趙攀峰

2014年教育部研究訂制了《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》，并提出各學(xué)段學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)體系，同時(shí)還明確學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.這就決定了在數(shù)學(xué)教學(xué)中除了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的理解掌握，更需要對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行滲透，學(xué)生還要能夠應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行模仿創(chuàng)造，將數(shù)學(xué)與生活實(shí)際進(jìn)行聯(lián)系

根據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，重慶市中考數(shù)學(xué)自2015年開(kāi)始引入“閱讀理解”題型，通過(guò)定義新概念的模式來(lái)考查“數(shù)與式”，充分檢驗(yàn)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.?2016年重慶中考數(shù)學(xué)閱讀理解題出現(xiàn)了利用文字與符號(hào)定義新概念和新運(yùn)算的復(fù)合式閱讀，加強(qiáng)了對(duì)問(wèn)題的深入研究，同時(shí)也加大了題目難度.?2017年、2018年中考閱讀理解題型逐漸趨于成熟穩(wěn)定，趣味性也隨之增加，對(duì)學(xué)生的能力要求也提高了不少.?2019年重慶中考閱讀理解題目難度降低，以數(shù)學(xué)文化為載體，重點(diǎn)考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)涉及到分類討論思想，題目區(qū)分度較高，現(xiàn)對(duì)此題進(jìn)行淺顯研究，并進(jìn)行解題策略的總結(jié)反思.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

題目? 《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物”道出了自然數(shù)的特征.在數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們會(huì)對(duì)其中一些具有某種特性的數(shù)進(jìn)行研究，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們研究了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等.現(xiàn)在我們來(lái)研究另一種特珠的自然數(shù)——“純數(shù)”

定義：對(duì)于自然數(shù)n，在計(jì)算n+（n+1）+（n+2）時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位，則稱這個(gè)自然數(shù)n為“純數(shù)”.例如：32是”純數(shù)”，因?yàn)橛?jì)算32+33+34時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位;

23不是“純數(shù)”，因?yàn)橛?jì)算23+24+25時(shí)，個(gè)位產(chǎn)生了進(jìn)位

（1）判斷2019和2020是否是“純數(shù)”？請(qǐng)說(shuō)明理由;

（2）求出不大于100的“純數(shù)”的個(gè)數(shù).

2 試題分析

此題以中國(guó)哲學(xué)著作《道德經(jīng)》展開(kāi)，揭示了自然數(shù)的基本特征：即表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)，充分考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).其主要考查內(nèi)容為數(shù)與式，讓學(xué)生根據(jù)所給的新定義，進(jìn)行模仿與創(chuàng)造，特別是多次滲透分類討論思想，要求學(xué)生不僅具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，還要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力，因此這道題看似簡(jiǎn)單、得分容易，但是要得滿分卻實(shí)屬不易

2019年重慶中考的閱讀理解題目位置由25題改到第22題，與《重慶中考數(shù)學(xué)考試說(shuō)明》的樣卷試題保持一致，兩個(gè)問(wèn)題的難度有明顯梯度，第一問(wèn)中的數(shù)據(jù)2019恰好是考試的年份，直接運(yùn)用定義，進(jìn)行簡(jiǎn)單的有理數(shù)的加減運(yùn)算;第二問(wèn)中的100是三位數(shù)，恰好與示例中的兩位數(shù)、第一問(wèn)的四位數(shù)完美締結(jié)，難度依次增加，體現(xiàn)出命題人的良苦用心，主要考查創(chuàng)造性地利用定義解決問(wèn)題，運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)符號(hào)化的能力.

3 解法賞析

3.1 對(duì)第（1）問(wèn)的探究

該問(wèn)題只需要依次對(duì)2019、2020進(jìn)行分析，正確解答過(guò)程如下：

2019不是“純數(shù)”，2020是“純數(shù)”.理由如下：

由于在計(jì)算2019+2020+2021時(shí)，個(gè)位計(jì)算時(shí)是9+0+1=10，所以計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生了進(jìn)位，因此推斷2019不是“純數(shù)”

而在計(jì)算2020+2021+2022時(shí)，個(gè)位0+1+2=3，十位2+2+2=6，百位0+0+0=0，千位2+2+2=6，各數(shù)位的計(jì)算過(guò)程中都沒(méi)有產(chǎn)生進(jìn)位，因此推斷2020是“純數(shù)”

