180 d。根據(jù)改進的SIR 模型方程(5)，采用龍格庫塔法編程等數(shù)值模擬新冠肺炎疫情傳播，預(yù)測疫情的發(fā)展趨勢。

2.2 模擬結(jié)果與分析

2.2.1 假設(shè)病人的日接觸率λ=0.3

假設(shè)病人的日接觸率λ=0.3，根據(jù)改進的SIR模型方程(5)，采用MATLAB 軟件及龍格庫塔法編程預(yù)測新冠肺炎疫情自2020年1月23日起180 d內(nèi)的發(fā)展趨勢，結(jié)果分別如圖2，3。

圖2 λ=0.3 改進SIR模型的MATLAB曲線Fig.2 MATLAB curves of improved SIR model with λ=0.3

圖3 λ=0.3 改進SIR模型的龍格庫塔法曲線Fig.3 Runge Kutta curves of improved SIR model with λ=0.3

表1為λ= 0.3 時，采用龍格庫塔法模擬計算的新冠肺炎疫情自1 月23 日起第10，20，30 d 未感染者、感染者、治愈者、死亡者的比例。根據(jù)表1 可計算出：t=10 d即2月2日感染者、治愈者、死亡者的人數(shù)分別為7 078，1 152，571 人；t=20 d 即2 月12 日感染者、治愈者、死亡者分別為75 214，13 360，6 556人。而國家衛(wèi)健委官網(wǎng)顯示[1]：2月2日感染者、治愈者、死亡者的人數(shù)分別為17 205，475，361 人；2 月12 日感染者、治愈者、死亡者的人數(shù)分別為59 804，5 911，1 367人。對比模擬與官網(wǎng)顯示數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)：1月23日至2月2日，感染者人數(shù)的計算值比實際值小，說明1月23日至2月2日病人的日接觸率大于0.3；1月23日至2月12日，感染者人數(shù)的計算值比實際值大，說明1月23日至2月12日病人的日接觸率小于0.3。

由上述分析可推斷，1月23日至2月2日病人的日接觸率大于0.3，后面20 d病人的日接觸率有所降低。若病人的日接觸率不降低，從圖3可看出感染者比例的最大值較大，即感染者人數(shù)較多，這與實際數(shù)據(jù)不相符，故進一步降低病人的日接觸率λ進模擬。

2.2.2 假設(shè)病人的日接觸率λ=0.2

假設(shè)λ=0.2 根據(jù)改進的SIR模型方程(5)，采用龍格庫塔法編程得出未感染者比例s(t),感染者比例y(t)、治愈者比例r(t)、死亡者比例q(t)隨時間變化的關(guān)系，結(jié)果如圖4。

表1 λ=0.3，3個時間節(jié)點的未感染者、感染者、治愈者、死亡者的比例Tab.1 Proportion of uninfected,infected,cured and dead people in three time nodes with λ=0.3

圖4 λ=0.2 改進SIR模型的龍格庫塔法曲線Fig.4 Runge Kutta curves of improved SIR model with λ=0.2

從圖4可看出，感染者比例最大值約為0.32，治愈者與死亡者比例最終分別趨于0.63，0.31。對比圖3，4可看出，進一步降低日接觸率后，感染者比例y(t)的最大值明顯降低，最大值達到的時間推后。由于日接觸率的降低，感染的機會變小，即傳播速度變慢，因此達到最大值的時間推后，模擬情況符合符合實際情況。

根據(jù)改進的SIR 模型方程(5)，λ=0.2 時，采用龍格庫塔法計算的新冠肺炎疫情自1 月23 日起的第10，20，30 d 未感染者、感染者、治愈者與死亡者的比例，結(jié)果如表2。根據(jù)表2 可計算出t=10，20，30 d 時的感染者、治愈者與死亡者人數(shù)，即2 月2，12，22 日感染者的人數(shù)分別為2 878，11 304，44 359人，治愈者人數(shù)分別為667，3 278，13 527人，死亡者人數(shù)分別為333，1 613，6 637 人。上述計算值小于國家衛(wèi)健委官網(wǎng)顯示的感染者、治愈者、死亡者的數(shù)值，說明從1月23日至2月22日內(nèi)日接觸率大于0.2。若日接觸率不降低，始終是0.2，感染者比例的最大值為0.320 027，即感染者的最大人數(shù)仍然很多，因此需進一降低日接觸率。

2.2.3 假設(shè)病人的日接觸率λ=0.15

假設(shè)λ=0.2，利用龍格庫塔法編程求解模型方程(5)，得出未感染者、感染者、治愈者與死亡者的比例隨時間變化的關(guān)系，結(jié)果如圖5。

表2 λ=0.2，3個時間節(jié)點未感染者、感染者、治愈者、死亡者比例Tab.2 Proportion of uninfected,infected,cured and dead people in three time nodes with λ=0.2

圖5 λ=0.15 改進SIR模型的龍格庫塔法曲線Fig.5 Runge Kutta curves of improved SIR model with λ=0.15

2.2.4 假設(shè)病人的日接觸率λ=0.10

假設(shè)λ=0.10，利用龍格庫塔法編程求解模型方程(5)，得出未感染者、感染者、治愈者與死亡者的比例隨時間變化的關(guān)系，結(jié)果如圖6。

圖6 λ=0.1 改進SIR模型的龍格庫塔法曲線Fig.6 Runge Kutta curves of improved SIR model with λ=0.1

從圖6可看出，感染者比例y(t)、治愈者比例r(t)、死亡者比例q(t)隨時間變化的曲線形狀及其最大值都很接近，當t=180 d時，y(t)最終趨于0.01，r(t)最終趨于0.012，q(t)最終趨于0.006。對比圖2～6可發(fā)現(xiàn)，隨著病人日接觸率的降低，感染者比例的最大值逐漸降低，取得最大值的時間逐漸往后推移。由于病人日接觸率的降低，感染機會變小，即傳播速度變慢，因此達到最大值的時間推后，但最大值降低，符合疫情傳播實際。

2.2.5 假設(shè)病人的日接觸率λ=0.05

假設(shè)λ=0.05，利用龍格庫塔法編程求解模型方程(5)，得出未感染者、感染者、治愈者與死亡者的比例隨時間變化的關(guān)系，結(jié)果如圖7。

圖7 λ=0.05 改進SIR模型的龍格庫塔法曲線Fig.7 Runge Kutta curves of improved SIR model with λ=0.05

從圖7可看出，感染者比例是一直在下降，此時新冠肺炎疫情沒有傳播。根據(jù)結(jié)論2中新冠肺炎疫情不蔓延的條件及2.1中初始值的選取，可得當λ＜0.065 163 時，新冠肺炎疫情不再傳播。因此嚴格控制日接觸率是最有效的防控新冠肺炎疫情不傳播的措施。

3 結(jié) 論

考慮傳染病死亡者因素，改進經(jīng)典的SIR 模型，以2020 年1 月23 日公布的新冠肺炎疫情數(shù)據(jù)作為初始值，根據(jù)改進的模型方程，采用龍格庫塔法編程模擬預(yù)測新冠肺炎疫情的傳播趨勢，得到如下主要結(jié)論：

1)在日接觸率取定的情況下預(yù)測感染者所占比例的最大值及達到最大值的時間，以及治愈者和死亡者比例的極限值。根據(jù)不同的日接觸率計算3個時間節(jié)點感染者的人數(shù)并與實際數(shù)據(jù)比較，得出1月23日至2月2日的日接觸率大于0.3，1月23日至2月22日的日接觸率小于0.3且大于0.2。由此驗證隔離方法能有效降低日接觸率。

2) 推導(dǎo)出新冠肺炎疫情不蔓延的條件，利用這一條件得出在治愈率和死亡率不變的情況下，當λ＜0.065 163 時，新冠肺炎病毒疫情不蔓延。由此得出降低日接觸率是最有效的防控疫情不再傳播的措施，即采取全民相對隔離、少出門、戴口罩、早發(fā)現(xiàn)、早隔離、病人絕對隔離等方法，通過勤洗手、多通風(fēng)、鍛煉身體等方式提高人們自身免疫力，從而有效降低日接觸率。

3)在新冠肺炎疫情傳播初期，采用改進的SIR模型進行預(yù)測分析，可為疫情防控防治措施的制定提供有益的參考。因疫情傳播實際過程中日接觸率、治愈率變化較快，且還有其他因素也在變化，因此改進的SIR模型相對來說還比較理想化，后續(xù)還需進一步改進。