然而學(xué)生在解題過(guò)程中，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤較多，主要分為兩類：

第一，對(duì)所給新概念理解不清楚，如純數(shù)到底是有進(jìn)位還是沒(méi)有進(jìn)位的數(shù)？再如在判斷

2019是否為純數(shù)時(shí)，會(huì)計(jì)算2019+2020來(lái)判斷，或者去建立方程n+n+1+n+2=2019再去求n的值，其實(shí)按照定義應(yīng)該為直接計(jì)算2019+2020+2021的值進(jìn)行進(jìn)位的判斷

第二，學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)概念把握不準(zhǔn)確，如自然數(shù)到底有沒(méi)有0？負(fù)數(shù)是否屬于自然

數(shù)？分?jǐn)?shù)是否屬于自然數(shù)？不大于100的數(shù)是否包含100？正是因?yàn)檫@些基本數(shù)學(xué)知識(shí)的模糊，所以學(xué)生經(jīng)常在此失誤，這也是典型的非能力因素的丟分，需要引起教師重視，概念教學(xué)時(shí)需詳細(xì)探討、深入研究.

3.2 對(duì)第（2）問(wèn)的探究

解法一 根據(jù)純數(shù)的位數(shù)進(jìn)行分類討論

由題意得，當(dāng)“純數(shù)”n為一位數(shù)時(shí)n+（n+1）+（n+2）=3n+3<10，所以可以判斷n=0，1，2，即在一位數(shù)的自然數(shù)中，“純數(shù)”有3個(gè).而當(dāng)“純數(shù)”n為兩位數(shù)時(shí)，需滿足的條件為：個(gè)位不超過(guò)2，十位不超過(guò)3時(shí)，才能符合“純數(shù)”的定義.?因此兩位數(shù)的自然數(shù)中“純數(shù)”有：10，11，12，20，21，22，30，31，32，共9個(gè)，而100顯然也是“純數(shù)”.綜上所述，不大于100的“純數(shù)”的個(gè)數(shù)共有：3+9+1=13個(gè)

該解法在進(jìn)行分類討論時(shí)學(xué)生容易出現(xiàn)漏解的情況，特別是一位數(shù)0、1、2，以及三位

數(shù)100.也有出現(xiàn)多解的情況，如13，23，33，所以計(jì)算時(shí)謹(jǐn)慎細(xì)心，分類時(shí)不重不漏.

解法二 根據(jù)所給范圍進(jìn)行枚舉

由于題目所給的取值范圍為不大于100的數(shù)，而純數(shù)的定義中又要求是自然數(shù)，所以學(xué)

生可以將范圍鎖定在100以內(nèi)（含100）的自然數(shù)，從而進(jìn)行逐一列舉，依次列出來(lái)符合條件的有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100，所以共有13個(gè)

該解法簡(jiǎn)單易想，可操作性較強(qiáng)，但是比較耗費(fèi)時(shí)間，而且很容易誤判.

解法三 根據(jù)各數(shù)位的可能取值進(jìn)行排列組合

由于范圍限定在100以內(nèi)，可以先研究小于100的數(shù)中符合定義的，根據(jù)純數(shù)不進(jìn)位的要求，十位數(shù)字可選0，1，2，3，個(gè)位數(shù)字可選0，1，2，所以共4×3=12個(gè)，再加上三位數(shù)只有100一個(gè)數(shù)，因此總個(gè)數(shù)為12+1=13個(gè)

該解法較為簡(jiǎn)潔，運(yùn)用乘法原理與加法原理，可以快速算出純數(shù)的個(gè)數(shù)，但是技巧性較強(qiáng)，多數(shù)學(xué)生不易掌握.

解法四 畫(huà)樹(shù)狀圖進(jìn)行分類列舉

學(xué)生可以根據(jù)題意推斷出百位數(shù)字可以是0，1，十位數(shù)字可選0，1，2，3，個(gè)位數(shù)字可選0，1，2，那么便可以使用初中統(tǒng)計(jì)學(xué)中畫(huà)樹(shù)狀圖的方法來(lái)進(jìn)行列舉

該解法非常巧妙，用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)來(lái)解決閱讀理解問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，又能體現(xiàn)分類討論的不重不漏，由于大多數(shù)學(xué)生還是習(xí)慣了傳統(tǒng)的閱讀理解套路，進(jìn)行數(shù)與式的計(jì)算，所以在教學(xué)中要注意鼓勵(lì)學(xué)生打破思維定勢(shì)，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)巧妙解決問(wèn)題

解法五 綜合使用上述解法

在實(shí)際解題過(guò)程中，學(xué)生的思維往往是發(fā)散的，所呈現(xiàn)的過(guò)程也未必恰好是某一種解法，所以混合使用多種解題方法，也能完美解決該題.例如在討論兩位數(shù)的純數(shù)時(shí)，可以選擇乘法原理或樹(shù)狀圖，再將一位數(shù)和三位數(shù)中的純數(shù)進(jìn)行列舉

該解法比較靈活，學(xué)生比較常用，綜合各解法之優(yōu)勢(shì)，仍需注意分類討論的不重不漏.

4 策略反思

重慶中考數(shù)學(xué)閱讀理解題型考查方式愈加趨于靈活多變，難度及考題位置也隨之變化，但是其本質(zhì)仍為考查學(xué)生對(duì)初中代數(shù)核心內(nèi)容“數(shù)與式”的理解與運(yùn)用，往往涉及到實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算以及對(duì)初中所學(xué)的方程與不等式內(nèi)容的綜合，對(duì)學(xué)生代數(shù)部分的掌握進(jìn)行系統(tǒng)檢驗(yàn)，在解題時(shí)需要形成合理的應(yīng)對(duì)策略

結(jié)合著名數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中對(duì)解題的思維研究，以及近幾年全國(guó)各地中考試題中閱讀理解題目的解題經(jīng)驗(yàn)，并根據(jù)上面對(duì)2019年重慶市中考數(shù)學(xué)A卷第22題閱讀理解的分析過(guò)程，可以歸納出解決閱讀理解問(wèn)題的基本思路是“閱讀→分析→理解→解決問(wèn)題”，解題過(guò)程需要特別注意以下幾點(diǎn)：

第一，理解材料——明確條件、原理、方法、結(jié)論.認(rèn)真閱讀材料，把握題意，注意一些數(shù)據(jù)、取值范圍、關(guān)鍵名詞等.“定義新概念”：如“和諧數(shù)”“完美數(shù)”“幸福數(shù)”?等;“定義新運(yùn)算”的標(biāo)志性語(yǔ)言?：記為，規(guī)定，記作等;還要特別注意字母的取值范圍或者定義本身要求的整數(shù)或自然數(shù)等

第二，重視舉例——檢驗(yàn)是否理解正確，歸納主要方法.全面分析材料，理解材料所蘊(yùn)含的基本概念、原理、思想和方法，提取有價(jià)值的數(shù)學(xué)信息.對(duì)于題目所給示例需要特別關(guān)注，示例中的方法是材料思想方法的重要體現(xiàn)，里面所含的解題方法或思想也極有可能是后面探究題目所需的

第三，類比應(yīng)用——結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題.對(duì)有關(guān)信息進(jìn)行歸納、整合，并且和方程、不等式、函數(shù)或幾何等數(shù)學(xué)模型相結(jié)合來(lái)解答.用所學(xué)的內(nèi)容來(lái)解決未學(xué)過(guò)的內(nèi)容，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.?在進(jìn)行模仿與創(chuàng)造時(shí)，要緊扣定義，結(jié)合示例，充分展現(xiàn)“閱讀理解”的能力要求

總而言之，在中考數(shù)學(xué)閱讀理解教學(xué)中，需要帶領(lǐng)學(xué)生探究形成一定的解題策略，結(jié)合所學(xué)內(nèi)容，加以合情推理，去應(yīng)用策略創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，這也有益于樹(shù)立教育教學(xué)的主體性、民主性、創(chuàng)造性，同時(shí)反映了社會(huì)與人的發(fā)展的主客觀需要.教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，不斷“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正地在學(xué)生腦海里開(kāi)花結(jié)果，成為每個(gè)學(xué)生所具備的基本能力，這樣既能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，也能讓教師相應(yīng)地提升自己的學(xué)科素養(yǎng)與專業(yè)知識(shí)技能，從而與學(xué)生砥礪前行，教學(xué)相長(zhǎng)，共同進(jìn)步.